MATEMATICA

Prof.ssa : Marcella URSO

matematica

insiemi e relazioni

Alunni: Vincenzo Ampola, Luca Licari, Christian Martinciglio, Gaia Valenti Classe 1D - Liceo Scientifico P. Ruggieri - Marsala

Cos'è un insieme?

Wrong answer

Rappresentazione di un insieme

Sottoinsiemi e partizioni

• Se ogni elemoento di B appartiene ad A, Diciamo che B è sottoinsieme di A; questo viene indicato con: B ⊆ A. Diciamo anche che B è incluso in A.
• Se B è sottoinsieme di A e almeno un elemento di A non appartiene a B, diciamo che B è strettamente incluso in A; indichiamo questo con: B ⊂ A.

I sottoinsiemi possono essere: Impropri, quando un sottoinsieme è incluso strettamente in A. Propri, tutti gli altri sottoinsiemi. Uguali, se hanno gli stessi elementi.

Unione, intersezione e differenza

Complementare di un insieme

Dati gli insiemi A e B, con B di A, l'insieme complementare di B rispetto ad A è A-B. Lo indichiamo con Se B A = A-B

Prodotto cartesiano

Enunciati e connettivi logici

Negazione e congiunzione

Dato un enunciato A, la negazione di A è l’enunciato che è vero se A è falso, è falso se A è vero. La indichiamo con ￢A, che leggiamo «non A».

Dati gli enunciati A e B, la congiunzione di A e B è l’enunciato che è vero se A e B sono entrambi veri, altrimenti è falso.Lo indichiamo con A ∧ B, che leggiamo «A e B».

Disgiunzione inclusiva ed esclusiva

Dati gli enunciati A e B, la disgiunzione inclusiva di A e B è l’enunciato che è falso se A e B sono entrambi falsi, altrimenti è vero. Lo indichiamo con A ∨ B, che leggiamo «A o B».

Dati gli enunciati A e B, la disgiunzione esclusiva di A e B è l’enunciato che è vero se A è vero e B è falso oppure viceversa, altrimenti è falso. Lo indichiamo con A XOR B, che leggiamo «o A o B».

Enunciati aperti e insiemi di verità

Un enunciato che contiene una o più variabili, ognuna con valori scelti in un dominio (insieme in cui scegliere il valore da sostituire), è un enunciato aperto o predicato.

Dato un enunciato aperto A(x), con x ∈ U (insieme universo), chiamiamo insieme di verità A il sottoinsieme di U degli elementi che sostituiti a x rendono vero l’enunciato.

Quantificatore universale

Il Quantificatore universale afferma che una proprietà è vera per tutti gli elementi di un insieme

Considero l'insieme finito A A={3,6,9,12,15,18} Tutti gli elementi dell'insieme A sono multipli di 6 e anche multipli di 3, per cui uso il quantificatore universale ∀ ∀ x ∈A | x è multiplo di 6 ⇒ x è multiplo di 3 Si legge «per ogni elemento x dell'insieme A tale che x è multiplo di 6, x è multiplo di 3» Gli elementi di A multipli di 6 sono (6, 12, 18). Questi sono anche multipli di 3

Quantificatore esistenziale

Il Quantificatore esistenziale afferma che una proprietà è vera almeno in un caso, e dunque che esiste almeno un elemento dell’insieme considerato per cui la proprietà è vera.

Considero l'insieme finito A A={3,6,9,12,15,18} Esiste almeno un elemento dell'insieme A che è multiplo di 6 uso il quantificatore esistenziale ∃ ∃ x ∈A | x è multiplo di 6 Si legge «esiste almeno un elemento x dell'insieme A tale che x è multiplo di 6» I tre elementi di A che soddisfano questa proprietà (6, 12, 18)

Relazioni

Una relazione è una legge che associa a qualche elemento dell'insieme A uno o più elementi dell'insieme B.

Dove a∈A e b∈B e l'elemento b è detto immagine di a.

A è l’insieme di partenza B è l’insieme di arrivo A e B possono coincidere

Non occorre che la legge riguardi tutti gli elementi dell'insieme A. Non è nemmeno necessario che riguardi tutti gli elementi dell'insieme B.

Dominio e insieme immagine (Codominio)

L'insieme di partenza A è detto dominio della funzione; il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio. Indichiamo il codominio conla lettera C. Vale la relazione C, C B.

Rappresentazione di una relazione

La rappresentazione per elencazione consiste nell’elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione

Possiamo rappresentare le relazioni in quattro diversi modi:

• elencazione;
• diagramma a frecce;
• tabella a doppia entrata;
• grafico cartesiano.

Nel grafico cartesiano gli elementi del primo insieme vengono disposti sulla semiretta orizzontale e quelli del secondo insieme sulla semiretta verticale

Nella tabella a doppia entrata gli elementi del primo insieme vengono disposti in verticale, quelli del secondo insieme in orizzontale. Le coppie in relazione vengono segnate in genere con una crocetta, oppure come in questo caso vengono riportate entrambi le figure.

Nella diagramma a frecce ogni freccia parte dal primo elemento di una coppia della relazione e arriva al secondo

Relazioni definite in un insieme

Una relazione in cui l’insieme di partenza e l’insieme di arrivo coincidono con uno stesso insieme A, e detta relazione in A.

Proprietà riflessiva

Una relazione R, definita in un insieme non vuoto A, è riflessiva se ogni elemento di A è in relazione con se stesso.

Proprietà antiriflessiva

Una relazione ℛ definita in un insieme A è antiriflessiva se ogni elemento di A non è in relazione con se stesso:

Proprietà simmetrica

Una relazione ℛ definita in un insieme A è simmetrica se, per ogni coppia x e y di elementi con x in relazione con Y, anche y è in relazione con x:se X ℛ y, allora y ℛ x.

Proprietà antisimmetrica

Una ℛ relazione ℛ definita in un insieme A è anti simmetrica se, per ogni coppia di x e y di elemmenti diversi tra loro con x in relazione con y. è vero che y non è in relazione con x: se x ℛ y allora, y ℛ x, con x = y.

Proprietà transitiva

Una relazione , definita in un insieme non vuoto , è transitiva se per ogni terna di elementi ,x, y, e z accade che, se x e in relazione con y e y e in relazione con z, allora anche x e in relazione con z.

Relazione transitiva

La relazione transitiva caratterizza gli elementi di un insieme. è transitiva se, ogni volta che un elemento a è in relazione con un elemento b, e b è in relazione con un elemento c, allora si ha che a è in relazione con c, dove a,b,c ∈A. eˋ transitiva⇔{a b, b c ⇐a c}∀a,b,c∈A.

Verifichiamo la relazione: ... è fratello di..., assegnando a 'fratello' il significato di: essere figlio degli stessi genitori. Marco è fratello di Luigi - Luigi è fratello di Luca - Marco è fratello di Luca. La relazione: ... è fratello di..., è una relazione: simmetrica, transitiva.

Relazione di equivalenza

Serve a classificare gli elementi di un insieme e gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Una relazione R definita in un insieme A si dice relazione di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Analizziamo la relazione: ... va nella stessa scuola di.... Possiamo vedere dalla direzione delle frecce che la relazione: ... va nella stessa scuola di..., gode della:

• Proprietà simmetrica.
• Proprietà transitiva.

Gode anche della proprietà riflessiva perché Anna va nella scuola di Anna Marco va nella scuola di Marco. Luca va nella scuola di Luca.

Classi di equivalenza e insieme quoziente

Se dividiamo gli elementi di un insieme in base a una proprietà che genera una partizione, abbiamo ottenuto una classificazione: ogni classe è un insieme di elementi equivalenti. Possiamo affermare:

Relazione d'ordine

La relazione d'ordine si applica agli elementi di un insieme per confrontarli due alla volta. Il primoelemento precede o segue il secondo in base alla relazione che si vuole verificare.

Una relazione, definita in un insieme A, si dice d’ordine, se e solo se gode almeno delle proprietà:

La relazione d'ordine è: - antisimmetrica - transitiva; applichiamo la relazione ..è più alta di.. a tre contenitori.

• La bottiglia è più alta del bicchiere.
• Il bicchiere non è più alto della bottiglia.
• Il bicchiere è più alto della tazzina.
• La tazzina non è più alta del bicchiere.
• La bottiglia è più alta del bicchiere e della tazzina.

Una relazione è di ordine largo se gode anche della proprietà

Una relazione è di ordine stretto se gode anche della proprietà

Grazie per l'attenzione