GEOMETRIA EUCLIDEA

la GEOMETRIA EUCLIDEA

Una fantastica presentazione di Giacomo, Benedetta e Aurora

gli argomenti

DISTANZE E ANGOLI NELLO SPAZIO

POLIEDRI

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

DISTANZE NELLO SPAZIO

Distanza punto-piano

Se da un punto P mandiamo la perpendicolare su un piano α, l’intersezione H della retta con il piano è la proiezione ortogonale di P su α.

DISTANZA DEL PUNTO DAL PIANO: lunghezza del segmento che ha per estremi il punto e il piede della perpendicolare al piano passante per il punto.

distanza: PH PH<PM

La proiezione di una retta su un piano è una retta a meno che la retta non sia perpendicolare al piano, in quel caso è un punto

DISTANZE NELLO SPAZIO

Distanza tra retta e piano paralleli

Se una retta è parallela al piano i suoi punti sono equidistanti dal piano, la distanza equivale alla distanza della retta dal piano.

Date due rette sghembe, si può dimostrare che c’è sempre un'unica retta perpendicolare ad entrambe. Distanza tra due rette sghembe: il più piccolo segmento che congiunge un punto di una retta con un punto dell’altra.

Distanza tra due rette sghembe

RETTE SGHEMBE: due rette non complanari quindi appartenenti a piani diversi

DISTANZE NELLO SPAZIO

Distanza tra due piani paralleli

Con due piani paralleli, se una retta è perpendicolare ad un piano è perpendicolare anche all’altro.

Distanza tra i due piani: qualsiasi segmento intercettato su qualunque retta a essi perpendicolare.

Il diedro comprende i semipiani e la retta origine di entrambi. La retta origine dei semipiani si chiama spigolo del diedro, i semipiani si chiamano facce del diedro.

DIEDRO

definizione

DIEDRI E PIANI PERPENDICOLARI

sezione di un diedro

Una sezione di un diedro si ottiene intersecando il diedro con un piano non parallelo di cui si definiscono i vari angoli di intersezione.

Detto questo si può dimostrare questo teorema: sezioni parallele di uno stesso diedro sono congruenti

Gli angoli che si ottengono sui piani tramite piani congruenti sono uguali tra loro.

DIEDRI E PIANI PERPENDICOLARI

sezione normale di un diedro

La sezione normale di un diedro è l’angolo che si ottiene come intersezione tra il diedro e qualunque piano perpendicolare al suo spigolo.

L’ampiezza di un diedro è l’ampiezza della sua sezione normale.

Un diedro è retto/acuto/ottuso se la sua sezione normale è un angolo retto/acuto/ottuso. 2 diedri sono congruenti se e solo se sono congruenti le loro sezioni normali. 2 piani incidenti sono perpendicolari quando dividono lo spazio in 4 diedri retti. Se una retta in un piano α è perpendicolare a un piano β, allora i due piani α e β sono perpendicolari Dati un piano α e una retta r non perpendicolare ad α, esiste ed è unico il piano passante per r e perpendicolare ad α.

DIEDRI E PIANI PERPENDICOLARI

ANGOLO DI UNA RETTA CON UN PIANO

Data una retta r incidente ma non perpendicolare al piano α l’angolo della retta con il piano è l’angolo acuto formato da r e della sua proiezione r' su α.

Angolo tra due rette sghembe

L’angolo formato da due rette sghembe r e s è l’angolo formato dalle rette incidenti r' e s’ parallele rispettivamente alle rette r e s. Se l’angolo formato da due rette sghembe è retto allora le rette sono perpendicolari.

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

ovvero una corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio e i punti dello spazio stesso

LE ISOMETRIE

Anche dette movimenti rigidi, sono trasformazioni che conservano le distanze tra coppie di punti corrispondenti

DIRETTAMENTE O INVERSAMENTE CONGRUENTI

Due figure solide sono congruenti quando hanno tutte le caratteristiche tra loro congruenti (lati, angoli, spigoli, facce, diedri corrispondenti congruenti). Un movimento rigido si dice diretto o inverso a seconda che gli orientamenti delle figure siano o meno conservati. Se due figure possono sovrapporsi = direttamente congruenti Se lo spostamento è inverso = inversamente congruenti.

ISOMETRIE

SIMMETRIA RISPETTO A UN PIANO

TRASLAZIONE

SIMMETRIA CENTRALE

ROTAZIONE

SIMMETRIA ASSIALE

TRASLAZIONE

In presenza di un vettore v la traslazione è una trasformazione geometrica che ad ogni punto P fa corrispondere il punto P’ tale che il vettore PP’ è uguale a v. In una traslazione le due figure sono congruenti

ROTAZIONE

Fissando una retta r e un angolo orientato α, la rotazione di asse r e angolo α non modifica la figura ma la ruota di un determinato angolo α intorno ad una retta r.

SIMMETRIA CENTRALE

Fissando un punto O, la simmetria centrale di centro O è la trasformazione geometrica che non modifica O ma ad ogni punto P fa corrispondere il punto P’ tale che il segmento PP’ abbia O come punto medio. Un punto medio dello spazio è centro di simmetria di una figura se la figura è unita rispetto alla simmetria centrale che ha come centro quel punto.

SIMMETRIA ASSIALE

Fissando una retta r, la simmetria assiale di r è la trasformazione geometrica che ad ogni punto P fa corrispondere il punto P’ diverso da P creando una retta PP’ perpendicolare e incidente ad r quindi P e P’ hanno la stessa distanza da r. Una retta dello spazio è asse di simmetria di una figura se la figura è unita rispetto alla simmetria che ha per asse quella retta.

SIMMETRIA rispetto ad un PIANO

Fissato un piano α , la simmetria rispetto al piano α è quella trasformazione geometrica che ad ogni punto P fa corrispondere il punto P’ diverso da P, creando una retta PP’ perpendicolare ad α dove P e P’ sono ugualmente distanti da α. Il piano α è il piano di simmetria.

POLIEDRO

Le diagonali di un poliedro sono i segmenti che congiungono due vertici non situati sulla stessa faccia

i POLIEDRI

Un poliedro ha almeno 4 facce. 4=tetraedro 5=pentaedro 6=esaedro 8=ottaedro 12=dodecaedro

figura solida, limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.

RELAZIONE DI EULERO

F+V-S=2

F= n di facce; V= n di vertici; S= n di spigoli

poligoni = facce del poliedro,lati dei poligoni = spigoli del poliedro, vertici dei poligoni = vertici del poliedro.

PRISMI

Dati un poligono e una retta r non appartenente al piano del poligono, la figura costituita dall’insieme delle rette parallele ad r e passante per i punti del poligono è un prisma indefinito.

Un prisma definito, o semplicemente prisma, è un poliedro costituito dalla parte di prsima indefinito compresa tra 2 piani paralleli che lo intersecano.

I prismi possono essere classificati mediante i poligoni di base (es. base triangolare: prisma triangolare).

PRISMI RETTI

Un prisma è retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi.Le facce laterali sono dei rettangoli e l’altezza coincide con gli spigoli laterali. Un prisma retto si dice regolare quando le sue basi sono poligoni regolari.

PARALLELEPIPEDI

Prisma le cui basi sono parallelogrammi.Si possono dimostrare i seguenti teoremi: 1. Le facce opposte di un parallelepipedo (non hanno vertici in comune) sono congruenti e parallele; 2. Le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in uno stesso punto che le divide in due segmenti congruenti

PARALLELEPIPEDI RETTANGOLI

Parallelepipedo retto in cui le basi sono rettangoli.In un parallelepipedo rettangolo le diagonali sono congruenti e la relazione tra la loro misura e quella delle tra dimensioni si ottiene applicando due volte il teorema di Pitagora: diagonale= radice della somma delle tre dimensioni al quadrato

CUBI

Un cubo è un parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni congruenti.Diagonale di un cubo: prodotto tra la misura di uno spigolo e √3

PIRAMIDI

Considerando un poligono convesso e un punto V non appartenente al piano, chiamiamo angoloide il solido costituito da tutte le semirette di origine V che passano per i punti del poligono.triedro= angoloide con 3 spigoli.

Proprietà:1. In un angoloide di vertice V, la somma degli angoli in V delle facce è minore di un angolo giro; 2. In ogni angoloide l’angolo di una faccia è minore della somma degli angoli delle rimanenti; 3. In ogni triedro l’angolo di una faccia è maggiore della differenza degli angoli delle altre due

Piramide: parte di angoloide compresa tra il suo vertice e un piano che interseca tutti i suoi spigoli.

PIRAMIDI PARTICOLARI

Piramide RETTA: nella sua base si può inscrivere una circonferenza, il cui centro è la proiezione ortogonale del vertice della piramide sul piano di base.Una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono regolare. Le facce laterali di una piramide regolare sono triangoli isosceli fra loro congruenti.

TRONCO DI PIRAMIDE

Data una piramide si ottengono due solidi se la si fa oltrepassare da un piano parallelo alla base, i due solidi ottenuti sono una piramide più piccola con stesso vertice di quella iniziale e un tronco di piramide, la distanza tra i piani delle due basi è l’altezza del tronco di piramide.In questo caso la sezione e la base sono poligoni simili.

POLIEDRI REGOLARI

Dato un poliedro, a ogni suo spigolo associamo il diedro individuato dalle due facce che contengono quello spigolo, esso è un diedro del poligono; preso un vertice del poliedro tutte le facce e gli spigoli di cui fa parte questo vertice è detta angoloide del poliedro.Un poliedro regolare è un poliedro in cui le facce sono poligoni regolari congruenti, gli angoloidi sono tutti congruenti e anche i diedri sono congruenti. Il cubo è anche chiamato esaedro regolare poiché racchiuso da 6 quadrati.

i SOLIDI PLATONICI

I Greci conoscevano i poliedri regolari già ai tempi di Pitagora. In seguito, i cinque solidi furono studiati anche da Platone, per questo vengono detti solidi platonici. I solidi platonici sono poliedri con facce date da poligoni regolari e tali da essere tutte uguali tra loro. In tutto ci sono 5 tipi di solidi platonici: il tetraedro regolare, il cubo (o esaedro regolare), l’ottaedro regolare, il dodecaedro regolare e l’icosaedro regolare. Le perfette simmetrie, la loro ricorrenza in natura e le forme dei solidi platonici hanno da sempre ispirato l’arte e la filosofia.

PROPRIETÀ

I solidi platonici soddisfano specifiche proprietà oltre a quelle generali dei poliedri:1. Ogni solido platonico possiede un CENTRO, dal quale sono equidistanti sia i vertici che le facce. 2. La distanza di un qualsiasi vertice dal centro si chiama RAGGIO del poliedro regolare. 3. Ad eccezione del tetraedro, le facce opposte sono a 2 a 2 parallele come lo sono anche gli spigoli: per questo motivo si parla di facce opposte, spigoli opposti e vertici opposti.

FINE :)

Giacomo, benedetta e aurora