Equation-différentielle

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Equations-différentielles

Définition

Les étapes :

1. Trouver l'équation homogène

2. Résoudre l'équation homogène

3. Trouver une solution particulière

a. Une constante

b. Une fonction affine

c. Une fonction exponentielle

4. Trouver la solution générale

5. Appliquer une condition initiale

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Définition

Une équation-différentielle est une équation ou la solution est une fonction. Elle est de la forme ay'+by=f(x) avec y la solution de la fonction, y' sa dérivée. f(x) peut être un nombre réel comme une fonction. a et b sont des coefficients. Donc des nombres réels. Exemple : 3y'-2y=3x-2 est une équation-différentielle

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1. Trouver l'équation homogène

Trouver l'équation homogène consiste à garder uniquement la y' et y avec leurs coefficients respectifs.Exemple L'équation-différentielle : 3y'-2y=8x+2 ; l'équation homogène est : 3y'-2y=0

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2. Résoudre l'équation homogène

Résoudre l'équation homogène revient à appliquer la formule suivante : f(x)=ke(-b/a)x avec b qui est le coefficient devant le y et a le coefficient devant le y' (rappel : ay'+by=0) Exemple : 2y' - 6y = 0 Les solutions de l'équation homogène sont : f(x)=ke-((-6)/2)x=ke3x avec k représente un nombre réel.

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3. Les solutions particulières

Après avoir trouver la solution de l'équation homogène, on doit trouver une solution particulière. Elle aura toujours une forme similaire au membre de droite de l'équation différentielle. Par exemple : 3y'-2y=3x+2 , la solution particulière sera de la forme f(x)=ax+b avec a et x des nombres réels

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3. Les solutions particulières a. Le membre de droite est un nombre

Quand le membre de droite est un nombre, la solution particulière sera un nombre. Il faudra donc trouver un nombre qui est solution de l'équation différentielle. Exemple : 2y'+3y=4 f(x)=m ; f'(x)=0 donc 3m=4 donc m=4/3. f(x)=4/3 est une solution particulière de l'équation différentielle

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3. Les solutions particulières b. Le membre de droite est une fonction affine

Quand le membre de droite est une fonction affine, la solution particulière sera une fonction affine. Il faudra donc trouver une fonction affine qui est solution de l'équation différentielle. Exemple : 2y'-3y=4x+2 f(x)=mx+p ; f'(x)=m donc 2m-3(mx+p)=4x+2. Il faudra donc trouver m et p pour trouver la solution particulière

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3. Les solutions particulières c. Le membre de droite est une fonction exponentielle

Quand le membre de droite est une fonction exponentielle, la solution particulière sera une fonction exponentielle. Il faudra donc trouver une fonction exponentielle qui est solution de l'équation différentielle. Exemple : 2y'-3y=e2x f(x)=ke2x ; f'(x)=2ke2x donc 4ke2x-3ke2x=e2x. Il faudra donc trouver k pour trouver la solution particulière

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4. Solution générale de l'équation

Pour trouver la solution générale de l'équation (qui est donc un ensemble de solution), il suffit d'ajouter la solution de l'équation homogène avec la solution particulière.

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5. La solution répondant à la condition initiale

Lorque l'on a trouvé l'ensemble des solutions de l'équation-différentielle, on peut nous demander la solution qui répond à une condition initiale. C'est à dire trouver la valeur de k. Exemple : Si f(x)=ke2x+3 est la solution générale. Si on veut satisfaire la condition initiale f(0)=9, on remplace x par 0. f(0)=ke0+3 ; ke0+3=9 ; k=9-3 ; k=6 f(x)=6e2x+3 est solution de l'équation-différentielle répondant à la conditio initiale.