Fase 2 - Actividad Matrices y Solución de Sistema de ecuaciones

Paso 2 - Actividad matrices y solución de sistema de ecuaciones Por: Genny Rocio Medina Villamizar Código: 1101598084 María Eugenia Caballero Flórez Código: 1101597449 Nelly del Socorro Arcila Henao Código: 39811514 Dionisio Hernández Contreras Código: 13495622 Nombre del curso: álgebra lineal Grupo: 10 Presentado a: Diego Leandro León Garzón CEAD Bucaramanga ECEDU 14/03/2023

Matrices

Determinantes

Álgebra Lineal Unidad 1

Sistema de ecuaciones lineales

Matriz inversa

Matriz

Una matriz es un arreglo rectangular con m filas y n columnas, donde sus mn componentes son números reales. Se llama matriz de orden o tamaño m x n.

Fig. 1: Matriz A genérica de m filas y n columnas, a la derecha se muestran sus elementos aij. (Copyright, 2023 GameDevTraum)

Datos importantes de las matrices

Son un conjunto bidimensional de números y símbolos.

Sirven para describir sistemas de cuaciones lineaes o diferenciales.

Sus elementos se organizan de forma rectangular.

Sus elementos se organizan en filas y columnas.

Toda matriz se representa por medio de una letra mayúscula.

Tienen doble superíndice, uno es la fila y el otro la columna.

Sus elementos se reúnen en dos paréntesis o corchetes.

Conceptos asociados a las matrices

Elementos: son los números que conforman la matriz.

Anillos: hace referencia al sistema formado por un conjunto de operaciones internas que responden a una serie de propiedades.

Función: regla entre dos conjuntos, donde un elemento del primer conjunto, corresponde con un solo elemento del segundo conjunto.

Dimensión: es el resultado del número de filas (m), por el número de columnas (n)

Tipos de matrices

Matriz rectangular

Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas (m≠n).

Ejemplo:

Tipos de matrices

Matriz fila

Es toda matriz rectangular que tiene una sola fila (m = 1).

Ejemplo:

Tipos de matrices

Matriz columna

Es toda matriz rectangular con una columna (n = 1).

Ejemplo:

Tipos de matrices

Matriz opuesta

La matriz opuesta a otra matriz es la que tiene todos los elementos de signo contrario a la matriz original. Por ejemplo, si tenemos la matriz A:

Ejemplo:

La matriz opuesta a A se designa como -A, donde que todos los elementos son de signo contrario a los elementos de la matriz A.

Tipos de matrices

Matriz cuadrada de orden n

Matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. En este tipo de matrices, la dimensión se llama orden, y su valor coincide con el número de filas y columnas.

Ejemplo:

Tipos de matrices

Matriz triangular superior

Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por encima de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:

Tipos de matrices

Matriz triangular inferior

Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por debajo de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:

Tipos de matrices

Matriz diagonal

Es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:

Tipos de matrices

Matriz escalar

La matriz escalar es toda matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo:

Tipos de matrices

Matriz identidad

Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal valen uno, es decir, la diagonal principal está formada por 1, y el resto de los elementos son 0.

Ejemplo:

Tipos de matrices

Matriz nula

La matriz nula donde todos los elementos son cero. Suele designarse con un 0.

Ejemplo:

Propiedades de la matriz inversa

• Sean A y B matrices invertibles del mismo orden, entonces el producto A B es invertible y además
• Si denota la transpuesta de una matriz, entonces:

Forma de calcular la matriz inversa por método de Gauss

• Se crea una matriz extendida: en el lado izquierdo se usa la matriz original y en el lado derecho, la matriz identidad.
• Se usan operaciones de columna y filas para reducir la matriz de la derecha a la identidad.
• Cada operación hecha en la matriz izquierda se reproduce en la matriz derecha.
• Al finalizar, se obtiene la matriz identidad del lado izquierdo y la matriz del lado derecho es la matriz inversa.

Ejemplo:

• Considerando una matriz 3x3 arbitraria.

• Se amplía con la matriz identidad de orden 3.

• Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa:

La matriz inversa es:

Determinante

• El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene como resultado de realizar una serie de operaciones con sus elementos. De este valor se pueden deducir importantes propiedades de los elementos que lo componen.

Tomado de: Uploaded. Determinante de una matriz 2x2, febrero (2017).

Determinante

• El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene como resultado de realizar una serie de operaciones con sus elementos. De este valor se pueden deducir importantes propiedades de los elementos que lo componen.

Tomado de: Uploaded. Determinante de una matriz 2x2, febrero (2017).

Valor de determinante de matrices

Determinante de orden uno

Dada la matriz

Valor de determinante de matrices

Determinante de orden dos

Dada la matriz

Valor de determinante de matrices

Determinante de orden tres

Dada la matriz

Propiedades de los determinantes

Determinante de la matriz transpuesta

El determinante de una matriz es equivalente al determinante de su matriz traspuesta. Se traspone la matriz 2×2 y se resuelve el determinante.

Ejemplo:

Propiedades de los determinantes

Determinante con una fila o columna llena de ceros

Si un determinante tiene una fila o una columna llena de ceros, el determinante da 0. En estos dos ejemplos los determinantes dan como resultado 0. Porque la segunda fila del primer determinante es todo ceros y la tercera columna del segundo determinante también.

Ejemplo:

Propiedades de los determinantes

Determinante con dos filas o columnas iguales

Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o múltiples, el determinante es igual a cero (0). En este caso el determinante da 0 porque las columnas 2 y 3 son iguales.

Ejemplo:

Propiedades de los determinantes

Cambiar filas o columnas de un determinante

Si se cambian dos filas o dos columnas entre sí, el determinante da el mismo resultado pero cambiado de signo. Ahora se cambia el orden de las columnas 2 y 3 entre sí. El resultado es el mismo pero cambiado de signo.

Ejemplo:

Propiedades de los determinantes

Multiplicar una línea de una determinante por un escalar

Multiplicar todos los elementos de toda una fila o de toda una columna por un número real, es igual a multiplicar el resultado del determinante por dicho número. Se coge el mismo determinante y se multiplica toda una fila por 2. El resultado será el del determinante anterior pero multiplicado por 2, es decir 10:

Ejemplo:

Propiedades de los determinantes

Determinante del producto matricial

El determinante del producto de dos matrices es igual al producto del determinante de cada matriz por separado. Primero se hace la multiplicación de las dos matrices, y luego se calcula el determinante de la matriz resultante:

Ejemplo:

Ahora se calcula el determinante de cada matriz por separado, y luego se multiplican los resultados. Como se puede evidenciar, al hacer primero el producto matricial y después el determinante da el mismo resultado que hacer primero el determinante de cada matriz y luego la multiplicación de los resultados.

Propiedades de los determinantes

Determinante de la matriz inversa

Ejemplo:

Se invierte la siguiente matriz y se calcula su determinante.

Y ahora se resuelve el determinante de la matriz original y se hace su inverso: Como se puede apreciar, los resultados de ambas operaciones son idénticos. Por lo que queda demostrada la propiedad.

Propiedades de los determinantes

Sustituir la fila de un determinante

Se puede sustituir la fila de un determinante por la suma (o resta) de la misma fila más (o menos) otra fila multiplicada por un número. Primero se calcula un determinante 3×3 con la regla de Sarrus:

Ejemplo:

Ahora a la fila 2 se le suma la primera fila multiplicada por 2: Y se resuelve el determinante después de haber transformado una de sus filas: En los dos casos el resultado ha sido -3. Así que queda demostrado que el resultado de un determinante no varia si se sustituye una fila por la suma de la misma fila más otra fila multiplicada por un número.

Propiedades de los determinantes

Determinante de una matriz triangular

El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.

Ejemplo:

Propiedades de los determinantes

Determinante de una matriz diagonal

El determinante de una matriz diagonal es igual a la multiplicación de los elementos de su diagonal principal.

Ejemplo:

Sistema de ecuaciones

Un sistema de cuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas. Un sistema de cuaciones lineales es un sistema de ecuaciones en el que cada ecuación es lineal y se pueden clasificar según su número de soluciones: Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son dos rectas que se cortan en un punto. Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden. Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.

Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones se pueden resolver a través de los siguientes métodos: A través del método de sustitución, se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la siguiente.

1. Método de sustitución

Ejemplo:

Sistema de ecuaciones lineales

Paso 1. Se despeja una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones del sistema. Se elige la incógnita que tenga el coeficiente más bajo. Paso 2. Se sustituye en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior: Paso 3. Se resuelve la ecuación obtenida:

Sistema de ecuaciones lineales

Paso 4. Se sustituye el valor obtenido en la variable despejada. Paso 5. Solución:

Sistema de ecuaciones lineales

Con el método de reducción lo que se hace es combinar, sumando o restando, las ecuaciones para que desaparezca una de las incógnitas. Paso 1. Lo más fácil es eliminar la y, de este modo no se tendría que modificar las ecuaciones; pero se opta por eliminar la x, para que se vea mejor el proceso.

1. Método de reducción

Ejemplo:

Sistema de ecuaciones lineales

Paso 2 y 3. Se resta y se resuelve la ecuación. Paso 4. Se sustituye el valor de y en la segunda ecuación lineal.

Sistema de ecuaciones lineales

Paso 5. Solución:

Sistema de ecuaciones lineales

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar los resultados. Paso 1. Se despeja, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

1. Método de igualación

Ejemplo:

Sistema de ecuaciones lineales

Paso 2. Se igualan ambas expresiones. Paso 3. Se resuelve la ecuación.

Sistema de ecuaciones lineales

Paso 4. Se sustituye el valor de y, en una de las dos expresiones en las que está despejada la x: Paso 5: solución:

Referencias Bibliográficas Castañeda H, S., Barrios S, A., & Gutiérrez G, I. (2017). Manual de álgebra lineal. Universidad del Norte. Benavides-Parra, J. C. (20,12,2018). Aplicación del producto entre matrices. [Archivo de video]. http://hdl.handle.net/10596/23298 Florencio, G. (2014), Algebra lineal: Serie Universitaria, Grupo Editorial Patria. https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39423 Mendoza, V. M (2022) Aplicaciones matriciales del Álgebra Lineal https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39423 Ríos, J. (2013). Sistema de ecuaciones lineales 2x2 [OVI]. http://hdl.handle.net/10596/7689 Veloza, L. (2016). Ovi de Operaciones con Matrices http://hdl.handle.net/10596/7095 Zúñiga, C. (2010). Módulo Algebra Lineal http://hdl.handle.net/10596/7193