5.4 Aplicación de las TL

Álgebra Lineal ACF - 0903

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Subtema 5.4 Aplicación de las transformaciones lineales reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Aplicación de las transformaciones lineales reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Geometría de las trasformaciones lineales de una transformación lineal con representación matricial

Ahora se demostrará que si es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansión a lo largo de los

Una expansión a lo largo del es una transformación lineal que multiplicada a la coordenada de un vector en por una constante Esto es

Entonces de manera que si

se tiene

De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en por una constante Como antes, si

entonces la representación matricial de T es

de manera que

Figura 5.1 Dos expansiones a) Se comienza con este rectángulo b) Expansión en la dirección de c) Expansión en la dirección de

Compresión a lo largo de los ejes

Una compresión a lo largo de los ejes es una transformación lineal que multiplica a la coordenada de un vector en por una constante positiva La representación matricial de una compresión es la misma que para una expansión, excepto para la compresión

mientras que para la expansión En la figura 5.2 se ilustran dos compresiones.

Figura 5.2 Dos compresiones a) Se comienza con este rectángulo b) Compresión a lo largo del c) Compresión a lo largo del

Reflexiones

Existen tres tipos de reflexiones que serán de interés. En el ejemplo 1 se vio que la transformación

Refleja al vector en respecto al . Anteriormente vimos que la transformación

Refleja al vector en respecto al . Ahora

de manera que es la representación matricial de la reflexión respecto al y es la representación matricial de la reflexión respecto al Por último, el mapeo

que intercambia , tiene el efecto de reflejar un vector en respecto a la recta (vea la figura 5.3)

Figura 5.3 Reflexión de un vector en con respecto a la recta

a) se obtiene reflejando respecto a la recta

b) se obtiene reflejando respecto a la recta

Figura 5.4 Dos cortes a lo largo del

a) Comenzamos con este rectángulo

b) Corte a lo largo del

c) Corte a lo largo del

Si entonces

De manera que la representación matricial de la transformación lineal que refleja a un vector en respecto a la recta es

Cortes

Un corte a lo largo del es una trasformación que toma el vector

y lo convierte en un nuevo vector donde c es una constante que puede ser positiva o negativa. En la figura 5.4 se ilustran dos cortes a lo largo del

Sea T un corte a lo largo del Entonces

de manera que la representación matricial T es Por ejemplo, en la figura 5.4 b, así

En la figura 5.4 c, Así,

Observe que

Es decir, un corte a lo largo de deja sin cambio a los vectores con coordenadas y igual a cero.

Un corte a lo largo del

es una transformación que toma a un vector y lo convierte en un nuevo vector donde c es una constante que puede ser positiva o negativa. En la figura 5.9 se ilustran dos cortes a lo largo del

Figura 5.5 Dos cortes a lo largo del

a) Se comienza con este rectángulo

b) Corte a lo largo del

c) Corte a lo largo del

Si T es un corte a lo largo del entonces

De manera que

Por ejemplo, en la figura 5.5 b), c=3, así

En la figura 5.5 c), c=-3, así

Observe que

Esto es, los cortes a lo largo del eje y dejan sin cambio a los vectores con coordenadas x igual a cero. En la Tabla 5.1 se resumen estos tipos de transformaciones lineales

Tabla 5.1 Transformaciones lineales especiales de

Tabla 5.1 Transformaciones lineales especiales de

(continuación)

La multiplicación de una matriz por una matriz elemental tiene el efecto de realizar una operación elemental con renglones en esa matriz. La Tabla 5.2 enumera las matrices elementales en

Tabla 5.2 Matrices elementales en

Teorema 1

Toda matriz elemental E de 2x2 es uno de los siguientes: i) La representación matricial de una expansión a lo largo del eje x o y ii) La representación matricial de una compresión a lo largo del eje x o y iii) La representación matricial de una reflexión respecto a la recta iv) La representación matricial de un corte a lo largo del eje x o y v) La representación matricial de una reflexión respecto del eje x o y vi)El producto de la representación matricial de una reflexión respecto al eje x o y y la representación matricial de una expansión o compresión.

Anteriormente vimos que toda matriz invertible se puede expresar como el producto de matrices elementales. En el teorema anterior se demostró que toda matriz elemental en se puede expresar como el producto de representaciones matriciales de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.

Teorema 2

Sea una transformación lineal tal que su representación matricial es invertible. Entonces T se puede obtener como una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.

Nota: De acuerdo al teorema de resumen del Tema 4, es invertible si y sólo si . Pero según el teorema 4 . Esto significa que es invertible respecto a todas las bases en

Ejemplo 1 Descomposición de una transformación lineal en en una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.

Considere la transformación con representación matricial

se puede escribir como el producto de tres

matrices elementales :

Ahora

representa un corte a lo largo del

representa un corte a lo largo del

Representa una expansión a lo largo del seguida de una reflexión respecto al

Así, para aplicar T a un vector en se tiene que

i) Cortar a lo largo del

ii) Expandir a lo largo del

iii) Reflejar respecto al

iv) Cortar a lo largo del

Observe que estas operaciones se realizan en el orden en que se escriben las matrices en (*)

Para ilustrar esto, suponga que

Entonces

Usando las operaciones i) a iv) se tiene que

En la figura 5.6 se bosquejan estos pasos.

Figura 5.6 Descomposición de la transformación lineal

Es una sucesión de cortes, expansiones y reflexiones

a) Se comienza con ese vector.

b) Vector obtenido por el corte a lo largo del

c) Vector obtenido al expandir a lo largo del

d) Vector obtenido al reflejar respecto al

e) Vector obtenido por el corte a lo largo del

Bibliografía

Stanley L. Grossman, J. I. (2015). Matemáticas 4, Álgebra Lineal segunda edición. Cd. México: Mc. Graw Hill Education

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