Distribuciones muestrales

METODOS CUANTITATIVOS

Distribuciones muestrales

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Prof. Ghislaine Murzi S.

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Hitos

Las distribuciones muestrales son la base de la estadística inferencial, ayudándonos a comprender la incertidumbre y la variabilidad en nuestras estimaciones y pruebas de hipótesis.

Imagina que quieres tomar decisiones importantes sobre una población, como estimar la media de ingresos de todos los habitantes de una ciudad o determinar si un nuevo medicamento es efectivo en una población más amplia. En la mayoría de los casos, es prácticamente imposible medir o encuestar a cada individuo en la población completa. Aquí es donde entran en juego las muestras. Las muestras son subconjuntos más pequeños y manejables de una población que utilizamos para hacer inferencias sobre la población en su conjunto. Sin embargo, para hacer estas inferencias de manera precisa y confiable, necesitamos entender cómo se comportan las estadísticas en esas muestras. Es aquí donde entran en juego las distribuciones muestrales. Estas distribuciones nos proporcionan información crucial sobre cómo varían las estadísticas, como medias, proporciones o diferencias, en múltiples muestras aleatorias tomadas de la misma población

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ESTIMADORES PUNTUALES

Para estimar el valor de un parámetro poblacional, la característica correspondiente se calcula con los datos de la muestra, a lo que se le conoce como estadístico muestral.

ESTIMADORES PUNTUALES

Media muestral

Desviación estándar muestral

Proporción muestral

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ESTIMADORES PUNTUALES

Media - desviación -proporción

Al hacer los cálculos señalados, se lleva a cabo el proceso estadístico conocido como estimación puntual. A la media muestral x ̄ se le conoce como el estimador puntual de la media poblacional μ, A la desviación estándar muestral se conoce como el estimador puntual de la desviación estándar poblacional σ y a la proporción muestral p ̄ como el estimador puntual de la proporción poblacional p. Al valor numérico obtenido de x ̄, s, o p ̄ se les conoce como estimaciones puntuales.

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De lo que hemos visto acerca del muestreo probabilístico... nos permite decir....

I.

Una media obtenida de una muestra probabilísticanos permite estimar .....

II.

Una desviación estándar obtenida de una muestra probabilísticanos permite estimar .....

III.

Una proporción obtenida de una muestra probabilísticanos permite estimar .....

A la distribución muestral de cualquier estadístico determinado se le llama distribución muestral del estadístico.

IMPORTANTE

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DISTRIBUCIONES MUESTRALES

¿QUÉ SON LAS DISTRIBUCIONES MUESTRALES?

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DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Características

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

La distribución muestral de x ̄ es la distribución de probabilidad de todos los valores de la media muestral x ̄.

La distribución muestral de p ̄ es la distribución de probabilidad de todos los posibles valores de la proporción muestral p ̄.

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La distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una población.

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

Una empresa tiene 7 GERENTES en difierentes países.

Los salarios anuales se muestran en la siguiente tabla

¿Cuál es la media de la población?

¿Cuál es la proporción de la población?

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

Una empresa tiene 7 GERENTES en difierentes países.

Los salarios anuales se muestran en la siguiente tabla

¿Cuántas muestras posibles tamaño 2 se pueden selección en esta población de 7?

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Distribuciones Muestrales

¿Cuál es la distribución de las medias de muestreo para muestras de tamaño 2?

1. ¿Cuántas muestras tamaño 2 puedo seleccionar?2. ¿Cuáles son sus medias? (De cada muestra tamaño 2) Para construir la distribución muestral de las medias, se seleccionan todas las muestras posibles tamaño 2, sin reemplazo, de la población y luego se calculan las medias.

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Combinatoria

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) Donde: n es el número total de elementos en la población. k es el tamaño de la muestra. "!" denota el factorial, que significa multiplicar todos los números enteros positivos desde 1 hasta el número en cuestión. Población de 7 elementos (n = 7) y deseas seleccionar muestras de tamaño 2 (k = 2). Aplicando la fórmula: C(7, 2) = 7! / (2! * (7 - 2)!) C(7, 2) = 7! / (2! * 5!) C(7, 2) = 21 Entonces, hay 21 formas diferentes de seleccionar muestras de tamaño 2 de una población de 7 elementos.

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

MUESTRAS Y LA MEDIA DE CADA MUESTRA

¿Cuál es la media de la distribución muestral?

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS DE LA MUESTRA

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Valor esperado y desviación estándar de la distribución de las medias

El valor esperado de la media es igual a la media de la población

Anderson, et al (2008). p. 270

Cuando el valor esperado de un estimador puntual es igual al parámetro poblacional, se dice que el estimador puntual es insesgado.

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Valor esperado y desviación estándar de la distribución de las medias

Desviación estándar

El término error estándar (SE) se usa en la inferencia estadística para referirse a la desviación estándar de un estimador puntual.

Anderson, et al (2008). p. 271

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Análisis

Distribución de la media de las muestras de los salarios

Distribución de los Salarios

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¿Qué se puede decir de la población y la Distribución muestral ?

1. La media de las medias de las muestras es igual a la media de la población. 7.7142. La dispersión de las medias de las muestras es menor a la dispersión de los valores de la población. Las medias de las muestras van de 7000 a 8500 mientras que los valores de la población van 7000 a 90003. La gráfica de la distribución de la medias de muestra y la gráfica de la distribución de frecuencia de valores de la población es diferente.La distribución de la medias de las muestras tiende a una forma de campana y aproximarse a una distribución normal.4. Debido a que cada muestra posible tiene la misma probabilidad de ser seleccionada se puede determinar la probabilidad asociada.5. La distribución muestral de las medias de muestras se utiliza para medir lo probable que podría ser obtener un resultado específico.

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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

¿Qué señala?

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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Afirma que:

• La ley de los grandes números dice que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media de la distribución muestral, 𝜇𝑥–tiende a acercarse cada vez más a la verdadera media de la población, μ

• A partir del teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal.
• Cuanto mayor sea n, menor será la desviación típica de la distribución muestral.
• Esto significa que la media muestral debe estar más cerca de la media poblacional μ a medida que n aumenta.
• Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor.

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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Afirma que:

• Esto implica que, es posible razonar sobre la distribución muestral de las medias de las muestras sin contar con información alguna sobre la forma de la distribución original de la que se toma la muestra.

• En otras palabras el teorema del límite central en válida para todas las distribuciones.
• Si la población tiene una distribución de probabilidad normal entonces, para cualquier tamaño de muestra la distribución del muestreo de la media también tendrá una distrubción normal.
• Si la distribución de la población es simétrica (pero no normal), se observa que surge la forma normal como lo establece el teorema, aun con muestras tan pequeñas de tamaño 10.

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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Afirma que:

• Por otra parte, si se toma una distribución que está sesgada o que tiene extremos muy gruesos, quizás requiera una muestra de al menos 30 para observar características de normalidad.

• Así que, independientemente de la forma de la población, el Teorema del Límite Central indica que, la distribución muestral de las medias de muestras se aproximará a una distribución normal. Mientras mayores sean las muestras mayor será la convergencia.
• A medida que aumenta el tamaño de la muestra disminuye la dispersión de la media de las muestras.
• La media de la población es exactamente igual a la media de todas las medias de las muestras.

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Ilustración del teorema del límite central

Anderson, et al (2008). p. 273

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Distribución muestral de la proporción

La distribución muestral de p ̄ es la distribución de probabilidad de todos los posibles valores de la proporción muestral p ̄.

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VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO

MUESTRAS Y LA PROPORCIÓN DE MAESTRÍA EN CADA MUESTRA

¿Cuál es la PROPORCIÓN de la distribución muestral?

0.57 -> 57%

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Valor esperado y desviación estándar de la distribución de la proporción

Valor Esperado

Desviación estándar (Error estándar)

El término error estándar (SE) se usa en la inferencia estadística para referirse a la desviación estándar de un estimador puntual.

Anderson, et al (2008). pp. 280-281

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Referencias

ANDERSON, D., SWEENY, D., WILLIAMS, T. (2008): Estadística para administración y economía. Cengage Learning. Décima edición. México

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El error estándar en una distribución muestral es una medida de la variabilidad o dispersión de las estadísticas muestrales, como la media muestral o la proporción muestral, cuando se calculan a partir de múltiples muestras aleatorias de una misma población. En otras palabras, el error estándar proporciona una estimación de cuánto varían las estimaciones muestrales con respecto al parámetro poblacional que están tratando de estimar.