Mathématiques - Remise à niveau - Calcul intégral

Calcul intégral

Remise à niveau mathématiques

Damien Gobin Laura Tristan Mohamed Meftah

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Objectifs

Plan :

À la fin de cette séquence, tu seras capable :

1. Introduction géométrique

2. Méthode des rectangles

• de décrire le domaine associé à une intégrale, et inversement.

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

• de calculer une intégrale simple

4. Propriétés des intégrales

• d'utiliser les propriétés des intégrales

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

• de calculer l'aire entre deux courbes à l'aide d'une intégrale

6. Aire entre deux courbes

• de faire une intégration par parties

7. Intégration par parties

• de faire un changement de variable pour calculer une intégrale

8. Changement de variable

9. Bilan

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1. Introduction géométrique

2. Méthode des rectangles

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

4. Propriétés des intégrales

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

6. Aire entre deux courbes

7. Intégration par parties

8. Changement de variable

9. Bilan

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Activité

Dans un chacun des cas, déterminer, si possible, l'aire exacte du domaine coloré.

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Exemple

Cours

Définition

Soit un repère orthogonal du plan.On note et les points tels que et .L’unité d’aire, que l’on note u.a., est l’aire du rectangle dont , et forment trois sommets

1 u.a.

Remarque :Ici, on a 1 u.a. = 6 cm², puisque OI = 3 cm et OJ = 2 cm.

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Cours

Remarques :

• La valeur de l'intégrale ne dépend que de a, b et f. La variable x n'intervient pas et est donc dite muette.On peut alors la remplacer par n'importe quelle autre lettre. Ainsi :
• Pour toute fonction f continue et positive en un réel a, on a : puisqu'il s'agit d'aire d'un segment de longueur f(a), l'aire est donc nulle.

Définition

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. L'intégrale de a à b de la fonction f est l'aire (en u.a.) du domaine délimité par :

• L'axe des abscisses
• La courbe de f
• La droite d'équation x = a
• La droite d'équation x = b

Cette intégrale se note : .

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Dans chacun des cas, complète les blancs pour donner l'intégrale qui décrit le domaine coloré.

Exercice 1

Bravo !

Voir solution

VALIDER

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Exercice 2

Trace le domaine décrit par l'intégrale

Trace le domaine décrit par l'intégrale

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Exercice 3

Cours

Relation de Chasles

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2. Méthode des rectangles

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

4. Propriétés des intégrales

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

6. Aire entre deux courbes

7. Intégration par parties

8. Changement de variable

9. Bilan

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Cours

Exemple

Méthode des rectangles :

Dans le cas où il n'est pas possible de calculer l'intégrale d'une fonction facilement (aire sous la courbe ne pouvant pas être découpée en aire de figures géométriques simples), on peut utiliser la méthode des rectangles pour donner une approximation de l'intégrale.

Rectangles à gauche :

On construit chaque rectangle à partir du point

Pour utiliser la méthode des rectangles pour approximer une intégrale , on créée une subdivision de l'intervalle .

Pour chaque subdivision, on approxime l'aire sous la courbe par l'aire d'un rectangle (on peut choisir de procéder avec des rectangles à gauche ou des rectangles à droite). Pour approximer l'intégrale, il suffit alors de calculer la somme des aires de chacun des rectangles.

Rectangles à droite :

On construit chaque rectangle à partir du point

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Exercice

Cours

On cherche à encadrer l'intégrale par la méthode des rectangles avec n=6.

Encadrement de l'intégrale avec la méthode des rectangles :

Soit une fonction continue et monotone sur un intervalle . Alors : Si est croissante, Si est décroissante,

Le calcul par la méthode des rectangles à gauche donne

ln( ).

Le calcul par la méthode des rectangles à droite donne

ln( ).

On a donc

ln( ).

ln( )

VALIDER

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3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

4. Propriétés des intégrales

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

6. Aire entre deux courbes

7. Intégration par parties

8. Changement de variable

9. Bilan

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Exemples

Cours

1. On cherche à calculer l'intégrale On note que la fonction définie sur l'intervalle par est une primitive de sur . Alors, 2. On veut intégrer sur l'intervalle la fonction définie par . On a alors et on retrouve donc l'aire de la zone verte (calculable géométriquement) :

Définition de l'intégrale avec les primitives

Soit une fonction continue sur un intervalle et une primitive de sur . Alors,

Remarque :On utilise généralement la notation suivante :

Vidéos d'exemples détaillés :

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Exercice 1

Exercice 2

Exercice 4

Exercice 3

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4. Propriétés des intégrales

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

6. Aire entre deux courbes

7. Intégration par parties

8. Changement de variable

9. Bilan

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Exemples

Cours

On considère la fonction définie par si et si . Alors, d'après la relation de Chasles. Or, par linéarité, et donc De plus, Finalement, on obtient donc,

Relation de Chasles :

Soient et trois réels.

Linéarité :

Soient et trois réels.

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Activité : Valeur moyenne

Cours

Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle est donnée par :

En traitement du signal, on utilise aussi l'énergie qui est définie par :

Corrigé détaillé de l'exercice :

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2. Méthode des rectangles

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

4. Propriétés des intégrales

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

6. Aire entre deux courbes

7. Intégration par parties

8. Changement de variable

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Remarque :

Cours

Pour calculer l'aire comprise entre la courbe d'une fonction et l'axe des abscisses, on décompose l'intervalle en sous-intervalles sur lesquelles la fonction est de signe constant, et on calcule les intégrales sur chaque intervalle.

Intégrale d'une fonction négative

Soit une fonction continue et négative sur un intervalle . L'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b est donnée par :

On ne peut par directement calculer l'intégrale sur l'intervalle complet puisque l'aire des parties négatives va se soustraire à l'aire des parties positives : le résultat ne donnera pas l'aire totale.

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Exercice

On considère la fonction définie sur par dont une représentation graphique est donnée ci-dessous.

1. Compléter le tableau de signe :

VALIDER

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2. Méthode des rectangles

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

4. Propriétés des intégrales

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

6. Aire entre deux courbes

7. Intégration par parties

8. Changement de variable

9. Bilan

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Exemple

Cours

On considère les fonctions et définies par et . Déterminer l'aire délimitée par les courbes de et sur en utilisant la formule ci-contre. Cette aire est celle de la zone verte sur le dessin suivant :

Aire entre deux courbes

Soient et deux fonctions continues sur un intervalle . On suppose que pour tout . Alors, l'aire de la zone comprise entre les courbes représentatives de et , et entre et est donnée par : Autrement dit,

Remarques :

• Si pour tout , il suffit d'inverser les rôles de et dans la formule précédente.
• Si pour certaines valeurs de et pour d'autres il suffit de découper l'intégrale sur chacune de ces parties et d'appliquer à chaque fois la formule correspondante.

Correction détaillée :

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Exercice

Méthode

Pour appliquer la formule d'aire entre deux courbes, il faut suivre les étapes suivantes :

Etudier le signe de sur l'intervalle . Calculer l'intégrale de sur les parties où et l'intégrale de sur les parties où . Additionner les résultats obtenus à l'étape précente pour obtenir l'aide entre les courbes représentatives de et de .

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4. Propriétés des intégrales

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

6. Aire entre deux courbes

7. Intégration par parties

8. Changement de variable

9. Bilan

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Exemple

Cours

Théorème d'intégration par parties

On cherche à calculer l'intégrale On pose alors et . On a alors et . Les fonctions et sont bien dérivables de dérivées continues sur l'intervalle d'intégration et la formule d'intégration par parties donne : Ainsi, après calcul on obtient :

On considère : Alors,

• et deux réels.
• et deux fonctions dérivables et de dérivées continues sur

Preuve du théorème d'intégration par parties :

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Exercice 1

Méthode

La méthode d'intégration par parties est assez simple à appliquer avec un peu d'entraînement. La question est plutôt de savoir quand l'appliquer. Voici quelques situations types :

Et si une IPP ne suffit pas :

Si la fonction à intégrer est le produit d'une fonction polynômiale par une fonction exponentielle ou trigonométrique. Par exemple :

Exercice 2

Un exemple détaillé :

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Exercice

Méthode

Si on peut poser . Par exemple pour calculer l'intégrale du logarithme.

Un exemple détaillé :

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Exemple

Méthode

On cherche à une primitive de la fonction définie sur par . On utilise alors la formule d'IPP avec et .Ainsi, et et la formule d'IPP s'écrit Or, une primitive de est donnée par . On arrive donc à Les primitives de la fonction sont donc les fonctions de la forme

On peut également utiliser une intégration par parties si on cherche à déterminer les primitives d'une fonction. Dans ce cas la formule d'intégration par parties s'écrit : La notation d'intégrale sans bornes signifie primitive. On peut ainsi obtenir une primitive et on en déduit toutes les autres puisqu'elles ne diffèrent que d'une constante.

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Exercice 2

Exercice 1

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2. Méthode des rectangles

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

4. Propriétés des intégrales

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

6. Aire entre deux courbes

7. Intégration par parties

8. Changement de variable

9. Bilan

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Exemple

Cours

On cherche à calculer l'intégrale en utilisant la formule précédente :avec : et . On obtient :

Théorème de changement de variable

On considère : Alors,

• un intervalle réel.
• une fonction dérivable et de dérivée continue.
• une fonction continue.

La fonction est appelée le changement de variable. Elle est souvent strictement monotone.

Remarque :

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Exercice 1

Méthode 1

Si l'on cherche à calculer une intégrale de la forme alors on applique la formule de changement de variable en suivant les étapes suivantes :

Trouver le bon changement de variable à effectuer, c'est-à-dire trouver la fonction (sous cette forme on le voit apparaître). Calculer l'image des bornes et par la fonction . Appliquer la formule de changement de variable.

Exercice 2

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Méthode 2

Exemple

Si l'on cherche à calculer une intégrale de la forme il est possible d'utiliser la formule de changement de variable en la lisant sous la forme : On suit alors les étapes suivantes :

On cherche à calculer l'intégrale en utilisant la formule précédente : avec : et . Alors, et . Ainsi, Finalement,

Trouver le bon changement de variable à effectuer (cette fois il est plus difficile à trouver car il n'apparait pas explicitement). Calculer la dérivée de ainsi que les nouvelles bornes. Appliquer la formule de changement de variable et calculer la nouvelle intégrale obtenue.

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Exercice 2

Exercice 1

Exercice 3

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Exemple

Méthode 3

On cherche à déterminer les primitives de la fonction . Autrement dit, on veut déterminer en utilisant la formule précédente : avec : et . Alors, . Ainsi, Finalement, on arrive à où . Enfin, il faut revenir à la variable de départ en utilisant le fait que . Les primitives de sont donc les fonctions de la forme :

On peut également utiliser la formule de changement de variable pour déterminer la primitive d'une fonction. Dans ce cas, on utilise la formule On suit alors les étapes suivantes :

Trouver le bon changement de variable à effectuer. Appliquer la formule de changement de variable et déterminer les primitives de la fonction obtenue. Revenir à la variable de départ.

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Exercice 2

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4. Propriétés des intégrales

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6. Aire entre deux courbes

7. Intégration par parties

8. Changement de variable

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Ce que je retiens

Une intégrale d'une fonction continue et position correspond à l'aire sous la courbe de la fonction entre les deux bornes.

Pour calculer une intégrale, on utilise les primitives :

L'intégrale d'une fonction négative est négative : il faut en prendre la valeur absolue pour trouver l'aire du domaine entre la courbe et l'axe des abscisses.Attention donc aux problèmes de signes sur des études pour lesquelles la fonction change de signe : il faut calculer séparément sur chaque intervalle de signe constant.

Il existe des techniques de calcul pour les intégrales plus compliquées : -> L'IPP : -> Le changement de variable :

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Fin

Attributions

Nous avons emprunté et modifié un certain nombre de ressources disponibles sous licence créative commons à différents auteurs pour créer ces séquences de remise à niveau. Nous les remercions et leur dédions cette page pour les créditer.