Intervalos de Confianza

METODOS CUANTITATIVOS

Intervalos de Confianza

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Prof. Ghislaine Murzi S.

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ESTIMADORES PUNTUALES

Queremos hacer inferencia respecto de una población, basados en la información contenida en una muestra aleatoria. Nos centraremos en características específicas, parámetros, de la población. Por ejemplo: 􏰥 El nivel medio de consumo de cierto producto. 􏰥 La proporción de mujeres con cargos jerárquicos en una empresa. Cualquier inferencia sobre la población estará basada en estadísticos muestrales.

RECORDEMOS

Para estimar el valor de un parámetro poblacional, la característica correspondiente se calcula con los datos de la muestra, a lo que se le conoce como estadístico muestral.

ESTIMADORES PUNTUALES

Media muestral

Desviación estándar muestral

Proporción muestral

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ESTIMADORES PUNTUALES

Media - desviación -proporción

A la media muestral x ̄ se le conoce como el estimador puntual de la media poblacional μ, A la desviación estándar muestral se conoce como el estimador puntual de la desviación estándar poblacional σ y a la proporción muestral p ̄ como el estimador puntual de la proporción poblacional p. Al valor numérico obtenido de x ̄, s, o p ̄ se les conoce como estimaciones puntuales. Son puntuales porque ofrecen un único valor como estimación del parámetro de interés.

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Por ejemplo si en una muestra de 50 personas que egresaron de una carrera universitaria en los últimos diez años se encuentra que han terminado la carrera con una nota promedio de media = 4.50 , disponemos de una media muestral; si ahora preguntamos por el promedio con que terminan la carrera todas las personas que egresan, la respuesta es tentativa, porque la población es hipotética, en el futuro seguirá habiendo nuevos egresos. Diremos que posiblemente es cercano a 4,50. Con esta expresión imprecisa, hacemos una estimación de la media poblacional ( μ ). De igual modo, si en la misma muestra de 50 profesionales, se ve que la proporción de mujeres es ˆ p = 0.70 , podremos decir que, del total de quienes se reciben en esa carrera, alrededor del 70% son mujeres. Así hacemos una estimación de P a partir de ˆ p . Pero estas estimaciones son deficientes, ya que no sabemos cuán cerca puede estar la verdadera nota promedio de 4.50 ó la verdadera proporción de mujeres del 70%. Estas son las que se denominan estimaciones puntuales.

EJEMPLO

EJEMPLO

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INTERVALOS DE CONFIANZA

Una estimación más completa de los parámetros se denomina estimación por intervalos

Un intervalo de confianza es un rango de valores que se determina en base a información muestral, en el cual es probable que el parámetro poblacional esté contenido.

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Intervalos de Confianza

La estimación por intervalo es generalmente preferida a la estimación puntual ya que esta última no provee información respecto al error en la estimación. Ella consiste en ofrecer no ya un número como en la estimación puntual, sino un intervalo acerca del cual se tiene cierto grado de certitumbre (o se deposita cierta confianza) que contenga el parámetro Veremos cómo construir intervalos de confianza para la media (μ) y para la proporción (p).

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Intervalos de Confianza

Así, en lugar de decir que el promedio con que egresan quienes terminan una carrera universitaria “debe ser cercano a 4.50”, se construirá un intervalo, que dirá, por ejemplo, “hay una confianza del 95% en que el intervalo [ 4.10 ; 4.90 ] contiene al promedio con que se termina esa carrera”. De manera equivalente, en lugar de “entre quienes egresan hay alrededor del 70% de mujeres”, se afirmará algo como “con una confianza del 95%, el intervalo [ 68 ; 72 ] % contiene a la proporción de mujeres sobre el total quienes egresan”. O, en lugar de decir "el consumo anual de cerveza es cercano al 80,2 litros", podríamos señalar que con "un 95% de confianza el consumo anulas de cerveza se ubica entre 78.2 y 82.2 litros"

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Intervalos de Confianza

Esta forma de estimar ofrece dos números, los límites de un intervalo, del que esperamos contenga al parámetro que estimamos. Decimos “esperamos que se contenga” porque no hay certeza absoluta de que se encuentre allí, hay una confianza que en estos ejemplos hemos fijado en el 95 % .

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RECORDEMOS

RECORDEMOS

El objetivo de la estimación por intervalo es aportar información de qué tan cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del parámetro poblacional.

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INTERVALOS DE CONFIANZAPARA LA ESTIMACIÓN DE LA MEDIA

( μ)

Una estimación más completa de los parámetros se denomina estimación por intervalos

Ya sabemos que a partir de resultados muestrales (aspectos específicos) podemos estimar parámetros poblacionales desconocidos (generalizaciones más amplias. Existen dos tipos de estimaciones para parámetros poblacionales; puntuales y por intervalo. • Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador. (ej. Media muestral) •Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parámetro.

RECORDEMOS

INTERVALO DE CONFIANZA: es el rango dentro de cual caerá el verdadero parámetro de la población , suponiendo un determinado nivel de confianza. NIVEL DE CONFIANZA: es la probabilidad de que un intervalo de confianza incluya el parámetro de la población

RECORDEMOS

El intervalo de confianza para la media poblacional es el intervalo que tiene una mayor probabilidad de contener la media poblacional. Se utilizan con frecuencia dos intervalos de confianza para la media poblacional: el intervalo de confianza de 95% y el intervalo de confianza de 99%.

RECORDEMOS

El intervalo de confianza de 95% indica que el 95% de las medias muestrales de un tamaño de muestra específico seleccionadas de una población, se hallará dentro de más o menos 1.96 desviaciones estándares de la media poblacional hipotética. El intervalo de confianza de 99% indica que el 99% de las medias muestrales de un tamaño de muestra específico seleccionadas de una población, se hallará dentro de más o menos 2.58 desviaciones estándares de la media poblacional hipotética.

RECORDEMOS

Nivel de confianza valor Z asociado

El intervalo de confianza de 95% indica que el 95% de las medias muestrales de un tamaño de muestra específico seleccionadas de una población, se hallará dentro de más o menos 1.96 desviaciones estándares de la media poblacional hipotética. El intervalo de confianza de 99% indica que el 99% de las medias muestrales de un tamaño de muestra específico seleccionadas de una población, se hallará dentro de más o menos 2.58 desviaciones estándares de la media poblacional hipotética.

RECORDEMOS

En r puede obtener el valor Z con la función q, recuerde es una Distribución normal, entonces: Para 90% ... qnorm(0.05) Para 95%....qnorm(0.025)

1-α (siendo α -nivel de significancia- la máxima probabilidad aceptada de cometer un error)

RECORDEMOS

Intervalos de Confianza

( μ)

Intervalo de confianza para la media de la población con desviación estándar conocida

1. Para este ejercicio fijamos un nivel de confianza del 90% 2. Cálculo del margen de error Cuando estimo la media poblacional a través de la media muestral y cuando la desviación estándar de la población es conocida, el máximo error de estimación dado para un nivel de confianza 1-α está dado por la siguiente ecuación. siendo Zα/2 , el cuantil de la distribución normal estándar que arrastra una probabilidad de α/2 , con α nivel de significancia establecido si yo deseo tener un nivel de confianza del 90%, entonces α va a ser del 0.1 y α/2 va a ser 0.05 calculo los valores para que z tengo una probabilidad del 10% Z es el valor crítico del intervalo de confianza.

Intervalos de Confianza

( μ)

Intervalo de confianza para la media de la población con desviación estándar conocida

1. Para este ejercicio fijamos un nivel de confianza del 90% 2. Cálculo del margen de error Cuando estimo la media poblacional a través de la media muestral y cuando la desviación estándar de la población es conocida, el máximo error de estimación dado para un nivel de confianza 1-α está dado por la siguiente ecuación. 3. Calculamos los límites del intervalo:

Intervalos de Confianza

Intervalos de Confianza -ejemplo

( μ)

Intervalo de confianza para la media de la población con desviación estándar desconocida

En la vida real casi nunca se conoce la desviación estándar de la población… Como construimos un estimador de intervalo de confianza cuando se desconoce la desviación estándar?

Intervalos de Confianza

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DISTRIBUCIÓN t (student)

Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño (< 30). Se utiliza para realizar estimaciones de parámetros de las poblaciones a partir de los valores estadísticos correspondientes a las muestras cuando se desconoce el valor de la desviación estándar.

Distribución t

La distribución t de Student tiene un área mayor en las colas y un área menos en el centro que la distribución normal. Esto se debe a que como se utiliza S para estimar que se desconoce, los valores t son más variables que los de Z

Distribución t

Utiliza el concepto de grados de libertad, n-1, y están directamente relacionados con el tamaño de la muestra. A medida que el tamaño de la muestra y los grados de libertad aumentan, S se convierte en un mejor estimador de , y la distribución t se aproxima de manera gradual a la distribución normal Los valores críticos de t para los grados de libertad adecuados se encuentran en la tabla de la distribución t. La columnas de la tabla presentan las probabilidades acumuladas más utilizadas y sus áreas correspondientes de la cola superior. Las filas de la tabla representan los grados de libertad. Los valores críticos t en encuentran en las celdas de la tabla. La tabla t de student da valores acumulados de izquierda a derecha

Distribución t

Por ejemplo, con 29 grados de libertad, si se desea el 95% de confianza, se encuentra el valor apropiado de t. El nivel de confianza de 95%, significa que 2,5% de los valores (un área de 0,025) están en la cola de la distribución. Entonces la probabilidad acumulada es de 0,975 y el valor t correspondiente para 29 grados de libertad es 2.045

( μ)

Intervalo de confianza para la media de la población con desviación estándar desconocida

Cálculo del margen de error para muestra pequeñas o desviación desconocida Calculamos los límites del intervalo:

Intervalos de Confianza

tα/2 lo calculamos con la función qt(probabilidad, grados de libertad) Por ejemplo para un nivel de confianza de 0.9, α/2 va a ser 0.05 y una muestra de tamaño 10 qt(0.05, 9) ## [1] -1.833113

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INTERVALOS DE CONFIANZATAMAÑO DE LA MUESTRA A PARTIR DE UN INTERVALO DE CONFIANZA REQUERIDO

Se puede elegir un tamaño de muestra suficientemente grande para obtener un margen de error deseado.

El procedimiento que se presenta en esta sección se emplea para determinar el tamaño de muestra que se necesita para tener un determinado margen de error que se ha establecido antes de tomar la muestra.

Tamaño de la muestra

Cómo se llega a esta fórmula

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INTERVALOS DE CONFIANZAPARA LA ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN (P)

Intervalo de confianza para proporción (P) de la población

El concepto de intervalo de confianza también se aplica para datos categóricos. Con datos categóricos se busca estimar la proporción de elementos en una población que tienen ciertas características de interés. La proporción poblacional desconocida esta representada por la letra griega π. El estimador puntual de π es la proporción muestral, p=X/n, donde n es el tamaño de la muestra y X es el número de elementos en la muestra que tienen las características de interés.

Intervalos de Confianza -Proporción

Intervalo de confianza para proporción (P) de la población

Siguiendo la lógica anterior (estimación para la media poblacional), tenemos que:

Intervalos de Confianza -Proporción

La distribución muestral de p ̄ se aproxima mediante una distribución normal siempre que np >= 5 y n(1 -p) >= 5

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INTERVALOS DE CONFIANZATAMAÑO DE LA MUESTRA A PARTIR DE UN INTERVALO DE CONFIANZA REQUERIDO

Se puede elegir un tamaño de muestra suficientemente grande para obtener un margen de error deseado.

El procedimiento que se presenta en esta sección se emplea para determinar el tamaño de muestra que se necesita para tener un determinado margen de error que se ha establecido antes de tomar la muestra.

Tamaño de la muestra

Cómo se llega a esta fórmula

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Referencias

ANDERSON, D., SWEENY, D., WILLIAMS, T. (2008): Estadística para administración y economía. Cengage Learning. Décima edición. México

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