Productos y cocientes notables

Matemáticas Fundamentales

Productos y cocientes notables

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Productos y cocientes notables

Son expresiones algebraicas que se presentan con frecuencia y que mediante la aplicación de fórmulas matemáticas nos permiten simplificar cálculos que de otra manera serían más complicados.

cocientes

Productos

PRODUCTOS NOTABLES

Concepto general

Los productos notables son algunos productos entre polinomios, que presentan ciertas regularidades, en ellos el resultado se puede deducir de manera simple. Esto quiere decir que, muchas veces, no es necesario realizar alguna operación de multiplicación para comprobar si el producto es correcto o no. Para cada producto existe una fórmula de factorización.

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado

Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los términos son sumados o restados:

Binomio de suma al cuadrado

Es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término

Binomio de una resta al cuadrado

Se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente

PRODUCTOS NOTABLES

Producto de binomios conjugados

Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes. Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan

PRODUCTOS NOTABLES

Producto de dos binomios con un término común

Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común.

• El cuadrado del término común.
• Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.
• Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

PRODUCTOS NOTABLES

Polinomio al cuadrado

En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro.

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cubo

Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su cuadrado, de la siguiente manera:

binomio al cubo de una suma

• El cubo del primer término.
• Más el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
• Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
• Más el cubo del segundo término.

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cubo

binomio al cubo de una resta

• El cubo del primer término.
• Menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
• Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
• Menos el cubo del segundo término.

PRODUCTOS NOTABLES

Cubo de un trinomio

Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable muy extenso porque se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto de los tres términos

Cocientes NOTABLES

Concepto general

Son aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios, es decir que el resto es igual a cero (divisiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir sin efectuar la operación propiamente dicha).

Forma general

Condiciones que deben cumplir:

1. Las bases del dividendo y divisor deben ser iguales.
2. Los exponentes del dividendo deben ser iguales.

Cocientes NOTABLES

Caso 1

Cuando n es un número par o impar. Para que este sea un cociente notable, se verifica que el residuo de la división sea 0, a través del teorema del residuo. Este afirma que al dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x−y, el residuo de la división es P(y).

Teorema del residuo

Cocientes NOTABLES

Caso 2

Este caso se produce cuando n es un número par. Si n fuese impar, no resultaría un cociente notable.

EJEMPLO

Cocientes NOTABLES

Caso 3

Este caso se produce cuando n es un número impar. Si n fuese par, no resultaría un cociente notable.

EJEMPLO

Cocientes NOTABLES

Caso 4

Este caso no se cumple tanto si n es par o impar

EJEMPLO

Cocientes NOTABLES

Casos generales

Los siguientes 5 casos surgen cuando los exponentes del denominador no son igual a 1, sino que son un factor del valor del numerador.5​ Entonces, para estos casos, "m es necesariamente un factor de n", o lo que es lo mismo, "n es un múltiplo de m".

Caso 1

Este caso se produce cuando n es un número par o impar. Si n es impar, m necesariamente es impar. Si n es par, m puede ser par o impar.

EJEMPLOs

Cocientes NOTABLES

Caso 2

Este caso se produce cuando n es un número par, mientras m puede ser par o impar. Cuando m es par, solo es un cociente notable si n/m da un número par.

EJEMPLOs

Cocientes NOTABLES

Caso 3

Este caso se produce cuando n es un número impar. Si n fuese par, resultaría un cociente notable solo si es parte del caso 4.

EJEMPLO

Cocientes NOTABLES

Caso 4

Este caso especial se produce cuando n y m son números pares y m es factor de n. Este solo ocurre si el cociente de n/m da un número impar.

EJEMPLO

Cocientes NOTABLES

Caso 5

Este caso no se cumple tanto si x o y es par o impar

Investigar

¿Qué es la factorización?¿Por qué es importante la factorización? Realizar ejercicios con los siguientes métodos de factorización

• Factorización por factor común
• Factorización por agrupación de términos
• Factorización por diferencia de cuadrados
• Factorización por trinomio cuadrado perfecto
• Factorización por suma y diferencia de cubos

Productos y cocientes notables

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