Mathématiques - Remise à niveau - Calcul intégral

Remise à niveau mathématiques

Damien Gobin Laura Tristan Mohamed Meftah

Calcul intégral

9. Bilan

2. Méthode des rectangles

Calcul intégral

• de faire un changement de variable pour calculer une intégrale

• de faire une intégration par parties

8. Changement de variable

7. Intégration par parties

Plan :

6. Aire entre deux courbes

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

4. Propriétés des intégrales

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

1. Introduction géométrique

• de calculer l'aire entre deux courbes à l'aide d'une intégrale

• d'utiliser les propriétés des intégrales

• de calculer une intégrale simple

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• de décrire le domaine associé à une intégrale, et inversement.

À la fin de cette séquence, tu seras capable :

Objectifs

9. Bilan

2. Méthode des rectangles

8. Changement de variable

7. Intégration par parties

6. Aire entre deux courbes

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

4. Propriétés des intégrales

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

1. Introduction géométrique

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Calcul intégral

Dans un chacun des cas, déterminer, si possible, l'aire exacte du domaine coloré.

Activité

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Exemple

Remarque :Ici, on a 1 u.a. = 6 cm², puisque OI = 3 cm et OJ = 2 cm.

1 u.a.

Soit un repère orthogonal du plan.On note et les points tels que et .L’unité d’aire, que l’on note u.a., est l’aire du rectangle dont , et forment trois sommets

Définition

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Cours

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• La valeur de l'intégrale ne dépend que de a, b et f. La variable x n'intervient pas et est donc dite muette.On peut alors la remplacer par n'importe quelle autre lettre. Ainsi :
• Pour toute fonction f continue et positive en un réel a, on a : puisqu'il s'agit d'aire d'un segment de longueur f(a), l'aire est donc nulle.

Remarques :

Cette intégrale se note : .

• L'axe des abscisses
• La courbe de f
• La droite d'équation x = a
• La droite d'équation x = b

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. L'intégrale de a à b de la fonction f est l'aire (en u.a.) du domaine délimité par :

Définition

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Bravo !

Voir solution

Dans chacun des cas, complète les blancs pour donner l'intégrale qui décrit le domaine coloré.

Exercice 1

VALIDER

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Trace le domaine décrit par l'intégrale

Trace le domaine décrit par l'intégrale

Exercice 2

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Exercice 3

Cours

Relation de Chasles

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9. Bilan

2. Méthode des rectangles

8. Changement de variable

7. Intégration par parties

6. Aire entre deux courbes

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

4. Propriétés des intégrales

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

1. Introduction géométrique

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Exemple

Pour chaque subdivision, on approxime l'aire sous la courbe par l'aire d'un rectangle (on peut choisir de procéder avec des rectangles à gauche ou des rectangles à droite). Pour approximer l'intégrale, il suffit alors de calculer la somme des aires de chacun des rectangles.

Pour utiliser la méthode des rectangles pour approximer une intégrale , on créée une subdivision de l'intervalle .

Dans le cas où il n'est pas possible de calculer l'intégrale d'une fonction facilement (aire sous la courbe ne pouvant pas être découpée en aire de figures géométriques simples), on peut utiliser la méthode des rectangles pour donner une approximation de l'intégrale.

On construit chaque rectangle à partir du point

On construit chaque rectangle à partir du point

Rectangles à droite :

Rectangles à gauche :

Méthode des rectangles :

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ln( ).

ln( )

On a donc

ln( ).

Le calcul par la méthode des rectangles à droite donne

ln( ).

Le calcul par la méthode des rectangles à gauche donne

On cherche à encadrer l'intégrale par la méthode des rectangles avec n=6.

Exercice

Soit une fonction continue et monotone sur un intervalle . Alors : Si est croissante, Si est décroissante,

Encadrement de l'intégrale avec la méthode des rectangles :

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VALIDER

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2. Méthode des rectangles

8. Changement de variable

7. Intégration par parties

6. Aire entre deux courbes

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

4. Propriétés des intégrales

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

1. Introduction géométrique

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Vidéos d'exemples détaillés :

Remarque :On utilise généralement la notation suivante :

1. On cherche à calculer l'intégrale On note que la fonction définie sur l'intervalle par est une primitive de sur . Alors, 2. On veut intégrer sur l'intervalle la fonction définie par . On a alors et on retrouve donc l'aire de la zone verte (calculable géométriquement) :

Exemples

Soit une fonction continue sur un intervalle et une primitive de sur . Alors,

Définition de l'intégrale avec les primitives

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Exercice 4

Exercice 3

Exercice 2

Exercice 1

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7. Intégration par parties

6. Aire entre deux courbes

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

4. Propriétés des intégrales

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

1. Introduction géométrique

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On considère la fonction définie par si et si . Alors, d'après la relation de Chasles. Or, par linéarité, et donc De plus, Finalement, on obtient donc,

Exemples

Soient et trois réels.

Linéarité :

Soient et trois réels.

Relation de Chasles :

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En traitement du signal, on utilise aussi l'énergie qui est définie par :

La valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle est donnée par :

Corrigé détaillé de l'exercice :

Activité : Valeur moyenne

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Cours

Valeur moyenne d'une fonction

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8. Changement de variable

7. Intégration par parties

6. Aire entre deux courbes

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

4. Propriétés des intégrales

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

1. Introduction géométrique

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On ne peut par directement calculer l'intégrale sur l'intervalle complet puisque l'aire des parties négatives va se soustraire à l'aire des parties positives : le résultat ne donnera pas l'aire totale.

Pour calculer l'aire comprise entre la courbe d'une fonction et l'axe des abscisses, on décompose l'intervalle en sous-intervalles sur lesquelles la fonction est de signe constant, et on calcule les intégrales sur chaque intervalle.

Remarque :

Soit une fonction continue et négative sur un intervalle . L'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b est donnée par :

Intégrale d'une fonction négative

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1. Compléter le tableau de signe :

On considère la fonction définie sur par dont une représentation graphique est donnée ci-dessous.

Exercice

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8. Changement de variable

7. Intégration par parties

6. Aire entre deux courbes

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

4. Propriétés des intégrales

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

1. Introduction géométrique

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• Si pour tout , il suffit d'inverser les rôles de et dans la formule précédente.
• Si pour certaines valeurs de et pour d'autres il suffit de découper l'intégrale sur chacune de ces parties et d'appliquer à chaque fois la formule correspondante.

Remarques :

On considère les fonctions et définies par et . Déterminer l'aire délimitée par les courbes de et sur en utilisant la formule ci-contre. Cette aire est celle de la zone verte sur le dessin suivant :

Correction détaillée :

Exemple

Soient et deux fonctions continues sur un intervalle . On suppose que pour tout . Alors, l'aire de la zone comprise entre les courbes représentatives de et , et entre et est donnée par : Autrement dit,

Aire entre deux courbes

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Exercice

Etudier le signe de sur l'intervalle . Calculer l'intégrale de sur les parties où et l'intégrale de sur les parties où . Additionner les résultats obtenus à l'étape précente pour obtenir l'aide entre les courbes représentatives de et de .

Pour appliquer la formule d'aire entre deux courbes, il faut suivre les étapes suivantes :

Méthode

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1. Introduction géométrique

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Preuve du théorème d'intégration par parties :

On cherche à calculer l'intégrale On pose alors et . On a alors et . Les fonctions et sont bien dérivables de dérivées continues sur l'intervalle d'intégration et la formule d'intégration par parties donne : Ainsi, après calcul on obtient :

Exemple

• et deux réels.
• et deux fonctions dérivables et de dérivées continues sur

On considère : Alors,

Théorème d'intégration par parties

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Exercice 2

Et si une IPP ne suffit pas :

Exercice 1

Un exemple détaillé :

Si la fonction à intégrer est le produit d'une fonction polynômiale par une fonction exponentielle ou trigonométrique. Par exemple :

La méthode d'intégration par parties est assez simple à appliquer avec un peu d'entraînement. La question est plutôt de savoir quand l'appliquer. Voici quelques situations types :

Méthode

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Exercice

Un exemple détaillé :

Si on peut poser . Par exemple pour calculer l'intégrale du logarithme.

Méthode

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On cherche à une primitive de la fonction définie sur par . On utilise alors la formule d'IPP avec et .Ainsi, et et la formule d'IPP s'écrit Or, une primitive de est donnée par . On arrive donc à Les primitives de la fonction sont donc les fonctions de la forme

Exemple

On peut également utiliser une intégration par parties si on cherche à déterminer les primitives d'une fonction. Dans ce cas la formule d'intégration par parties s'écrit : La notation d'intégrale sans bornes signifie primitive. On peut ainsi obtenir une primitive et on en déduit toutes les autres puisqu'elles ne diffèrent que d'une constante.

Méthode

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Exercice 2

Exercice 1

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8. Changement de variable

7. Intégration par parties

6. Aire entre deux courbes

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

4. Propriétés des intégrales

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

1. Introduction géométrique

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La fonction est appelée le changement de variable. Elle est souvent strictement monotone.

Remarque :

Exemple

• un intervalle réel.
• une fonction dérivable et de dérivée continue.
• une fonction continue.

On considère : Alors,

Théorème de changement de variable

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On cherche à calculer l'intégrale en utilisant la formule précédente :avec : et . On obtient :

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Exercice 2

Exercice 1

Trouver le bon changement de variable à effectuer, c'est-à-dire trouver la fonction (sous cette forme on le voit apparaître). Calculer l'image des bornes et par la fonction . Appliquer la formule de changement de variable.

Si l'on cherche à calculer une intégrale de la forme alors on applique la formule de changement de variable en suivant les étapes suivantes :

Méthode 1

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Exemple

On cherche à calculer l'intégrale en utilisant la formule précédente : avec : et . Alors, et . Ainsi, Finalement,

Trouver le bon changement de variable à effectuer (cette fois il est plus difficile à trouver car il n'apparait pas explicitement). Calculer la dérivée de ainsi que les nouvelles bornes. Appliquer la formule de changement de variable et calculer la nouvelle intégrale obtenue.

Si l'on cherche à calculer une intégrale de la forme il est possible d'utiliser la formule de changement de variable en la lisant sous la forme : On suit alors les étapes suivantes :

Méthode 2

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Exercice 3

Exercice 2

Exercice 1

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Exemple

Trouver le bon changement de variable à effectuer. Appliquer la formule de changement de variable et déterminer les primitives de la fonction obtenue. Revenir à la variable de départ.

On peut également utiliser la formule de changement de variable pour déterminer la primitive d'une fonction. Dans ce cas, on utilise la formule On suit alors les étapes suivantes :

Méthode 3

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On cherche à déterminer les primitives de la fonction . Autrement dit, on veut déterminer en utilisant la formule précédente : avec : et . Alors, . Ainsi, Finalement, on arrive à où . Enfin, il faut revenir à la variable de départ en utilisant le fait que . Les primitives de sont donc les fonctions de la forme :

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Exercice 2

Exercice 1

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8. Changement de variable

7. Intégration par parties

6. Aire entre deux courbes

5. Extension aux intégrales de fonctions continues quelconques

4. Propriétés des intégrales

3. Définition formelle de l'intégrale d'une fonction continue et positive

1. Introduction géométrique

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Il existe des techniques de calcul pour les intégrales plus compliquées : -> L'IPP : -> Le changement de variable :

L'intégrale d'une fonction négative est négative : il faut en prendre la valeur absolue pour trouver l'aire du domaine entre la courbe et l'axe des abscisses.Attention donc aux problèmes de signes sur des études pour lesquelles la fonction change de signe : il faut calculer séparément sur chaque intervalle de signe constant.

Une intégrale d'une fonction continue et position correspond à l'aire sous la courbe de la fonction entre les deux bornes.

Pour calculer une intégrale, on utilise les primitives :

Ce que je retiens

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Fin

Nous avons emprunté et modifié un certain nombre de ressources disponibles sous licence créative commons à différents auteurs pour créer ces séquences de remise à niveau. Nous les remercions et leur dédions cette page pour les créditer.

Attributions

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