Funzioni Goniometriche Reciproche

Funzioni Goniometriche Reciproche

A cura di Anna Laura Corti e Marco De Luca

INDEX

Cosecante di un angolo

Definizione con cos

Secante di un angolo

Cotangente di un angolo

Definizione con sin

Definizione con sin e cos

Reciproca VS Inversa

La Funzine Secante

Condizioni Generali

11

La Funzione Cotangente

Sulla circonferenza

12

10

La Funzione Cosecante

La secante di un angolo

Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica, si dice secante dell'angolo α l'ascissa del punto S ottenuto dall'intersezione tra l'asse delle ascisse e la retta tangente alla circonferenza nel punto P, dove P è il punto d'incontro tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza.

sec(α) = xS

Definizione di secante con il coseno

Si può definire la secante di un angolo come il reciproco del coseno dello stesso angolo. In formule:Per capire da dove discende tale formula disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica. Detto P il punto d'incontro tra il secondo lato e la circonferenza, sia t la retta tangente la circonferenza nel punto P. Indichiamo poi con S il punto d'incontro tra tale retta e l'asse x e siano Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi cartesiani.

Consideriamo ora i due triangoli ΔOPR e ΔOPS:

Essi sono triangoli simili per il primo criterio di similitudine, infatti hanno tutti e tre gli angoli congruenti. Nello specifico: - l'angolo α è in comune; - gli angoli ORP e OPS sono entrambi angoli retti; - la somma degli angoli interni di un triangolo, qualsiasi esso sia, è pari a 180°.

Sostituendo nella proporzione otteniamo sec(α) : 1 = 1 : cos(α) Scrivendo tale proporzione sotto forma di rapporti si ricava la secante dell'angolo α in termini del coseno dello stesso angolo:

Poiché i lati di due triangoli simili sono in proporzione, possiamo scrivere: Sappiamo che

La cosecante di un angolo

Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica, sia P il punto d'intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza, e t la retta tangente la circonferenza in P. Detto C il punto di intersezione tra la retta t e l'asse y, si dice cosecante dell'angolo α l'ordinata del punto C.

csc(α) = yC

Definizione di cosecante con il seno

Si può definire la cosecante di un angolo come il reciproco del seno dello stesso angolo. In formule: Per ricavare tale formula disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica e indichiamo con P il punto d'incontro tra il secondo lato e la circonferenza, con t la retta tangente la circonferenza nel punto P, con C il punto d'incontro tra tale retta e l'asse y e con Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi cartesiani.

Consideriamo ora i due triangoli ΔOPQ e ΔOPC:

Essi sono triangoli simili per il primo criterio di similitudine, infatti hanno tutti e tre gli angoli congruenti. Nello specifico: - l'angolo α è in comune; - gli angoli OQP e OPC sono entrambi angoli retti; - la somma degli angoli interni di un triangolo, qualsiasi esso sia, è pari a 180°.

Sostituendo nella proporzione otteniamo csc(α) : 1 = 1 : sin(α) Scrivendo tale proporzione sotto forma di rapporti si ricava la cosecante dell'angolo α in termini del seno dello stesso angolo:

Poiché i lati di due triangoli simili sono in proporzione, possiamo scrivere: Sappiamo che

La cotangente di un angolo

Dato un angolo α sulla circonferenza goniometrica, consideriamo la retta c tangente alla circonferenza nel punto A(0,1). Si definisce cotangente dell'angolo α l'ascissa del punto C dato dall'intersezione tra il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento) e la retta tangente alla circonferenza nel punto (0,1), ossia

cot(α) = xC

Definizione di cotangente con seno e coseno

Si può definire la cotangente di un angolo come il rapporto tra il coseno e il seno dello stesso angolo. In formule:Per capire da dove discende tale formula disegniamo un angolo α sulla circonferenza goniometrica. Sia c la retta tangente alla circonferenza nel punto A(0,1) , chiamiamo P il punto d'intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza, C il punto d'interzezione tra il secondo lato dell'angolo e la retta c e Q ed R le proiezioni del punto P sugli assi cartesiani.

Consideriamo ora i due triangoli ΔOAC e ΔOQP:

Essi sono triangoli simili per il primo criterio di similitudine, infatti hanno tutti e tre gli angoli congruenti. Nello specifico: - l'angolo α è angolo corrispondente; - gli angoli CAO e PQO sono entrambi angoli retti; - l'ultimo angolo è in comune.

Sostituendo nella proporzione precedente otteniamo cot(α) : 1 = cos(α) : sin(α) Da cui

Essendo i dye triangoli simili, possiamo scrivere: Sappiamo che

Funzione Inversa

Funzione Reciproca

La funzione inversa di una funzione f(x) è quella funzione che si indica con

La funzione reciproca di una funzione f(x) (reale di variabile reale) è definita come

VS

è quella funzione tale che il prodotto tra la funzione e la sua reciproca dà 1:

ed è tale che la composizione con la funzione di partenza dia x, ovvero

la funzione reciproca esiste sempre, per qualunque funzione si considera.

la funzione inversa non è sempre definita, ci sono cioè funzioni che non sono invertibili.

Considerazioni generali

• Se la funzione y=f(x) è definita nell'inseme D, la funzione y=1/f(x) è definita per ogni x∈D tale che f(x) sia diversa da 0 ;

• In corrispondenza dei punti di intersezione della funzione y=f(x) con l'asse x (cioè in corrispondenza dei suoi zeri) la funione y=1/f(x) presenta degli asintoti verticali: infatti, se x0 è uno zero della funzione f(x), man mano che x si avvincina a x0, f(x) si avvicina sempre più a 0, quindi il suo reciproco diventa indefinitamente grande ( si dice che tende a +∞) se f(x)>0 o indefinitamente piccolo (si dice che tende a -∞) se f(x)<0 ;

• Il segno della funzione y=1/f(x) è lo stesso della funzione y=f(x) ;

• Se la funzione y=f(x) è periodica, anche y=1/f(x) lo è e le due funzioni hanno lo stesso periodo;

• I punti di massimo della funzione y=f(x) in cui f(x) è diversa da 0 sono punti di minimo per la funzione y=1/f(x) e i punti di minimo della funzione y=f(x) in cui f(x) è diversa da 0 sono punti di massimo per la funzione y=1/f(x) ;
• I punti di ordinata 1 e -1 del grafico di y=f(x) appartengono anche al grafico di y=1/f(x) .

Proprietà e Grafici

Cotangente

Secante

Cosecante

+info

+info

+info

La Funzione Secante

f(x) = sec(x)

G(f(x))

La Funzione Cosecante

f(x) = csc(x)

G(f(x))

La Funzione Cotangente

f(x) = cot(x)

G(f(x))

Grazie per l'attenzione

Per maggiori informazioni contattare Simona Serano