M4_Clasificación de sistemas según rango

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales mxn según rango y cantidad de incógnitas: Teorema de Rouché Fröbenius.

Rango de una matriz

El rango de una matriz cualquiera es la dimensión de la mayor submatriz cuadrada no nula o el número de filas o de columnas que son linealmente independientes (esto es descartando las filas o columnas que tengan sus elementos multipliplos de otra fila o columna, sus elementos sean todos ceros, filas o columnas que se repitan)

Teorema Rouché Fröbenius

Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:

La matriz ampliada correspondiente al sistema es:

La matriz de coeficientes:

Teorema Rouché Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes (A) sea igual al rango de la matriz ampliada (AlB). Es decir: rango (A) = rango (AlB).Si el valor de los rangos coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Si, el valor de los rangos es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado.En síntesis:*rango(A)=rango(AlB)=n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado (tiene una solución).*rango(A)=rango(AlB)<n (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).*rango(A)<rango(AlB), el sistema es incompatible (no tiene solución).

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales mxn según rango y cantidad de incógnitas

En este caso analizaremos cómo se clasifican los sistemas de ecuaciones según el rango de la matriz de coeficientes, el rango de la matriz ampliada del sistema y la cantidad de incógnitas.

Clasificación de un sistema mxn según rango y cantidad de incógnitas

R(A)=R(AlB)=n

Sistema compatible determinado

Dado un sistema de ecuaciones AX=B, con Amxn

Sistema compatible indeterminado

R(A)=R(AlB)<n

Sistema incompatible

R(A)<R(AlB)

Bibliografía

Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J. (2015). Matemáticas para administración y economía. Decimotercera edición. PEARSON, México.

¿Qué aprendimos hasta acá?

Métodos Algebraicos

Método Gráfico

Representa-ciones

Máximos y minimos

Sistemas de ecuaciones no lineales

Variables

Regla de Cramer

Dominio e imagen

Crecimiento y decrecimiento

Determinantes

Modelos Funcionales

Modelos Polinomicos

Método de la inversa

Método Gráfico

Métodos Algebraicos

Método de Gauss Jordan

Modelos Cuadráticos

Sistemas 2X2

Modelos Lineales n>2

Modelos Lineales n<=2

Sistemas mXn

Operaciones

Ecuación Cuadrática

Sistemas mXm

Pendiente y ordenada

Ecuaciones Lineales

Vectores y Matrices

Raíces, ordenada, vértice

Variaciones de una función

Características algebraicas - gráficas

Gráfica

Sistemas de ecuaciones lineales

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