Proyecto Matemáticas Dayan Hernández

Razón de Cambio

UNIVERSIDAD POLÍTECNICA DE CHIHUAHUA Alumno: Dayan Sebastian Hernández Varela Materia: Matematicas Aplicadas a la Administración Maestra: Silvia de la Vida de la Cruz Fecha: 24/02/2023

¡Vamos!

¿QUE ES?

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero. Para una función que depende de una variable, la razón de cambio de esa función se obtiene al dividir la diferencia entre dos valores de la función correspondientes a dos valores de su variable independiente y la diferencia entre esos valores de la variable.

Conceptos clave Para una función que depende de una variable, la razón de cambio de esa función se obtiene al dividir la diferencia entre dos valores de la función correspondientes a dos valores de su variable independiente y la diferencia entre esos valores de la variable. Los valores de la variable no necesariamente son consecutivos. Si los valores de la variable son muy cercanos nos aproximaremos a la razón de cambio instantánea, de otra manera hablaremos de la razón de cambio promedio.

¿COMO SE CALCULA LA RAZÓN DE CAMBIO?

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PROBLEMAS

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Un obrero sostiene una cuerda de 36 m de longitud y al otro extremo hay un peso. La cuerda pasa por una polea situada a 20 metros de altura. Si éste se aleja de la polea a razón de 5 m/s, ¿a qué velocidad se eleva el peso cuando está a 10 metros por encima de la posición original? Al inicio, el esquema del problema sería el siguiente:

El obrero se aleja de la polea a razón de 5 m/s, cuando z=10 m por tanto:

Por un lado, el enunciado nos dice que la longitud de la cuerda es de 36 m. La cuerda corresponde a los lados z e y del triángulo, por tanto:

Así mantendrás la atención de tu audiencia

Por otro lado, por Pitágoras, relacionanos los tres lados:

Como queremos relacionar la magnitud z (que es la distancia que se desplaza el peso) con la magnitud x, que es la distancia que se desplaza el obrero, de la primera ecuación, podemos despejar la y en función de z:

Y sustituir esta expresión de y en la expresión de Pitágoras:

Ahora derivamos a ambos lados del igual con respecto al tiempo:

Tenemos todos los datos, menos el valor de x.

De la expresión obtenida a partir de Pitágoras, sustituimos la z por 10 y nos quedará una expresión que sólo depende de x, de donde podemos obtener su valor:

Y ahora sí ya tenemos todos los valores para poder despejar dz/dt:

La despejamos:

Y finalmente lo calculamos: