Distribuciones muestrales

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Prof. Ghislaine Murzi S.

Distribuciones muestrales

METODOS CUANTITATIVOS

Imagina que quieres tomar decisiones importantes sobre una población, como estimar la media de ingresos de todos los habitantes de una ciudad o determinar si un nuevo medicamento es efectivo en una población más amplia. En la mayoría de los casos, es prácticamente imposible medir o encuestar a cada individuo en la población completa. Aquí es donde entran en juego las muestras. Las muestras son subconjuntos más pequeños y manejables de una población que utilizamos para hacer inferencias sobre la población en su conjunto. Sin embargo, para hacer estas inferencias de manera precisa y confiable, necesitamos entender cómo se comportan las estadísticas en esas muestras. Es aquí donde entran en juego las distribuciones muestrales. Estas distribuciones nos proporcionan información crucial sobre cómo varían las estadísticas, como medias, proporciones o diferencias, en múltiples muestras aleatorias tomadas de la misma población

Las distribuciones muestrales son la base de la estadística inferencial, ayudándonos a comprender la incertidumbre y la variabilidad en nuestras estimaciones y pruebas de hipótesis.

Hitos

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ESTIMADORES PUNTUALES

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Proporción muestral

Desviación estándar muestral

Media muestral

ESTIMADORES PUNTUALES

Para estimar el valor de un parámetro poblacional, la característica correspondiente se calcula con los datos de la muestra, a lo que se le conoce como estadístico muestral.

Al hacer los cálculos señalados, se lleva a cabo el proceso estadístico conocido como estimación puntual. A la media muestral x ̄ se le conoce como el estimador puntual de la media poblacional μ, A la desviación estándar muestral se conoce como el estimador puntual de la desviación estándar poblacional σ y a la proporción muestral p ̄ como el estimador puntual de la proporción poblacional p. Al valor numérico obtenido de x ̄, s, o p ̄ se les conoce como estimaciones puntuales.

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Media - desviación -proporción

ESTIMADORES PUNTUALES

01

Una proporción obtenida de una muestra probabilísticanos permite estimar .....

III.

Una desviación estándar obtenida de una muestra probabilísticanos permite estimar .....

II.

Una media obtenida de una muestra probabilísticanos permite estimar .....

De lo que hemos visto acerca del muestreo probabilístico... nos permite decir....

I.

A la distribución muestral de cualquier estadístico determinado se le llama distribución muestral del estadístico.

IMPORTANTE

¿QUÉ SON LAS DISTRIBUCIONES MUESTRALES?

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

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+ Info

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN

La distribución muestral de p ̄ es la distribución de probabilidad de todos los posibles valores de la proporción muestral p ̄.

+ Info

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

La distribución muestral de x ̄ es la distribución de probabilidad de todos los valores de la media muestral x ̄.

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Características

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

02

La distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una población.

¿Cuál es la proporción de la población?

¿Cuál es la media de la población?

Los salarios anuales se muestran en la siguiente tabla

Una empresa tiene 7 GERENTES en difierentes países.

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

02

¿Cuántas muestras posibles tamaño 2 se pueden selección en esta población de 7?

Los salarios anuales se muestran en la siguiente tabla

Una empresa tiene 7 GERENTES en difierentes países.

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

02

¿Cuál es la distribución de las medias de muestreo para muestras de tamaño 2?

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1. ¿Cuántas muestras tamaño 2 puedo seleccionar?2. ¿Cuáles son sus medias? (De cada muestra tamaño 2) Para construir la distribución muestral de las medias, se seleccionan todas las muestras posibles tamaño 2, sin reemplazo, de la población y luego se calculan las medias.

Distribuciones Muestrales

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C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) Donde: n es el número total de elementos en la población. k es el tamaño de la muestra. "!" denota el factorial, que significa multiplicar todos los números enteros positivos desde 1 hasta el número en cuestión. Población de 7 elementos (n = 7) y deseas seleccionar muestras de tamaño 2 (k = 2). Aplicando la fórmula: C(7, 2) = 7! / (2! * (7 - 2)!) C(7, 2) = 7! / (2! * 5!) C(7, 2) = 21 Entonces, hay 21 formas diferentes de seleccionar muestras de tamaño 2 de una población de 7 elementos.

Combinatoria

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¿Cuál es la media de la distribución muestral?

MUESTRAS Y LA MEDIA DE CADA MUESTRA

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS DE LA MUESTRA

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

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Anderson, et al (2008). p. 270

Cuando el valor esperado de un estimador puntual es igual al parámetro poblacional, se dice que el estimador puntual es insesgado.

Valor esperado y desviación estándar de la distribución de las medias

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El valor esperado de la media es igual a la media de la población

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Anderson, et al (2008). p. 271

El término error estándar (SE) se usa en la inferencia estadística para referirse a la desviación estándar de un estimador puntual.

Desviación estándar

Valor esperado y desviación estándar de la distribución de las medias

03

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Distribución de los Salarios

Distribución de la media de las muestras de los salarios

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Análisis

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1. La media de las medias de las muestras es igual a la media de la población. 7.7142. La dispersión de las medias de las muestras es menor a la dispersión de los valores de la población. Las medias de las muestras van de 7000 a 8500 mientras que los valores de la población van 7000 a 90003. La gráfica de la distribución de la medias de muestra y la gráfica de la distribución de frecuencia de valores de la población es diferente.La distribución de la medias de las muestras tiende a una forma de campana y aproximarse a una distribución normal.4. Debido a que cada muestra posible tiene la misma probabilidad de ser seleccionada se puede determinar la probabilidad asociada.5. La distribución muestral de las medias de muestras se utiliza para medir lo probable que podría ser obtener un resultado específico.

¿Qué se puede decir de la población y la Distribución muestral ?

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¿Qué señala?

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

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Afirma que:

• La ley de los grandes números dice que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media de la distribución muestral, 𝜇𝑥–tiende a acercarse cada vez más a la verdadera media de la población, μ

• A partir del teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal.
• Cuanto mayor sea n, menor será la desviación típica de la distribución muestral.
• Esto significa que la media muestral debe estar más cerca de la media poblacional μ a medida que n aumenta.
• Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

05

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Afirma que:

• Esto implica que, es posible razonar sobre la distribución muestral de las medias de las muestras sin contar con información alguna sobre la forma de la distribución original de la que se toma la muestra.

• En otras palabras el teorema del límite central en válida para todas las distribuciones.
• Si la población tiene una distribución de probabilidad normal entonces, para cualquier tamaño de muestra la distribución del muestreo de la media también tendrá una distrubción normal.
• Si la distribución de la población es simétrica (pero no normal), se observa que surge la forma normal como lo establece el teorema, aun con muestras tan pequeñas de tamaño 10.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

05

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Afirma que:

• Por otra parte, si se toma una distribución que está sesgada o que tiene extremos muy gruesos, quizás requiera una muestra de al menos 30 para observar características de normalidad.

• Así que, independientemente de la forma de la población, el Teorema del Límite Central indica que, la distribución muestral de las medias de muestras se aproximará a una distribución normal. Mientras mayores sean las muestras mayor será la convergencia.
• A medida que aumenta el tamaño de la muestra disminuye la dispersión de la media de las muestras.
• La media de la población es exactamente igual a la media de todas las medias de las muestras.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

05

Anderson, et al (2008). p. 273

Ilustración del teorema del límite central

La distribución muestral de p ̄ es la distribución de probabilidad de todos los posibles valores de la proporción muestral p ̄.

Distribución muestral de la proporción

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0.57 -> 57%

¿Cuál es la PROPORCIÓN de la distribución muestral?

MUESTRAS Y LA PROPORCIÓN DE MAESTRÍA EN CADA MUESTRA

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

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Anderson, et al (2008). pp. 280-281

Desviación estándar (Error estándar)

El término error estándar (SE) se usa en la inferencia estadística para referirse a la desviación estándar de un estimador puntual.

Valor Esperado

Valor esperado y desviación estándar de la distribución de la proporción

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ANDERSON, D., SWEENY, D., WILLIAMS, T. (2008): Estadística para administración y economía. Cengage Learning. Décima edición. México

Referencias

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El error estándar en una distribución muestral es una medida de la variabilidad o dispersión de las estadísticas muestrales, como la media muestral o la proporción muestral, cuando se calculan a partir de múltiples muestras aleatorias de una misma población. En otras palabras, el error estándar proporciona una estimación de cuánto varían las estimaciones muestrales con respecto al parámetro poblacional que están tratando de estimar.