LOS NÚMEROS ENTEROS 1º ESO

UNIDAD 5

-5

LOS NÚMEROS ENTEROS

+20

ÍNDICE

5.1 El conjunto de los números enteros.

5.2 Ordenación y comparación en la recta real.

5.3 Distancias sobre la recta.

5.3.1 Valor absoluto de un número entero.

5.3.2 Opuesto de un número entero.

5.4 Suma y resta de números enteros.

5.5 Multiplicación y división de números enteros.

5.6 Potencias de base entera y exponente natural. Propiedades.

5.7 Operaciones combinadas.

¿CÓMO SURGIERON LOS NÚMEROS ENTEROS?

3715 mde altura

+ 3715 m

El Teide

0 m

200 mde profundidad

- 200 m

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¿CÓMO SURGIERON LOS NÚMEROS ENTEROS?

+ 100 €

Tener 100 €

- 100 €

Deber 100 €

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¿CÓMO SURGIERON LOS NÚMEROS ENTEROS?

20ºC sobre cero

+ 20º C

0ºC

20ºC bajo cero

- 20º C

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¿Sabrían encontrar más situaciones de la vida real donde se utilizan los números enteros?

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5.1 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros se representa con la letra . Está formado por los números enteros negativos, el cero y los números enteros positivos.

= [...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3...]

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PRACTICAMOS

2. Representa con un número entero la temperatura de los termómetros de Atenas (A), Berlín (B), Copenhague (C), Dublín (D) y Estocolmo (E). Luego, responde a las preguntas.

1. Expresa estos datos usando números enteros.

a. ¿Qué ciudades presentan temperaturas bajo cero? b. ¿Qué ciudades presentan temperaturas sobre cero? c. ¿Qué ciudades presentan la máxima diferencia de temperatura?

a. Luis debe 55 € a un amigo. b. El pueblo está al nivel del mar. c. El agua hierve a 100ºC. d. El garaje está en el segundo sótano.

5.2 ORDENACIÓN Y COMPARACIÓN EN LA RECTA REAL

Para representar los números enteros en la recta numérica seguimos estos pasos:

Paso 2:Usamos dicha distancia para ir situando, a partir del cero, los números positivos a la derecha y los negativos a la izquierda.

Paso 1:Señalamos en la recta el 0 y el +1 a su derecha, a una distancia cualquiera.

Paso 3:Señalamos los números que queremos representar con puntos sobre la recta.

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PRACTICAMOS

2. Escribe en tu cuaderno los números representados en la recta.

1. Representa los números 0, +4, +6, -4, -2 y +3 en la recta numérica.

ORDENACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Si representamos varios números en la recta numérica, el mayor es el que está más a la derecha y el menor el que se sitúa más a la izquierda.

• Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

• El 0 es menor que cualquier número positivo y mayor que cualquier número entero negativo.

Ejemplo: Queremos ordenar de menor a mayor los números 0, -2, -5, +5 y +3.

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PRACTICAMOS

2. Completa las siguientes expresiones usando los signos menor que (<), mayor que (>) o igual (=). a. +2 _ +8 d. -2 _ -8 b. -2 _ +8 e. +14 _ -25 c. +2 _ -8 f. -12 _ 0

1. Representa en la recta numérica y ordena de menor a mayor los números -3, +5, +6, -2, +2, 0, +3, -4, +1.

5.3 DISTANCIAS SOBRE LA RECTA

5.3.1. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO.

El valor absoluto de un número a, |a|, representa su distancia al 0 y es igual al número natural que resulta de eliminar el signo. Si un número es positivo, coincide con su valor absoluto.

Ejemplo: El número +3 se encuentra a 3 unidades de distancia del 0, y el -5, a 5 unidades. |+3| = 3 y |-5| = 5

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5.3.2. OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO.El opuesto de un número a, op(a), es otro número entero que está a la misma distancia del cero pero al otro lado de la recta numérica.

Ejemplo: El opuesto de 9 es op(9) = -9. El opuesto de -4 es op(-4) = +4.

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PRACTICAMOS

1. Representa en la recta numérica, en cada caso, dos números enteros: a. Que estén a 8 unidades del 0. b. Cuyos valores absolutos sean 18.

2. Representa estos números y sus opuestos en la recta numérica. a. +3 b. -6 c. +1 d. -2 e. +4 f. 0

ACTIVIDAD 1

En el Cassroom se les activará una actividad en la que tendrán que contestar preguntas después de leer este cómic.

5.4 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Suma de números enteros.

Ejemplo: Julia desayuna una tostada de aguacate y salmón que tiene 150 calorías para tener fuerzas para entrenar. Con el entrenamiento gasta 100 calorías corriendo 20 minutos para llegar a la playa, y luego otras 180 calorías nadando media hora. Ha gastado en total 280 calorías haciendo deporte. Julia piensa que debería haber desayunado 130 calorías más. ¡Compensará en la comida!

¿Sabrían explicar cómo ha hecho el cálculo la deportista?

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Para sumar números enteros nos movemos en la recta numérica, a partir del cero, a la derecha, si el número es positivo, y a la izquierda, si el número es negativo.

La deportista ha ingerido 150 calorías, +150, pero ha gastado 280 calorías, -280:

(+150) + (-100) + (-180) = (+150) + (-280) = -130

Por tanto, ha gastado 130 calorías de más de lo que ha ingerido.

PRACTICAMOS

2. Realiza las siguientes sumas representándolas en la recta numérica.

1. Escribe en tu cuaderno la suma representada en cada caso.

a. (+5) + (+4) b. (-8) + (+3) c. (-8) + (-3)

Resta de números enteros.

Para restar dos números enteros sumamos al primero el opuesto del segundo.

Ejemplo:

(-3) - (+8) = (-3) + (-8) = -11

(-8) - (-3) = (-8) + (+3) = -5

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PRACTICAMOS

Escribe estas restas como sumas y halla el resultado.

a. (+15) - (-4) e. (-12) - (+35) b. (-6) - (-8) f. (+48) - (+48) c. (+12) - (+25) g. (+12) - (-18) d. (+12) - (-35) h. (+15) - (+10)

• El signo + de un número entero positivo no se suele escribir.
• Si antes del paréntesis hay un signo +, los sumandos se quedan con el mismo signo.
• Si antes del paréntesis hay un signo -, los sumandos cambian de signo.

Ahora vamos a hacerlo sin paréntesis.

(2) + (+3) = 2 + 3 = 5 (-2) + (+3) = -2 + 3 = 1 (+2) + (-3) = 2 - 3 = -1 (-2) + (-3) = -2 - 3 = -5 (+2) - (+3) = 2 - 3 = -1 (-2) - (-3) = -2 + 3 = 1 (+2) - (-3) = 2 + 3 = 5 (-2) - (+3) = -2 - 3 = -5

PRACTICAMOS

Escribe las operaciones sin paréntesis y calcula.

a. (+3) - (+5) e. (+4) - (+3) + (+6) b. (-2) - (-6) f. - (+7) - (+8) + (+6) c. (+12) + (-7) g. (-2) - (-5) - (+3) d. (-8) + (-9) h. (-3) - (-7) + (-6) - (-5)

5.5 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar o dividir dos números enteros multiplicamos o dividimos considerándolos como números naturales y luego aplicamos la regla de los signos para determinar el signo del producto o del cociente.

Ejemplos:

(+3) · (+4) = 3 · 4 = 12 (-2) · (-7) = -2 · (-7) = 14(+12) : (+3) = 12 : 3 = 4 (+14) : (-7) = 14 : (-7) = -2 (-7) · (+8) = -7 · 8 = -56 (+5) · (-12) = 5 · (-12) = -60 (-56) : (+8) = -56 : 8 = -7 (-60) : (-12) = -60 : (-12) = +5

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PRACTICAMOS

Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de números enteros:

a. (+3) · (-8) e. (+5) · (-20) · (+5) b. (-10) : (-5) f. 4 · (-3) · 2 c. (-9) · (+2) g. (-3) · (-5) · 8 · (-6) d. (+27) : (+3)

5.6 POTENCIAS DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL

Al elevar un número entero negativo a una potencia:

• Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
• Si el exponente es par, el resultado es positivo.

Ejemplos:

(+2)5 = 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 (-3)3 = (-3) · (-3) · (-3) = -27(-3)4 = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 34 = 81

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PRACTICAMOS

Calcula el valor de las siguientes potencias:

a. 23 e. (-3)5 b. (-2)4 f. 106 c. (-1)20 d. (-4)1

PRACTICAMOS

5.7 OPERACIONES COMBINADAS

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

Recordamos la jerarquía de las operaciones:

a. -2 - 3 · (-4) b. 25 - 20 : (-5) c. -6 · 3 - 33 d. 2 - (-3)2 · 5 - 7 e. - (-4) - (-16) : (-2)2

1. Resolvemos las operaciones incluídas dentro de los paréntesis.
2. Raíces y potencias.
3. Multiplicaciones y divisiones.
4. Sumas y restas.

PRACTICAMOS