Unità 1
Congruenza e
Misura nel Piano euclideo
INIZIA QUI
Legenda
I concetti primitivi e i primi assiomi
Parti della retta e poligonali
Semipiani, angoli e poligoni
Il concetto di congruenza
Congruenza e misura dei segmenti
Congruenza e misura degli angoli
Teoremi sugli angoli
I concetti primitivi e i primi assiomi
Avanti
Assioma 1 e assioma 2
Assioma 1 e assiomi di appart. alla retta (2):
Assioma 1: Ogni piano è un insieme di punti. Ogni retta è un sottoinsieme del piano. Assioma 2: a) A ogni retta appartengono almeno due punti distinti. b) Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta alla quale appartengono entrambi. c) Data una retta nel piano, esiste almeno un punto del piano che non appartiene ad essa.
I concetti primitivi e i primi assiomi
avanti
Assiomi di ordine e def. di fascio
Assioma 3 e def. di fascio:
Assioma 3: a) Dati due punti distinti A e B, tali che A precede B, esiste sempre un punto C compreso tra A e B. b) dato un punto P, esistono sempre due punti A e B, tali che A precede P e P precede B. Def: L'insieme delle rette che passano per un punto del piano si chiama fascio proprio di rette; il punto per cui passano tutte le rette del fascio si chiama centro del fascio
Parti della retta e poligonali
avanti
Def. di segmento
Def. di semiretta
Data una retta e un suo punto, si chiama semiretta la figura costituita dal punto e da una delle due parti in cui la retta è divisa dal punto stesso. Il punto si dice origine della semiretta.
Dati due punti A e B su di una retta, chiamiamo segmento AB l'insieme costituito dai due punti A e B e da tutti i punti compresi tra A e B. I punti A e B si dicono estremi, mentre quelli diversi dagli estremi si dicono interni.
Parti della retta e poligonali
avanti
Def. di segmenti consecutivi e adiacenti
Definizione:
Due segmenti che hanno in comune uno e un solo estremo si dicono consecutivi. Due segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti.
In verde segmenti consecutivi. In rosso segmenti adiacenti.
Parti della retta e poligonali
avanti
I segmenti si dicono lati della poligonale e i loro estremi vertici della poligonale.
Definizione di poligonale
Si chiama poligonale la figura formata da un insieme ordinato di segmenti, tali che: a) ciascun segmento e il successivo siano consecutivi ma non adiacenti; b) ciascun estremo dei segmenti sia in comune al massimo a due di essi.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Def. di figura concava
Def. di fugura convessa
Una figura non convessa si dice concava.
Una figura geometrica F si dice convessa se, comunque scelti due punti A, B ∈ F, il segmento AB è tutto contenuto in F.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Assioma 4
Assioma di partizione del piano da parte di una retta:
Consideriamo una retta r nel piano. L'insieme dei punti del piano che non appartengono a r resta diviso da r in due sottoinsiemi disgiunti e convessi, α e β, tali che, se A appartiene ad α e B appartiene a β, allora il segmento AB interseca la retta r in uno e un solo punto.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Definizione di semipiano
Definizione:
Data una retta in un piano, si chiama semipiano la figura costituita dalla retta e da una delle due parti in cui il piano è diviso dalla retta stessa. La retta si dice origine (o frontiera) del semipiano.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Definizione di angolo
Definizione:
Date in un piano due semirette aventi la stessa origine, si chiama angolo la figura costituita dalle due semirette e da una delle due parti in cui il piano è diviso dalle semirette stesse. L'origine delle due semirette si chiama vertice dell'angolo e le due semirette si chiamano lati dell'angolo.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Def. di angoli adiacenti
Def. di angoli consecutivi
Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni appartengono alla stessa retta.
Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice e se hanno in comune soltanto i punti di un lato.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Def. di angoli opposti al vertice
Definizione
Def: Due angoli si dicono opposti al vertice se sono convessi e i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Definizione di poligono
Definizione
Consideriamo una poligonale chiusa e non intrecciata. Chiamiamo poligono la figura formata dalla poligonale e dai punti interni ad essa. I vertici e i lati della poligonale si chiamano vertici e lati del poligono. La poligonale si dice anche contorno o frontiera del poligono.
Il concetto di congruenza
avanti
Assioma 5
Assioma 5: Primo assioma di congruenza
La relazione di congruenza fra le figure del piano gode delle seguenti proprietà: a) ogni figura è conguente a se stessa;
a)
b) se la figura F1 è congruente alla figura F2, allora F2 è congruente a F1 (proprietà simmetrica);
b)
c) Se la figura F1 è congruente alla figura F2 e la figura F2 è congruente a F3, allora anche F1 ed F3 sono congruenti.
c)
Il concetto di congruenza
avanti
Assioma 6 e def. di poligono regolare
Assioma 6 (congruenza di punti, semirette, piani e semipiani) e def. di poligono regolare:
Assioma 6: Tutti i punti sono congruenti fra loro, e così pure le rette, le semirette, i piani e i semipiani. Def: Un poligono che ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti si dice regolare.
Nell'esempio si nota un poligono regolare.
Il concetto di congruenza
avanti
Assioma 7, b):
Assioma 7, a):
Dato un angolo aOb e una semiretta a′ di origine O′, su ognuno dei due semipiani individuati dalla retta cui appartiene la semiretta a′ esiste una unica semiretta b′, di origine O′, tale che a′Ob′è ≅ aOb.
Dato un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste un unico punto P, sulla semiretta, tale che AB è congruente a OP.
Congruenza e misura dei segmenti
avanti
Assioma 8 e def. di punto medio
Assioma 8 e def:
Assioma 8: Somme, differenze, multipli e sottomultipli di segmenti congruenti sono a loro volta congruenti. Def: Dato un segmento, si dice punto medio del segmento il punto che lo divide in due segmenti congruenti.
Congruenza e misura dei segmenti
avanti
Proprietà
Proprietà: Misura di un segmento
Due segmenti sono congruenti se e solo se hanno la stessa misura.
a)
Un segmento AB è minore di un segmento A′B′ se e solo se la misura di AB èminore di quella di A′B′.
b)
La misura della somma di due segmenti è la somma delle misure dei due seg-menti..
c)
Congruenza e misura dei segmenti
avanti
Assioma 9
Assioma 9 (assioma di continuità):
Comunque fissati un segmento (non nullo) u come unità di misura e un numero reale positivo k, esiste un segmento la cui misura rispetto a u è il numero k.
Congruenza e misura degli angoli
avanti
Assioma 10 e def. di bisettrice
Assioma 10 e def:
Assioma 10: Somme, differenze, multipli e sottomultipli di angoli congruenti sono congruenti. Def: Si dice bisettrice di un angolo la semiretta, avente origine nel vertice dell’angolo, che lo divide in due angoli congruenti.
Congruenza e misura degli angoli
avanti
-Si dice angolo ottuso ogni angolo maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto (vedi fig. 3).
Def. di angoli retti, acuti e ottusi
-Si dice angolo retto la metà di un angolo piatto (vedi fig. 1). -Si dice angolo acuto ogni angolo maggiore dell’angolo nullo e minore di un angolo retto (vedi fig. 2).
Teoremi sugli angoli
avanti
Teorema 1
Teorema 1 (angoli complementari di angoli congruenti):
Due angoli complementari rispettivamente di due angoli congruenti sono congruenti. IPOTESI: α+β≅90°; α′+β′≅90°; β≅β′. TESI: α≅α′. DIMOSTRAZIONE: - α+β≅90° per ipotesi, quindi α≅90°−β per definizione di differenza di due angoli. - α′+β′≅90° per ipotesi, quindi α′≅90°−β′per definizione di differenza di due angoli. -Poiché tutti gli angoli retti sono fra loro congruenti e β≅β′, deduciamo che α≅α′ in quanto differenze di angoli congruenti.
Teoremi sugli angoli
avanti
Teorema 2
Teorema 2 (angoli supplementari di angoli congruenti):
Due angoli supplementari rispettivamente di due angoli congruenti sono congruenti. IPOTESI: α+β≅180°; α′+β′≅180°; β≅β′. TESI: α≅α′. DIMOSTRAZIONE: - α+β≅180° per ipotesi, quindi α≅180°−β per definizione di differenza di due angoli. - α′+β′≅180° per ipotesi, quindi α′≅180°−β′ per definizione di differenza di due angoli. - Poiché tutti gli angoli piatti sono fra loro congruenti e β≅β′ , deduciamo che α≅α′ in quanto differenze di angoli congruenti.
Teoremi sugli angoli
avanti
Teorema 3
Teorema 3 (angoli opposti al vertice):
Due angoli opposti al vertice sono congruenti. IPOTESI: α e β sono opposti al vertice. TESI: α≅β. DIMOSTRAZIONE: Ciascuno dei due angoli α e β è supplementare dell’angolo γ, di conseguenza α e β sono congruenti in quanto supplementari dello stesso angolo.
Teoremi sugli angoli
avanti
Proprietà
Proprietà: misura degli angoli:
Dato un qualsiasi angolo α e scelto un angolo come unità di misura, all’angolo α si può associare un unico numero reale positivo, detto misura dell’angolo α. Tale misura ha le seguenti proprietà: a) due angoli sono congruenti (vedi fig.) se e solo se hanno la stessa misura; b) un angolo α è minore di un angolo α′ se e solo se la misura di α è minore della misura di α′; c) La misura della somma di due angoli è la somma delle misure degli angoli.
Geometria
Congruenza e misura nel piano euclideo
Grazie
Ivan Teli
Congruenza e misura nel piano euclideo
non lo so
Created on March 10, 2023
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Unità 1
Congruenza e
Misura nel Piano euclideo
INIZIA QUI
Legenda
I concetti primitivi e i primi assiomi
Parti della retta e poligonali
Semipiani, angoli e poligoni
Il concetto di congruenza
Congruenza e misura dei segmenti
Congruenza e misura degli angoli
Teoremi sugli angoli
I concetti primitivi e i primi assiomi
Avanti
Assioma 1 e assioma 2
Assioma 1 e assiomi di appart. alla retta (2):
Assioma 1: Ogni piano è un insieme di punti. Ogni retta è un sottoinsieme del piano. Assioma 2: a) A ogni retta appartengono almeno due punti distinti. b) Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta alla quale appartengono entrambi. c) Data una retta nel piano, esiste almeno un punto del piano che non appartiene ad essa.
I concetti primitivi e i primi assiomi
avanti
Assiomi di ordine e def. di fascio
Assioma 3 e def. di fascio:
Assioma 3: a) Dati due punti distinti A e B, tali che A precede B, esiste sempre un punto C compreso tra A e B. b) dato un punto P, esistono sempre due punti A e B, tali che A precede P e P precede B. Def: L'insieme delle rette che passano per un punto del piano si chiama fascio proprio di rette; il punto per cui passano tutte le rette del fascio si chiama centro del fascio
Parti della retta e poligonali
avanti
Def. di segmento
Def. di semiretta
Data una retta e un suo punto, si chiama semiretta la figura costituita dal punto e da una delle due parti in cui la retta è divisa dal punto stesso. Il punto si dice origine della semiretta.
Dati due punti A e B su di una retta, chiamiamo segmento AB l'insieme costituito dai due punti A e B e da tutti i punti compresi tra A e B. I punti A e B si dicono estremi, mentre quelli diversi dagli estremi si dicono interni.
Parti della retta e poligonali
avanti
Def. di segmenti consecutivi e adiacenti
Definizione:
Due segmenti che hanno in comune uno e un solo estremo si dicono consecutivi. Due segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti.
In verde segmenti consecutivi. In rosso segmenti adiacenti.
Parti della retta e poligonali
avanti
I segmenti si dicono lati della poligonale e i loro estremi vertici della poligonale.
Definizione di poligonale
Si chiama poligonale la figura formata da un insieme ordinato di segmenti, tali che: a) ciascun segmento e il successivo siano consecutivi ma non adiacenti; b) ciascun estremo dei segmenti sia in comune al massimo a due di essi.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Def. di figura concava
Def. di fugura convessa
Una figura non convessa si dice concava.
Una figura geometrica F si dice convessa se, comunque scelti due punti A, B ∈ F, il segmento AB è tutto contenuto in F.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Assioma 4
Assioma di partizione del piano da parte di una retta:
Consideriamo una retta r nel piano. L'insieme dei punti del piano che non appartengono a r resta diviso da r in due sottoinsiemi disgiunti e convessi, α e β, tali che, se A appartiene ad α e B appartiene a β, allora il segmento AB interseca la retta r in uno e un solo punto.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Definizione di semipiano
Definizione:
Data una retta in un piano, si chiama semipiano la figura costituita dalla retta e da una delle due parti in cui il piano è diviso dalla retta stessa. La retta si dice origine (o frontiera) del semipiano.
Semipiani, angoli e poligoni
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Definizione di angolo
Definizione:
Date in un piano due semirette aventi la stessa origine, si chiama angolo la figura costituita dalle due semirette e da una delle due parti in cui il piano è diviso dalle semirette stesse. L'origine delle due semirette si chiama vertice dell'angolo e le due semirette si chiamano lati dell'angolo.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Def. di angoli adiacenti
Def. di angoli consecutivi
Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni appartengono alla stessa retta.
Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice e se hanno in comune soltanto i punti di un lato.
Semipiani, angoli e poligoni
avanti
Def. di angoli opposti al vertice
Definizione
Def: Due angoli si dicono opposti al vertice se sono convessi e i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
Semipiani, angoli e poligoni
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Definizione di poligono
Definizione
Consideriamo una poligonale chiusa e non intrecciata. Chiamiamo poligono la figura formata dalla poligonale e dai punti interni ad essa. I vertici e i lati della poligonale si chiamano vertici e lati del poligono. La poligonale si dice anche contorno o frontiera del poligono.
Il concetto di congruenza
avanti
Assioma 5
Assioma 5: Primo assioma di congruenza
La relazione di congruenza fra le figure del piano gode delle seguenti proprietà: a) ogni figura è conguente a se stessa;
a)
b) se la figura F1 è congruente alla figura F2, allora F2 è congruente a F1 (proprietà simmetrica);
b)
c) Se la figura F1 è congruente alla figura F2 e la figura F2 è congruente a F3, allora anche F1 ed F3 sono congruenti.
c)
Il concetto di congruenza
avanti
Assioma 6 e def. di poligono regolare
Assioma 6 (congruenza di punti, semirette, piani e semipiani) e def. di poligono regolare:
Assioma 6: Tutti i punti sono congruenti fra loro, e così pure le rette, le semirette, i piani e i semipiani. Def: Un poligono che ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti si dice regolare.
Nell'esempio si nota un poligono regolare.
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Assioma 7, b):
Assioma 7, a):
Dato un angolo aOb e una semiretta a′ di origine O′, su ognuno dei due semipiani individuati dalla retta cui appartiene la semiretta a′ esiste una unica semiretta b′, di origine O′, tale che a′Ob′è ≅ aOb.
Dato un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste un unico punto P, sulla semiretta, tale che AB è congruente a OP.
Congruenza e misura dei segmenti
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Assioma 8 e def. di punto medio
Assioma 8 e def:
Assioma 8: Somme, differenze, multipli e sottomultipli di segmenti congruenti sono a loro volta congruenti. Def: Dato un segmento, si dice punto medio del segmento il punto che lo divide in due segmenti congruenti.
Congruenza e misura dei segmenti
avanti
Proprietà
Proprietà: Misura di un segmento
Due segmenti sono congruenti se e solo se hanno la stessa misura.
a)
Un segmento AB è minore di un segmento A′B′ se e solo se la misura di AB èminore di quella di A′B′.
b)
La misura della somma di due segmenti è la somma delle misure dei due seg-menti..
c)
Congruenza e misura dei segmenti
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Assioma 9
Assioma 9 (assioma di continuità):
Comunque fissati un segmento (non nullo) u come unità di misura e un numero reale positivo k, esiste un segmento la cui misura rispetto a u è il numero k.
Congruenza e misura degli angoli
avanti
Assioma 10 e def. di bisettrice
Assioma 10 e def:
Assioma 10: Somme, differenze, multipli e sottomultipli di angoli congruenti sono congruenti. Def: Si dice bisettrice di un angolo la semiretta, avente origine nel vertice dell’angolo, che lo divide in due angoli congruenti.
Congruenza e misura degli angoli
avanti
-Si dice angolo ottuso ogni angolo maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto (vedi fig. 3).
Def. di angoli retti, acuti e ottusi
-Si dice angolo retto la metà di un angolo piatto (vedi fig. 1). -Si dice angolo acuto ogni angolo maggiore dell’angolo nullo e minore di un angolo retto (vedi fig. 2).
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Teorema 1
Teorema 1 (angoli complementari di angoli congruenti):
Due angoli complementari rispettivamente di due angoli congruenti sono congruenti. IPOTESI: α+β≅90°; α′+β′≅90°; β≅β′. TESI: α≅α′. DIMOSTRAZIONE: - α+β≅90° per ipotesi, quindi α≅90°−β per definizione di differenza di due angoli. - α′+β′≅90° per ipotesi, quindi α′≅90°−β′per definizione di differenza di due angoli. -Poiché tutti gli angoli retti sono fra loro congruenti e β≅β′, deduciamo che α≅α′ in quanto differenze di angoli congruenti.
Teoremi sugli angoli
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Teorema 2
Teorema 2 (angoli supplementari di angoli congruenti):
Due angoli supplementari rispettivamente di due angoli congruenti sono congruenti. IPOTESI: α+β≅180°; α′+β′≅180°; β≅β′. TESI: α≅α′. DIMOSTRAZIONE: - α+β≅180° per ipotesi, quindi α≅180°−β per definizione di differenza di due angoli. - α′+β′≅180° per ipotesi, quindi α′≅180°−β′ per definizione di differenza di due angoli. - Poiché tutti gli angoli piatti sono fra loro congruenti e β≅β′ , deduciamo che α≅α′ in quanto differenze di angoli congruenti.
Teoremi sugli angoli
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Teorema 3
Teorema 3 (angoli opposti al vertice):
Due angoli opposti al vertice sono congruenti. IPOTESI: α e β sono opposti al vertice. TESI: α≅β. DIMOSTRAZIONE: Ciascuno dei due angoli α e β è supplementare dell’angolo γ, di conseguenza α e β sono congruenti in quanto supplementari dello stesso angolo.
Teoremi sugli angoli
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Proprietà
Proprietà: misura degli angoli:
Dato un qualsiasi angolo α e scelto un angolo come unità di misura, all’angolo α si può associare un unico numero reale positivo, detto misura dell’angolo α. Tale misura ha le seguenti proprietà: a) due angoli sono congruenti (vedi fig.) se e solo se hanno la stessa misura; b) un angolo α è minore di un angolo α′ se e solo se la misura di α è minore della misura di α′; c) La misura della somma di due angoli è la somma delle misure degli angoli.
Geometria
Congruenza e misura nel piano euclideo
Grazie
Ivan Teli