COMBINATORIA
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden hacer con los dígitos 1, 2 y 3?
Permutaciones
Las permutaciones son el número de ordenaciones que podemos hacer de todos los elementos de los que disponemos.
Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras distintas podemos hacer con los dígitos 1, 2 y 3? P3 = 3 · 2 · 1 = 6 (ayuda el pensar: para cada posición, ¿cuántas opciones tengo?
¿Cuántos números de tres cifras se pueden hacer con los dígitos 1, 2 y 3?
variaciones (con repetición)
Si tenemos "m" elementos y formamos agrupaciones de "n" elementos (n puede ser mayor que m) donde:
* Los elementos se pueden repetir.
* Si el orden es diferente las agrupaciones son diferentes.
A estas agrupaciones se les llama variaciones con repetición de m elementos tomados n en n. Al número de ellas se le designa por VRnm y se demuestra que es VRnm = mn Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras se pueden hacer con los dígitos 1, 2 y 3? VR33 = 33 = 27
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden hacer con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
VARIACIONES (SIN REPETICIÓN)
Si tenemos "m" elementos y formamos agrupaciones de "n" elementos ( n ≤ m ) donde se verifica:
* Los elementos no se pueden repetir.
* Si el orden es diferente, las agrupaciones son diferentes.
Al número de ordenaciones que podemos formar con “n” elementos de los “m” dados se los denomina variaciones sin repetición. Las designamos cómo: Vnm y se demuestra que su valor es: Vnm = m · (m-1) · (m-2) · ... · (m - n + 1)
Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden hacer con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?V35 = 5 · 4 · 3 = 60 números Observación: es el mismo pensamiento que con las permutaciones, salvo que no coinciden los elementos con las agrupaciones
De una carrera de 5 personas, los tres primeros se clasifican para la final. ¿De cuántas formas puede efectuarse la clasificación?
COMBINACIONES
Hay que pensar lo siguiente:
- Sabemos cuántas opciones hay con los 5 corredores: V35 = 5 · 4 · 3 = 60 posibilidades (del podio)
- Pero, si lo pensamos bien, los puestos 4º y 5º no determinan el podio, pero sí que puede ocurrir que, aunque el podio sea el mismo, los dos últimos sean personas distintas. Por lo que habría que quitar las opciones en las que no nos importen los 4º y 5º:
P3 = 3 · 2 · 1 = 6
- Por lo que, las combinaciones que nos pueden quedar son:
C35 = V35 / P3 = 60/6 = 10
RESUMEN
EJERCICIOS
1.- En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántos modos
puede hacerse si:
a. los premios son diferentes (1º, 2ºy 3º) ¡OJO! hay que pensar qué ocurre si una persona puede recibir más de un premio o no b. los premios son iguales (aquí presuponemos que una misma persona no puede recibir más de un premio) 2.- ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 1, 2, . . . , 9
a. Permitiendo repeticiones b. Sin repeticiones c. Si el último dígito ha de ser 1 y no se permiten repeticiones
Combinatoria
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COMBINATORIA
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden hacer con los dígitos 1, 2 y 3?
Permutaciones
Las permutaciones son el número de ordenaciones que podemos hacer de todos los elementos de los que disponemos.
Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras distintas podemos hacer con los dígitos 1, 2 y 3? P3 = 3 · 2 · 1 = 6 (ayuda el pensar: para cada posición, ¿cuántas opciones tengo?
¿Cuántos números de tres cifras se pueden hacer con los dígitos 1, 2 y 3?
variaciones (con repetición)
Si tenemos "m" elementos y formamos agrupaciones de "n" elementos (n puede ser mayor que m) donde: * Los elementos se pueden repetir. * Si el orden es diferente las agrupaciones son diferentes. A estas agrupaciones se les llama variaciones con repetición de m elementos tomados n en n. Al número de ellas se le designa por VRnm y se demuestra que es VRnm = mn Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras se pueden hacer con los dígitos 1, 2 y 3? VR33 = 33 = 27
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden hacer con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
VARIACIONES (SIN REPETICIÓN)
Si tenemos "m" elementos y formamos agrupaciones de "n" elementos ( n ≤ m ) donde se verifica: * Los elementos no se pueden repetir. * Si el orden es diferente, las agrupaciones son diferentes. Al número de ordenaciones que podemos formar con “n” elementos de los “m” dados se los denomina variaciones sin repetición. Las designamos cómo: Vnm y se demuestra que su valor es: Vnm = m · (m-1) · (m-2) · ... · (m - n + 1)
Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden hacer con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?V35 = 5 · 4 · 3 = 60 números Observación: es el mismo pensamiento que con las permutaciones, salvo que no coinciden los elementos con las agrupaciones
De una carrera de 5 personas, los tres primeros se clasifican para la final. ¿De cuántas formas puede efectuarse la clasificación?
COMBINACIONES
Hay que pensar lo siguiente:
- Pero, si lo pensamos bien, los puestos 4º y 5º no determinan el podio, pero sí que puede ocurrir que, aunque el podio sea el mismo, los dos últimos sean personas distintas. Por lo que habría que quitar las opciones en las que no nos importen los 4º y 5º:
P3 = 3 · 2 · 1 = 6- Por lo que, las combinaciones que nos pueden quedar son:
C35 = V35 / P3 = 60/6 = 10RESUMEN
EJERCICIOS
1.- En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántos modos puede hacerse si: a. los premios son diferentes (1º, 2ºy 3º) ¡OJO! hay que pensar qué ocurre si una persona puede recibir más de un premio o no b. los premios son iguales (aquí presuponemos que una misma persona no puede recibir más de un premio) 2.- ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 1, 2, . . . , 9 a. Permitiendo repeticiones b. Sin repeticiones c. Si el último dígito ha de ser 1 y no se permiten repeticiones