Want to create interactive content? It’s easy in Genially!

Matrius i determinants 2n BTX

Joan Torres

Created on February 27, 2023

Start designing with a free template

Discover more than 1500 professional designs like these:

Memories Presentation

Pechakucha Presentation

Decades Presentation

Color and Shapes Presentation

Historical Presentation

To the Moon Presentation

Projection Presentation

Explore all templates

2n batxillerat

ÀLGEBRA LINEAL

ìndex

1. Operacions amb matrius

2. Rang d'una matriu

3. Aplicacions de les matrius

4. Determinants

5. Propietats dels determinants

6. Matriu inversa per determinants

7. Rang d'una matriu per determinants

8. Sistemes d'equacions lineals

MATRIUS. APLICACIONS

MATRIUS

DEFINICIÓConjunt d'elements organitzats en files i columnes

DIMENSIÓ D'UNA MATRIU

Matriu de dimensió nxm n files m columnes

DIMENSIÓ D'UNA MATRIU

Matriu de dimensió 3x4 Element a23 = 7

DIAGONALS D'UNA MATRIU

EN UNA MATRIU QUADRADA

DIAGONAL PRINCIPAL

DIAGONAL SECUNDÀRIA

MATRIUS IGUALS

Dues matrius són iguals si tenen la mateixa dimensió i si són iguals els elementos que ocupen la mateixa posició

MATRIUS IGUALS

EXEMPLE Troba els valors que compleixen que les dues matrius són iguals

TIPUS DE MATRIUS

MATRIU FILA

MATRIU COLUMNA

TIPUS DE MATRIUS

MATRIU QUADRADA

MATRIU TRIANGULAR

Amb el mateix número de files i de columnes

Quan tots els elements per sobre o per sota de la diagonal principal són nuls

TIPUS DE MATRIUS

MATRIU DIAGONAL

Tots els elements que no estan a la diagonal principal són nuls

TIPUS DE MATRIUS

MATRIU UNITAT

MATRIU NULA

Matriu diagonal, amb tots els elements de la diagonal principal són 1. Es representa per

Tots els seus elements són nuls

TIPUS DE MATRIUS

MATRIU REGULAR

Una matriu quadrada A és regular o invertible si existeix una altra B d'igual dimensió tal que AB = BA = I. La matriu B és la inversa d'A B= A-1

EXEMPLE: Calcula m perquè les matrius A i B siguin inverses entre elles

TIPUS DE MATRIUS

Solucions: m=2 m=-1

TIPUS DE MATRIUS

MATRIU SIMÈTRICA

MATRIU ANTISIMÈTRICA

Compleix que aij = aji

Compleix que aij = -aji

TIPUS DE MATRIUS

EXEMPLE: Calcula a, b, c pels cuals la matriu M= sigui antisimètrica

Són antisimètriques les matrius

OPERACIONS AMB MATRIUS

SUMA DE MATRIUS

Donades dues matrius A i B de dimensió m X n , es defineix la suma de matrius (A+B) com aquella matriu els elements dels quals són la suma dels elements que ocupen la mateixa posició

PROPIETATS DE LA SUMA DE MATRIUS

Associativa
Element neutre
Element opossat
Conmutativa

PRACTICA

Suma les matrius A i B

PRACTICA

Suma les matrius A i B

PRODUCTE NOMBRE PER MATRIU

El producte d'un nombre real k per una matriu A = aij a és una altra matriu de la mateixa dimensió on els elements són els productes dels elements de la matriu A pel nombre k kA=k (aij) = (kaij)

PROPIETATS DEL PRODUCTE D'UN NOMBRE PER UNA MATRIU

Distributiva respecte de la suma de matrius: k (A+B) = k A + k B
Distributiva respecte de la suma de nombres (k+l) A = k A + l A
Asociativa mixta k(l A) = (k l) A
Element unitari del producte

PRODUCTE DE DUES MATRIUS

CONDICIÓ El nombre de columnes de la matriu A ha de ser igual al nombre de files de la matriu B Siguin les matrius A i B de dimensions m x n i n x p El producte AꞏB , i en aquest ordre, serà una matriu C de dimensions m x p.

Condició

PRODUCTE DE DUES MATRIUS

Els elements de la matriu resultant seran:

PRODUCTE DE DUES MATRIUS

EXEMPLE

Rang

CONDICIÓ

RESULTAT

PRODUCTE DE DUES MATRIUS

EXEMPLE

PRODUCTE DE DUES MATRIUS

EXEMPLE

PRODUCTE DE DUES MATRIUS

EXEMPLE

PRODUCTE DE DUES MATRIUS

EXEMPLE

PRODUCTE DE DUES MATRIUS

PROPIETATS DEL PRODUCTE DE DUES MATRIUS QUADRADES

Asociativa A (B · C) = (A · B) · C
Distributiva respecte de la suma de matrius A · (B + C) = A · B + A · C
Element neutre del producte A · I = I · A = A
NO TÉ LA PROPIETAT CONMUTATIVA

Podem multiplicar A · B, però no B · A

PRACTICA

MATRIUS EQUIVALENTS

Suposem un sistema d'equacions

El puc representar com una matriu ampliada

Si aconsegueixo una matriu amb la diagonal en "1"

Estic obtenint les solucions del sistema

MATRIUS EQUIVALENTS

Dues matrius equivalents donen les mateixes solucions dels seus sistemes d'equacions. Puc obtenir matrius equivalents mitjançant les transformacions elementals

Anomenem transformacions elementals per files a:

Permutar dues files i, j. Ho escrivim com a Fi ↔Fj
Substituir la fila i pel resultat de multiplicar o dividir tots els seus elements per un número

a ≠ 0 . Ho escrivim com Fi = a · Fi

Substituir la fila i per un múltiple (no nul) més una altra fila j multiplicada per un nombre b. L'escrivim com Fi = a · Fi + b · Fj (a ≠ 0) .

MATRIU ESGLAONADA

Una matriu és esglaonada:

Si hi ha files de zeros (files nul·les), són les últimes.
Totes les files tenen més zeros que l'anterior.
Al primer element no nul d'una fila s'anomena element principal (o pivot) d'aquella fila.
Si es compleixen les condicions anteriors, la matriu que resulta en eliminar la primera fila i la columna compleix les mateixes condicions.
Podem transformar qualsevol matriu en una matriu en forma esglaonada mitjançant operacions elementals fila.

MATRIU ESGLAONADA

EXEMPLES

MATRIU ESGLAONADA

EXEMPLES

no

si

no

si

MATRIU ESGLAONADA

EXEMPLE 1: Calcula la matriu esglaonada

MATRIU ESGLAONADA

EXEMPLE 2: Calcula la matriu esglaonada

MATRIU ESGLAONADA

EXEMPLE 3: Calcula la matriu esglaonada

PRACTICA

Calcula la matriu esglaonada

MATRIU INVERSA

Si donada una matriu quadrada A hi ha una altra matriu B, també quadrada, que multiplicada per la matriu A ens dóna la matriu unitat, es diu que la matriu A és una matriu regular o inversible, i a la matriu B se li anomena matriu inversa d'A i es representa per A–1:

PROPIETATS DE LA MATRIU INVERSA

La inversa de la inversa és la matriu original

(A-1)-1 = A

La inversa del producte de dues matrius, és el producte de les inverses, canviades d'ordre

(A · B)-1 = B-1 · A-1

La inversa de la transposada és igual a la transposada de la inversa

(At)-1 = (A-1)t

CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA

EXEMPLE 1: Troba la inversa mitjançant un sistema d'equacions

Plantegem la inversa i fem el producte

S'ha de verificar que A · A-1 = I

Resolem a, b, c, d

CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA

EXEMPLE 2: Troba la inversa mitjançant un sistema d'equacions

Plantegem la inversa i fem el producte

S'ha de verificar que A · A-1 = I

Resolem a, b, c, d

MATRIU INVERSA PER GAUSS

El mètode de Gauss‐Jordan per trobar la matriu inversa consisteix a convertir la matriu inicial en la matriu identitat, utilitzant transformacions elementals. EXEMPLE 1: Troba la matriu inversa de:

MATRIU INVERSA PER GAUSS

EXEMPLE 1: Troba la matriu inversa de:

POTÈNCIA n D'UNA MATRIU

EXEMPLE 1: Sigui la matriuCalcular A500

POTÈNCIA n D'UNA MATRIU

EXEMPLE 1: Sigui la matriuCalcular A500

Matriu enèssima

POTÈNCIA n D'UNA MATRIU

Matriu enèssima

PRACTICA

1.- Calcula els valors de: a, b, c pels quals la matriu M sigui antisimètrica 2.- Donades les matrius A, B, C, cualcula (3B - 2C)·(At - I) 3.- Calcula An per a quaslevol valor de n 4.- Donades les matrius A i B, troba la matriu P simètrica i regular, tal que PB = AP

PRACTICA

1.- Calcula els valors de: a, b, c pels quals la matriu M sigui antisimètrica

PRACTICA

2.- Donades les matrius A, B, C, cualcula (3B - 2C)·(At - I)

PRACTICA

3.- Calcula An per a quaslevol valor de n

PRACTICA

4.- Donades les matrius A i B, troba la matriu P simètrica i regular, tal que PB = AP

PRACTICA

5.- Troba les matrius de la forma que satisfacin l'equació X2 - X = 2 I, on I es la matriu identitad d'ordre 2 6.- Troba el rang de les matrius A, B, C. 7.- Estudia el rang de la matriu M, en funció dels diferents valors del paràmetre a 8.- Calcula els valors de a per als quals la matriu A és la inversa de (C - I)2, essent:

PRACTICA

9.- El graf representa els resultats d'un torneig; l'aresta orientada de A a B significa que A ha guanyat a B.
Troba la matriu d'adjacència del graf.
En cas d'empat a dos, guanya l'equip que hagi guanyat més equips que hagin guanyat l'equip amb el qual s'ha empatat.

10.- S'aplica al punt P (-2, 1) una simetria axial respecte de l'eix d'ordenades, i després un gir de centre l'origen i amplitud 135º.

Troba la matriu associada al moviment que resulta.
Troba el punt P' en el qual es transforma P al final del procés.

RANG D'UNA MATRIU

FILES (O COLUMNES) LINEALMENT INDEPENDENTS: Són aquelles que no es poden obtenir per combinacions lineals d'altres. RANG D'UNA MATRIU: És el nombre de files (o columnes) que són linealment independents. Les transformacions elementals treballades mantenen el rang de la matriu original.

RANG D'UNA MATRIU

RANG D'UNA MATRIU APLICANT GAUSS

Obtenim una matriu esglaonada per files, mitjançant transformacions elementals
El nombre de files no nul·les és el seu rang

CALCULA EL RANG DE LA MATRIU A=

Rang A = 2

APLICACIONS DE LES MATRIUS

RANG D'UNA MATRIU

Graf de RTs sobre la campanya catalana de febrer de 2021 acolorida per la modularitat

XARXES SOCIALS

GEOMETRIA AL PLA

Gir al pla amb centre a l'origen

Suposem un punt P (x,y) i el seu transformat P'(x', y') obtingut girant P un angle α sobre l'origen. Les coordenades de P' seran

GEOMETRIA AL PLA

Gir al pla amb centre a l'origen

Aquesta expressió

Es pot expresar en forma de matrius

Gir de centre O i amplitud α

GEOMETRIA AL PLA

Simetries en el pla

Les simetries en el pla també tenen matrius associades a diferents moviments

GEOMETRIA AL PLA

Traslacions en el pla

Si volem traslladar un punt des de P (x, y) fins a P'(x', y') podem utilitzar la matriu

(x' y') = (x y)+(a b)

RESUM TIPUS DE MATRIUS

MATRIU INVERSA

MATRIU TRASPOSADA

MATRIU REGULAR

A · B = I

Canviem files per columnes

A és regular si té inversa

La antisimètrica de M és -(M)t

MATRIU ESGLAONADA

Si hi ha files de zeros (files nul·les), són les últimes.
Totes les files tenen més zeros que l'anterior.

DETERMINANTS

INTRODUCCIÓ ALS DETERMINANTS

Un determinant és una operació d'una matriu. És un nombre. Només podem calcular el determinant de matrius quadrades. Notació:
Matriu: A
Determinant: det A o |A|

CÀLCUL DE DETERMINANTS

1 X 1 2 X 2

Sigui la matriu A d'ordre 2

Sigui la matriu A d'ordre 1

CÀLCUL DE DETERMINANTS

3 X 3

Sigui la matriu A d'ordre 3

MENORS D'UNA MATRIU

El menor d'una matriu és el determinant que resulta d'eliminar una fila i una columna

ADJUNT D'UN ELEMENT

El determinant que resulta del menor d'un element , amb el signe segons la posició, és l'adjunt del element. El signe de cada element el dona la posició:

Aij = (-1)i+j Mij

Calcular l'adjunt del element a12

ADJUNT D'UN ELEMENT

Una forma més "visual" de saber el signe d'un adjunt

..............

..........................................................................................

CÀLCUL DE DETERMINANTS

Determinant de ordre n x n

Sigui la matriu A d'ordre 3

CÀLCUL DE DETERMINANTS

El seu determinant és:

Treiem factor comú

CÀLCUL DE DETERMINANTS

Determinant de ordre n x n

Sigui la matriu quadrada d'ordre n A = (aij); el seu determinant s'obté sumant:

|A| = a11 A11+ a12 A12 + a13 A13 + ······· + a1n A1n

PRACTICA

Aplica el mètode de Sarrus per comprovar els valors dels determinants

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Determinant de ordre n x n

Si tenim determinants d'ordre superior a 4, la cosa es complica En un determinant de 5x5 ens queden 4 determinants de 4x4. Aixó son 5 · 4 = 20 determinants de 3x3 En un de 6 x 6 surten 6 · 5 · 4 = 120 determinants de 3x3

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Determinant de ordre n x n

Si tenim determinants d'ordre superior a 4, la cosa es complica En un determinant de 5x5 ens queden 4 determinants de 4x4. Aixó son 5 · 4 = 20 determinants de 3x3 En un de 6 x 6 surten 6 · 5 · 4 = 120 determinants de 3x3 NECESSITEM SIMPLIFICAR ELS CÀLCULS

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Una matriu i la seva transposada tenen el mateix determinant

COMPROVA-HO

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Si una matriu té una fila o columna de zeros, el determinant és nul

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Si intercanvio dues files o columnes, el resultat del determinant canvia de signe

COMPROVA-HO

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Si dues files o columnes són iguals, el determinant es nul

COMPROVA-HO

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Si multipliquem (o dividim) una fila o columna per un nombre, el determinant queda multiplicat (o dividit) per aquest nombre.

Puc treure factor comú d'una fila o columna.

COMPROVA-HO

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Si dues files o columnes són proporcionals (una és múltiple de l'altra), el determinant és nul

COMPROVA-HO

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Si a una fila o columna li sumem una combinació lineal de les altres, el resultat no varia. Només Fi = Fi + k · Fj

NO ÉS GAUSS
Si intercanviem una fila amb una altra, el signe canvia.
No podem multiplicar (o dividir) columnes per cap nombre

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

El determinant d'una matriu triangular és el producte dels elements de la diagonal

COMPROVA-HO

PROPIETATS DELS DETERMINANTS

Si una matriu A té inversa, es compleix

MATRIU INVERSA PER DETERMINANTS

UNA MATRIU QUADRADA TÉ INVERSA SI EL SEU DETERMINANT NO ES NUL

A-1 = (Adj A)t

MATRIU INVERSA PER DETERMINANTS

Calculo la matriu inversa

Calculo Adj A

Calculo transposada de Adj A

Calculo el determinant

MATRIU INVERSA PER DETERMINANTS

Calculo la matriu inversa

Calculo Adj A

Calculo transposada de Adj A

Calculo el determinant

MATRIU INVERSA PER DETERMINANTS

Calculo la matriu inversa

Calculo Adj A

Calculo transposada de Adj A

Calculo el determinant

MATRIU INVERSA PER DETERMINANTS

Calculo la matriu inversa

Calculo Adj A

Calculo transposada de Adj A

Calculo el determinant

MATRIU INVERSA PER DETERMINANTS

Calculo la matriu inversa

Calculo Adj A

Calculo transposada de Adj A

Calculo el determinant

MATRIU INVERSA PER DETERMINANTS

Calculo la matriu inversa

Calculo Adj A

Calculo transposada de Adj A

Calculo el determinant

MATRIU INVERSA PER DETERMINANTS

Calculo la matriu inversa

Calculo Adj A

Calculo transposada de Adj A

Calculo el determinant

PRACTICA

Comprova que la matriu inversa de A és la indicada:

PRACTICA

Per quins valors de m aquestes matrius no tenen inversa?

RANG D'UNA MATRIU PER DETERMINANTS

RANG D'UNA MATRIU

Recordem: el rang d'una matriu mxn és un nombre entre 0 i el menor de m i n Una matriu A4x6 té un rang entre 0 i 4

RANG D'UNA MATRIU

Recordem: menors d'una matriu són tots els determinants que puc fer amb aquesta matriu.. Poden ser d'ordre 1, 2, 3...

EXEMPLES

RANG D'UNA MATRIU

Definim el rang d'una matriu com el nombre de files linealment independents

RANG D'UNA MATRIU

Calculem el rang d'una matriu buscant el menor més gran diferent de 0

RANG D'UNA MATRIU

Exemple 1: Calcula el rang de la matriu

Haig de seguir. Menors de 2 x 2

He acabat. Rang A = 3

RANG D'UNA MATRIU

Exemple 1: Calcula el rang de la matriu

He acabat. Rang A = 3

RANG D'UNA MATRIU

Exemple 2: Calcula el rang de la matriu

Haig de seguir. Menors de 2 x 2

He acabat. Rang A = 3

RANG D'UNA MATRIU

Exemple 2: Calcula el rang de la matriu

Haig de seguir. Menors de 2 x 2

RANG D'UNA MATRIU

Busquem menors d'ordre 2, fins trobar un

Haig de seguir buscant

He acabat. Rang A = 2

RANG D'UNA MATRIU

Exemple 3: Calcula el rang de la matriu

Busquem menor d'ordre 2

Si donés 0 buscaríem un altre d'ordre 2, fins a trobar un que no sigui nul. Si tots els menor de 2x2 en donen 0, puc afirmar que el rang de la matriu A és 1

RANG D'UNA MATRIU

Busquem menor d'ordre 3 Recomanable: menor de 3x3 que inclogui l'anterior de 2x2

RANG D'UNA MATRIU

Busquem altre menor d'ordre 3 Recomanable: menor de 3x3 que inclogui l'anterior de 2x2

Com que ja no queden més opcions de menors de 3x3 que incloguin el menor de 2x2, podem concloure que el rang A =2

RANG D'UNA MATRIU

Exemple 4: Calcula el rang de la matriu

Busquem menor d'ordre 2

Si donés 0 buscaríem un altre d'ordre 2, fins a trobar un que no sigui nul. Si tots els menor de 2x2 en donen 0, puc afirmar que el rang de la matriu A és 1

RANG D'UNA MATRIU

Busquem menor d'ordre 3 Recomanable: menor de 3x3 que inclogui l'anterior de 2x2

RANG D'UNA MATRIU

Busquem menor d'ordre 4 Recomanable: menor de 4x4 que inclogui l'anterior de 3x3

Aplicarem adjunts de la fila 4, ja que té més elements nuls

RANG D'UNA MATRIU

Busquem altre menor d'ordre 4 Recomanable: menor de 4x4 que inclogui l'anterior de 3x3

Aplicarem adjunts de la columna 4, ja que té més elements nuls Utilitzarem les propietats dels determinants per simplificar-ho.

RANG D'UNA MATRIU

Fixem-nos que les dues files són proporcionals. Per propietats dels determinants, sabem que el resultat és 0

Com que ja no queden més opcions de menors de 4x4 que incloguin el menor de 3x3, podem concloure que el rang A =3

PRACTICA

Exemple 5: Comprova que el determinant per menors complementaris és 17

PRACTICA

Exemple 5: Comprova que el determinant per menors complementaris és 17

PRACTICA

Exemple 6: Calcula el rang de la matriu

Busquem menor d'ordre 2

Busquem menor d'ordre 3

PRACTICA

Exemple 6: Calcula el rang de la matriu

Busquem menor d'ordre 3

He acabat. Rang A = 2

PRACTICA

Exemple 7: Calcula el rang de la matriu

Busquem menor d'ordre 2

Busquem menor d'ordre 3

PRACTICA

Exemple 7: Calcula el rang de la matriu

Busquem menor d'ordre 3

He acabat. Rang A = 2

PRACTICA

Demostra que el rang d'aquestes matrius és l'indicat

RANG SEGONS UN PARÀMETRE

El més important de tot el tema

Exemple 1: Calcula el rang de la matriu segons el valor del paràmetre

Calculo el determinant amb el paràmetre

RANG SEGONS UN PARÀMETRE

Calculo el valor del paràmetre que anul·la el determinant

RANG SEGONS UN PARÀMETRE

Estudio els diferents casos

RANG SEGONS UN PARÀMETRE

Detallem la sol·lució

RANG SEGONS UN PARÀMETRE

Exemple 1: Calcula el rang de la matriu segons el valor del paràmetre

Calculo un determinant de 3x3 de la matriu amb el paràmetre

RANG SEGONS UN PARÀMETRE

Calculo el valor del paràmetre que anul·la el determinant

RANG SEGONS UN PARÀMETRE

Estudio els diferents casos

RANG SEGONS UN PARÀMETRE

Estudio els diferents casos

Fixem-nos que les tres files són proporcionals. Només hi ha una fila linealment independent

Rang A = 1

RANG SEGONS UN PARÀMETRE

Detallem la sol·lució

PRACTICA

Demostra que el rang d'aquestes matrius és l'indicat segons els valors de m

SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS

Sigui un sistema de m equacions per n incògnites

SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS

Per exemple, aquest sistema de 3 equacions amb 4 incògnites

MATRIU DEL SISTEMA

Posem en una matriu (vector) columna els coeficients

MATRIU DEL SISTEMA

Posem en una matriu (vector) columna les incògnites

MATRIU DEL SISTEMA

Posem en una matriu (vector) columna els termes independents

MATRIU DEL SISTEMA

Ara podem obtenir l'expressió matricial del sistema

A mxn

b mx1

X nx1

MATRIU DEL SISTEMA

EXEMPLE: Obtenir l'expressió matricial del sistema

MATRIU DEL SISTEMA

EXEMPLE: Obtenir l'expressió matricial del sistema

COEFICIENTS INCÒGNITES TERMS INDEP.

MATRIU AMPLIADA

Per simplificar, utilitzem la matriu ampliada

PRACTICA

Troba l'expressió matricial del sistema

PRACTICA

Troba l'expressió matricial del sistema i la matriu ampliada

SOLUCIONS D'UN SISTEMA

Sigui un sistema d'equacions A X = B on Anomenem solució del sistema a una terna o vector de valors de manera que en substituir aquests nombres a les incògnites del sistema es compleixen totes les equacions, simultàniament.

SOLUCIONS D'UN SISTEMA

Exemple: la solució del sistema següent és (5, 0, -2)

TERMINOLOGIA

DISCUTIR UN SISTEMA Saber quantes solucions té el sistema RESOLDRE UN SISTEMA Trobar, si en té, les solucions del sistema

CLASSIFICACIÓ DELS SISTEMES

Podem classificar els sistemes, segons el nombre de solucions, en:

SISTEMES COMPATIBLE DETERMINAT

SISTEMES COMPATIBLE INDETERMINAT

SISTEMA INCOMPATIBLE

S.C.I.

S.C.D.

S.I.

solucions

1 solució

0 solucions

CLASSIFICACIÓ DELS SISTEMES

Podem classificar els sistemes, segons el nombre de solucions, en:

SISTEMES COMPATIBLE DETERMINAT

SISTEMES COMPATIBLE INDETERMINAT

SISTEMA INCOMPATIBLE

S.C.I.

S.C.D.

S.I.

solucions

1 solució

0 solucions

Un sistema no pot tenir 3, 4... solucions

TEOREMA ROUCHÉ-FROBENIUS

Donat un sistema A X = b, amb la matriu ampliada A*

Rang A≠ Rang A*

SISTEMA INCOMPATIBLE

S.I.

0 solucions

TEOREMA ROUCHÉ-FROBENIUS

Donat un sistema A X = b, amb la matriu ampliada A*

Rang A = Rang A*

Rang A≠ Rang A*

Rang A = Rang A*

SISTEMES COMPATIBLE DETERMINAT

SISTEMES COMPATIBLE INDETERMINAT

SISTEMA INCOMPATIBLE

S.C.I.

S.C.D.

S.I.

solucions

1 solució

0 solucions

TEOREMA ROUCHÉ-FROBENIUS

Donat un sistema A X = b, amb la matriu ampliada A*

Rang A = Rang A* ≠ nº incògnites

Rang A≠ Rang A*

Rang A = Rang A* = nº incògnites

SISTEMES COMPATIBLE DETERMINAT

SISTEMES COMPATIBLE INDETERMINAT

SISTEMA INCOMPATIBLE

S.C.I.

S.C.D.

S.I.

solucions

1 solució

0 solucions

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

EXEMPLE: Discuteix el sistema aplicant Gauss

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

EXEMPLE: Discuteix el sistema aplicant Gauss

PLANTEGEM LA MATRIU DEL SISTEMA

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

EXEMPLE: Discuteix el sistema aplicant Gauss

PLANTEGEM LA MATRIU DEL SISTEMA

RECORDEM GAUSS En una matriu esglaonada, el rang és el nº de files amb algún element ≠ 0

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

ESTUDIEM EL RANG

Rang A = 3 Rang A* = 3

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

DISCUTIM EL SISTEMA

Rang A = 3 Rang A* = 3 Nº incògnites = 3 Rang A = Rang A* = Nº incògnites ⇒ S.C.D. (1 solució)

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

EXEMPLE: Discuteix el sistema aplicant Gauss

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

EXEMPLE: Discuteix el sistema aplicant Gauss

PLANTEGEM LA MATRIU DEL SISTEMA

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

ESTUDIEM EL RANG

Rang A = 2 Rang A* = 3

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

DISCUTIM EL SISTEMA

Rang A = 2 Rang A* = 3 Rang A ≠ Rang A* ⇒ S.I. (No té solució)

PRACTICA

Demostra per Gauss que el següent sistema és indeterminat

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

EXEMPLE: Discuteix el sistema aplicant determinants

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

EXEMPLE: Discuteix el sistema aplicant determinants

PLANTEGEM LA MATRIU DEL SISTEMA

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

ESTUDIEM EL RANG

Comencem estudiant la matriu A

Rang A = 2

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

ESTUDIEM EL RANG

Estudiem ara el rang de la matriu A* ampliada. Ens falta només calcular:

Rang A* = 2

DISCUSIÓ D'UN SISTEMA

DISCUTIM EL SISTEMA