Tema 3.5 Aplicaciones de SEL

Álgebra Lineal ACF-0903

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Subtema 3.5 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 1 Un agricultor tiene un terreno de 200 acres adecuado para tres tipos de cultivo, A, B y C. El costo respectivo por acre de los cultivos A, B y C es de $40, $60 y $80. El agricultor dispone de $12 600 para el cultivo. Cada acre del cultivo A requiere 20 horas de trabajo; cada acre del cultivo B, 25 horas de trabajo, y cada acre del cultivo C, 40 horas. El agricultor tiene un máximo de 5950 horas de trabajo disponible. Si desea utilizar toda la tierra cultivable, todo su presupuesto y toda la mano de obra disponible, ¿Cuántos acres de cada cultivo debe de plantar?

Solución: Sean x, y y z las respectivas cantidades de acres correspondientes a los cultivos A, B y C. La condición de utilizar toda la tierra cultivable se traduce en la ecuación

El costo total por los tres cultivos fue

dólares, y como hay que ocupar todo el presupuesto, entonces

Por último, la cantidad de trabajo necesaria para los tres cultivos es

Horas, como debe de utilizarse toda la mano de obra, se tiene

Así, se tiene la solución resolviendo este sistema de ecuaciones lineales:

Al utilizar el método de Gauss-Jordan, se tiene

A partir de la última matriz aumentada en forma reducida se ve que por tanto, el agricultor debe plantar

Graficación de sistemas de desigualdades lineales con dos variables

Al inicio de tema 3 vimos que una ecuación lineal con dos variables x y y

Tiene un conjunto solución que se puede exhibir en forma gráfica como los puntos de una línea recta en el plano xy. Ahora se mostrará que también existe una representación gráfica sencilla de las desigualdades lineales con dos variables:

Antes de ver un procedimiento general para graficar tales desigualdades, se analizará un ejemplo específico. Supóngase que hay que graficar

Primero se grafica la ecuación la cual se obtiene de la desigualdad dada reemplazando la desigualdad “<” por una igualdad “=”

Figura 3.5.1 Una línea recta divide al plano xy en dos semiplanos

EGIPTO

Obsérvese que esta recta divide el plano xy en dos semiplanos; uno superior y otro inferior. Se mostrará que el semiplano superior es la gráfica de la desigualdad lineal mientras que en el semiplano inferior es la gráfica de la desigualdad lineal

Para esto se escribe (2) y (3) en las formas equivalentes

La ecuación de la recta es

Ahora se elige cualquier punto que este arriba de la recta L; sea Q el punto en L que está directamente bajo P (figura 3.5.1). Como Q está en L, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación (6). En otras palabras, Q se representa como . Al comparar las ordenadas de P y Q y recordar que P está arriba de Q, de modo que su ordenada debe ser mayor que la de Q, se tiene

Para esta desigualdad es precisamente la ecuación (4) o, en forma equivalente, la ecuación (2). De manera análoga, se puede mostrar que cualquier punto que se encuentre debajo de L debe satisfacer la ecuación (5) y, por tanto, la (3).

Este análisis muestra que el semiplano inferior proporciona una solución a nuestro problema. (Figura 3.5.2). (La línea punteada indica que los puntos en L no pertenecen al conjunto solución). Obsérvese que los dos semiplanos en cuestión son mutuamente excluyentes; es decir, no tienen puntos en común. Debido a esto, existe un método alternativo más sencillo para determinar la solución del problema.

Figura 3.5.2 El conjunto de puntos que están debajo de la línea punteada satisface la desigualdad dada.

Figura 3.5.2.1

Procedimiento para graficar desigualdades lineales

1. Trace la gráfica de la ecuación correspondiente a la desigualdad dada, reemplazando el signo de desigualdad con un signo igual. Use una línea punteada si el problema se refiere a una desigualdad estricta, < o >. En caso contrario, use una línea sólida para indicar que la línea recta forma parte de la solución.

2. Elija un punto de verificación en uno de los semiplanos determinados por la línea trazada en el paso 1 y sustituya los valores de x y y en la desigualdad dada. Use el origen de ser posible, si la desigualdad se satisface entonces sombreamos la línea que contiene al origen si no se cumple sombreamos el lado contrario de la recta.

3. Si la desigualdad se satisface, la gráfica de la desigualdad incluye al semiplano que contiene al punto de verificación. En caso contrario, la solución incluye el semiplano que no contiene al punto de verificación.

Ejemplo 2 Graficar

Solución: La gráfica de es la recta vertical que aparece en la Figura 3.5.3 Al escoger el origen como punto de verificación, se tiene que lo cual es falso; por lo tanto, la solución

es el semiplano izquierdo, que no contiene el origen.

Figura 3.5.3 El conjunto de puntos en la recta en el semiplano izquierdo satisface la desigualdad dada

Ejemplo 3 Graficar

Solución: La gráfica se encuentra entre -3 y 4 sin incluirlos. Como aparece en la figura 3.5.4

Figura 3.5.4

Ejemplo 4 Graficar

Solución: Primero se grafica la ecuación o (Figura 3.5.5). Como el origen está en la recta, no se puede utilizar como punto de verificación. (¿Por qué?) se elige (1,2) como punto de verificación. Al sustituir en la desigualdad dada, se tiene lo que es falso. Por lo tanto, la

la solución requerida es el semiplano que no contiene al punto de verificación: es decir, el semiplano inferior.

Figura 3.5.5

Graficación de sistemas de desigualdades lineales

El conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales con las dos variables x y y es el conjunto de todos los puntos

que satisface cada desigualdad del sistema. La solución gráfica de tal sistema se obtiene graficando el conjunto solución para cada desigualdad de manera independiente y determinando a continuación la región común de los diversos conjuntos solución

Ejemplo 5 Determinar el conjunto solución del sistema

Solución: Vamos a realizar la grafica de cada una de las rectas utilizando la aplicación de Geogebra.

Figura 3.5.6.1

Figura 3.5.6.2

Al realizar la grafica como sistema nos queda:

Figura 3.5.7 El conjunto de puntos en el área sombreada satisface el sistema dado

Estos semiplanos aparecen en la Figura 3.5.7. La intersección de los dos semiplanos es la región sombreada. Un punto de esta región es un elemento del conjunto solución del sistema dado. El punto P, la intersección de las dos líneas rectas determinadas por las ecuaciones, se encuentra resolviendo las ecuaciones simultáneas.

De la ecuación (2) tenemos que sustituyendo en la ecuación (1) tenemos:

Por lo tanto el punto de intersección entre las rectas es

Ejemplo 6 Trazar el conjunto solución del sistema

Solución: La primera desigualdad del sistema define el semiplano derecho (todos los puntos a la derecha del más todos los puntos que están sobre el propio ). La segunda desigualdad del sistema define el semiplano superior, incluyendo el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Los semiplanos definidos por la tercera y cuarta desigualdad, aparecen indicados en la figura 3.5.8. Así, la región requerida, la intersección de los cuatro semiplanos definidos mediante las cuatro desigualdades en el sistema dado de desigualdades lineales, en la región sombreada.

El punto P se determina resolviendo las ecuaciones simultáneas

Figura 3.5.8 La solución se encuentra en la región acotada por el primer cuadrante.

El punto de intersección lo encontraremos resolviendo el sistema de ecuaciones lineales de la ecuación (3) tenemos que

Sustituyendo este valor en la ec. (4), tenemos

Sustituyendo este valor en la ecuación (*)

Por lo tanto

Conjuntos solución acotados y no acotados

Un conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales está acotado si puede encerrarse en un círculo. En caso contrario, no está acotado

Ejemplo 7 Determinar el conjunto solución del siguiente sistema de desigualdades lineales en forma gráfica.

Solución: El conjunto solución requerido es la región acotada que aparece en la figura 3.5.9

Figura 3.5.9 El conjunto solución es una región no acotada.

El punto de intersección entre las rectas es:

dejamos la Ec (1) igual y la Ec (2) se multiplica por -2

Sustituyendo este valor en la Ec (2)

Por lo tanto, el punto de intersección entre las rectas es

Las desigualdades

Nos indican que los puntos se encuentran en el primer cuadrante.

Problemas de Programación Lineal

Un problema de programación lineal

Un problema de programación lineal consta de una función objetivo lineal a ser maximizada o minimizada sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdad lineales o desigualdades.

Un problema de maximización

Como ejemplo de un problema de programación lineal en que la función objetivo debe maximizarse, considérese la siguiente versión simplificada de un problema de producción con dos variables.

Ejemplo 8 Un problema de producción. La compañía de novedades Ace quiere producir dos clases de recuerdos de viaje: del tipo A y del tipo B. Cada unidad tipo A producirá una ganancia de mientras que una tipo B generará una ganancia de Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan 2 minutos en la máquina I y 1 minuto en la máquina II. Un recuerdo tipo B requiere 1 minuto en la máquina I y 3 minutos en la máquina II. Hay 3 horas disponibles en la máquina I y 5 horas disponibles en la maquina II para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo debe producir Ace para maximizar la ganancia?

Solución: Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada como en la tabla 3.5.1

Sea el número de piezas tipo A y el número de unidades tipo B por producir.

Entonces la ganancia total P (en dólares), está dada por

que es la función objetivo por maximizar.

La cantidad total de tiempo de uso de la máquina I está dada por minutos y no debe exceder 180 minutos. Así, se tiene la desigualdad

En forma análoga, la cantidad total de tiempo de uso de la máquina II está dada por minutos, y está no puede exceder los 300 minutos, lo que conduce a la desigualdad

Por último, no pueden ser negativas

El problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo

Sujeta al sistema de desigualdades

Vamos a realizar la gráfica utilizando la aplicación de GeoGebra. El conjunto solución se encuentra en el primer cuadrante

Figura 3.5.10 Los puntos esquina que produce la ganancia máxima es

Los vértices del conjunto factible son

Los valores de P en estos vértices se pueden tabular

La Tabla muestra que el máximo de Ocurre en el vértice C(48,84) y tiene un valor de 148.8. Al recordar lo que representan los símbolos x, y y P, se concluye que la compañía Ace maximizará sus ganancias (que ascienden a $148.8) produciendo 48 recuerdos de tipo A y 84 de tipo B.

Ejemplo 9 Un problema de nutrición. Un nutriólogo asesora a un individuo que sufre de una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro, 2100 mg de vitamina (tiamina) y 1500 mg de vitamina (riboflavina) durante cierto período. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina , 5 mg de vitamina y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina y de vitamina y cuesta 8 centavos (tabla 3.5.2). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

Solución: Sean x el número de píldoras de la marca A y y el número de píldoras de la marca B por comprar. El Costo C, medido en centavos, está dado por y es la función objetivo por minimizar.

La cantidad de hierro contenida en x píldoras de la marca A y píldoras de la marca B está dada por 40x+10y mg y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg.

Esto se traduce en la desigualdad

Consideraciones similares con los requisitos mínimos de vitamina B1 y B2 conduce a las desigualdades

Respectivamente. Así, el problema consiste en minimizar

Sujeto a

Recuérdese que la formulación matemática del problema condujo al problema de programación lineal con dos variables. El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura 3.5.11

Figura 3.5.11 La esquina que produce el costo mínimo es

Los vértices del conjunto factible son

Los valores de la función objetivo C en estos vértices aparece en la tabla 3.5.3:

Tabla 3.5.3

La tabla muestra el mínimo de la función objetivo

Ocurre en el vértice B(30,120) y tiene un valor de 1140. Así, el paciente debe de adquirir 30 píldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un mínimo de $11.40.

Ejemplo 10 El Señor Balduzzi, propietario de Luigi´s Pizza Palace, asigna $9000 al mes para su publicidad en dos periódicos, el City Tribune y el Daily News. EL City Tribune cobra $300 por cierto aviso, mientras que el Daily News cobra $100 por un aviso del mismo tipo. Balduzzi ha decidido que el anuncio debe de aparecer en un mínimo de 15 ediciones del Daily News por mes y un máximo de 30. El City Tribune tiene una circulación diaria de 50 000 ejemplares y el Daily News tiene una circulación de 20 000 en estas condiciones, determine cuántos anuncios deberá solicitar Balduzzi en cada periódico para llegar al máximo número de lectores.

Solución: Sean x el número de anuncios por colocar en el City Tribune y y la cantidad que se colocará en el Daily News. El costo total por introducir x anuncios en el City Tribune y y anuncios en el Daily News es 300x+100y dólares, y como el presupuesto mensual es de $9 000, se debe tener

A continuación, la condición de que el anuncio debe aparecer en un mínimo de 15 ediciones del Daily News y un máximo de 30 se traduce en las desigualdades

Por último, la función objetivo por maximizar es

Se tiene el siguiente problema de programación lineal

Maximizar

Sujeto a

Tenemos la gráfica:

Figura 3.5.12

Al evaluar la función objetivo

En cada vértice de S obtenemos la siguiente tabla

Tabla 3.5.4

De la tabla vemos que P se maximiza cuando x=20 y y=30, Por tanto, Gino debe colocar 20 anuncios en City Tribune y 30 en el Daily News.

Solución gráfica de problemas de programación lineal

Método Gráfico

Los problemas de programación lineal con dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas. Por ejemplo, si el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional no es inconsistente, entonces define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas. Por tanto, es posible analizar tales problemas en forma gráfica.

Considérese el siguiente problema de programación lineal bidimensional:

Ejemplo 11 Maximizar:

sujeto a

Solución: El sistema de desigualdades lineales (*) define la región plana S que aparece en la figura 3.5.8. Cada punto de S es un candidato para resolver este problema y se conoce como una solución factible.

El conjunto S se conoce como conjunto factible. El objetivo es encontrar, entre todos los puntos del conjunto S, el punto o los puntos que optimicen la función objetivo P. Tal solución factible es una solución óptima y constituye la solución al problema de programación lineal en cuestión.

Figura 3.5.13 Cada punto en el conjunto S factible es candidato para la solución óptima.

Como ya se ha observado, cada punto P(x, y) en S

Es un candidato para la solución óptima del problema en cuestión; por ejemplo, es fácil ver que el punto esta en y, por tanto, entra en la competencia. El valor de la función objetivo P en el punto está dado por Ahora, si se pudiera calcular el valor de P correspondiente a cada punto S, entonces el punto (o los puntos) en S que proporcione el valor máximo de P formaría el conjunto solución buscado. Por desgracia, en la mayoría de los problemas, la cantidad de candidatos es demasiado grande o, como en este problema, es infinita. Así, este método no es adecuado.

Es mejor cambiar de punto de vista: en vez de buscar el valor de la función objetivo P en el punto factible, se asignará un valor a la función objetivo P y se buscarán los puntos factibles que

corresponderían a un valor dado de P. Para esto, supóngase que se asigna a P el valor 6. Entonces la función objetivo se convierte en una ecuación lineal en por tanto, tiene como gráfica una línea recta en el plano. En la figura 3.5.9 se ha trazado la gráfica de esta línea recta, sobrepuesta al conjunto factible S.

Figura 3.5.13.1 Una familia de rectas paralelas que intersecan al conjunto factible S.

Está claro que a cada punto del segmento de recta dado por la intersección de la línea recta se conoce como una recta de ganancia iguales. Al repetir el proceso, pero ahora asignado a P el valor de 10, se obtiene la ecuación y la recta (Figura 3.5.9), lo cual sugiere que existen puntos factibles que corresponden a un valor mayor de P. Obsérvese que la recta es paralela a pues ambas tienen una pendiente igual a esto se comprueba con facilidad escribiendo las ecuaciones correspondientes en la forma pendiente-ordenada al origen.

En general, al asignar diversos valores a la función objetivo, se obtiene una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente igual a Además, una recta correspondiente a un valor mayor de P está más alejada del origen que una recta con un valor menor de P. El significado es claro.

Para obtener las soluciones óptimas de este problema, se encuentra la recta perteneciente a esta familia que se encuentre más lejos del origen y que interseque al conjunto factible S. La recta requerida es aquella que pase por el (Figura 3.5.9), de modo que la solución de este problema está dada por lo que produce un valor máximo de

Teorema I

Programación lineal

Si un problema de programación lineal tiene una solución, ésta debe ocurrir en un vértice, o esquina del conjunto factible S, asociado al problema. Además, si la función objetivo P se optimiza en dos vértices adyacentes de S, entonces se optimiza en cada punto del segmento de recta que une estos vértices,

en cuyo caso existe una infinidad de soluciones del problema.

Teorema 2

Existencia de una solución.

Dados un problema de programación lineal con un conjunto factible S y una función objetivo

a) Si S está acotado, entonces P tiene un valor máximo y un mínimo en S.

b) Si S no está acotado y tanto a como b son no negativos, entonces P tiene un valor mínimo en S siempre y cuando las restricciones que definen a S incluyan las desigualdades

c) Si S es el conjunto vacío, entonces el problema de programación lineal no tiene solución; es decir, P no tiene un valor máximo ni un mínimo.

Método de las esquinas

1. Graficar el conjunto factible.

2. Encontrar las coordenadas de todas las esquinas (vértices) del conjunto factible.

3. Evaluar la función objetivo en cada esquina.

4. Encontrar el vértice que produce un máximo(mínimo) de la función objetivo. Si existe un único vértice, entonces este vértice constituye una solución al problema. Si la función objetivo es maximizada (minimizada) en dos esquinas adyacentes de S,

existe una infinidad de soluciones óptimas dadas por los puntos en el segmento de recta determinado por estos dos vértices.

Ejemplo 12 Un problema de programación lineal con múltiples soluciones.

Determinar el máximo y mínimo de sujeto al siguiente sistema de desigualdades lineales:

Solución: El conjunto factible S aparece en la figura 3.5.10. Los vértices del conjunto factible S son

Los valores de la función objetivo P en estos vértices aparecen en la siguiente tabla:

La tabla muestra que el máximo de la función objetivo ocurre en los vértices Esto nos muestra que cada punto en el segmento de recta que une los puntos maximiza P, la cual tiene el valor 30 en cada punto. La tabla permite ver que P se minimiza en el punto E(0,5), donde alcanza el valor de 10.

Figura 3.5. 14 Cada punto en el segmento de recta que une a C y D maximiza a P

Ejemplo 13 Problema de programación lineal no acotado

Resolver el siguiente problema de programación lineal:

Maximizar

sujeto a

Solución: El conjunto factible S para este problema aparece en la Figura 3.5.15. Como el conjunto S no está acotado ( pueden adoptar valores positivos arbitrariamente grandes), P se puede hacer tan grande como se quiera, considerando suficientemente grandes; por lo tanto, el problema no tiene solución. En este caso, se dice que la solución no está acotada.

Figura 3.5.15 El problema de maximización no tiene solución, pues el conjunto factible no está acotado

Ejemplo 14 Un problema de programación lineal no factible

Resolver el siguiente problema de programación lineal:

Maximizar

sujeto a

Solución: Los semiplanos descritos por las restricciones (desigualdades) no tienen puntos en común (Figura 3.5.16); por lo tanto, no existen puntos factibles y el problema carece de solución. En esta situación, se dice que el problema no es factible o que es inconsistente. (Es difícil que estas situaciones surjan en problemas bien planteados a partir de las aplicaciones prácticas de la programación lineal).

Figura 3.5.16 El problema es inconsistente, pues no hay puntos que satisfagan todas las desigualdades dadas

Ejemplo 15 Utilice el método de las esquinas para resolver el siguiente problema de programación lineal:

Maximizar

sujeto a

Solución: EL conjunto factible S para este problema, está dado por la gráfica 3.5.17

Figura 3.5. 17

Los valores de la función objetivo P en los vértices de S se resumen en la tabla siguiente:

La tabla muestra que el máximo de la función objetivo P se alcanza en el vértice Por lo tanto, la solución del problema es

Ejemplo 16 Utilice el método de las esquinas para resolver el siguiente problema de programación lineal:

Maximizar

sujeto a

Solución: EL conjunto factible S para este problema, está dado por la gráfica 3.5.18

Se concluye que la función objetivo se minimiza en cada punto del segmento de recta que une los puntos

Bibliografía

Tang Tan Soo (2005) Matemáticas para Administración y economía tercera edición. Cd. México. Editorial Thomson

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