Maths - Lycée - Généralités sur les suites

Stéphanie Léger et Laura Tristan

Remise à niveau mathématiques

Généralités sur les suites

Généralités sur les suites

Plan :

5. Bilan

4. Représentation graphique

3. Calcul de termes

2. Notion de suite et mode de génération

1. Introduction

• de calculer les termes d'une suite

• de représenter graphiquement les premiers termes d'une suite

• de distinguer une suite définie explicitement ou par récurrence

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• de comprendre ce qu'est une suite

À la fin de cette séquence, tu seras capable :

Objectifs

5. Bilan

4. Représentation graphique

3. Calcul de termes

2. Notion de suite et mode de génération

1. Introduction

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Généralités sur les suites

Les suites numériques sont souvent utilisées dans les tests psychotechniques de concours d'entrée dans des formations, ou parfois lors d'un recrutement. Ce type de question peut se présenter sous la forme donnée ci-contre. À toi de jouer, pour chaque suite, trouve la valeur manquante.

Activité

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Début 2021, un aquarium contient 200 poissons. Chaque année, 15% des poissons meurent, et on ajoute 45 nouveaux poissons en fin d'année. On note le nombre de poissons dans l'aquarium début 2021+n.

Activité

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5. Bilan

4. Représentation graphique

3. Calcul de termes

2. Notion de suite et mode de génération

1. Introduction

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Les suites qui nous intéressent ici sont des listes ordonnées de nombres qui ont une relation logique entre eux. En mathématiques, on donne un nom à cette liste, généralement , et chacun des nombres peut être exprimé en fonction de sa position dans la liste : si désigne le premier terme, désigne le deuxième, et le n+1 ème.

On a : , , , , etc.

On a : , , , , etc.

est une suite définie sur .

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est une suite définie sur .

Exemples

Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels , L'image d'un entier naturel n est notée . La suite est notée .

Cours

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Pour exprimer la relation liant les différents termes d'une suite, selon le cas, nous avons deux possibilités.

Exercice 1

Modes de génération d'une suite :

• Définir une suite par une forme explicite, c'est donner l'expression de en fonction de n.

• Définir une suite par une relation de récurrence, c'est donner un premier terme et une relation permettant de calculer un terme à partir d'un terme précédent.

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est une suite définie par récurrence.

La suite représentant le nombre de poissons dans l'aquarium en 2021+n, définie par :

Activité (suite)

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Exercice 2

Exercice 4

Exercice 3

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Exercice 5

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2. Notion de suite et mode de génération

1. Introduction

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Exercice 2

Exercice 1

Pour calculer les termes d'une suite définie par récurrence, on doit calculer tous les termes intermédiaires, de proche en proche, en utilisant la relation de récurrence.

Méthode

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Pour calculer les termes d'une suite définie explicitement, on remplace directement n dans l'expression par la valeur d'indice du terme souhaité.

Méthode

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Exercice 4

Exercice 3

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3. Calcul de termes

2. Notion de suite et mode de génération

1. Introduction

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Représentation de la suite :

Illustration

Pour construire la représentation graphique d'une suite définie sous forme explicite : Il suffit de construire une table de valeurs et de placer dans un repère les points de coordonnées . C'est exactement le même principe que pour tracer une fonction, d'ailleurs, les points d'une suite explicite correspondent à des points de la fonction associée : ce sont les points ayant une abscisse entière.

Méthode

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Pour

Pour

Pour

Pour

Pour

Correction

Pour

Pour

Pour

Pour

Pour

Pour

En glissant-déposant les points donnés ci-dessous, construis les 11 premiers points de la représentation graphique de la suite définie sur par : Lorsque tu auras tout placé, clique sur le bouton "vérification". Avant de placer les points, complète la table de valeurs de la suite.

Les points à glisser :

Exercice

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VALIDER

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Illustration

Etc...

Courbe de la fonction

Droite d'équation

avec

La droite d'équation nous permet de "ramener" sur l'axe des abscisses, pour pouvoir recommencer le procédé à partir de l'étape , afin d'obtenir , etc.

On construit le terme suivant, , comme étant l'image de par la fonction, puisque la relation nous dit que .

On place sur l'axe des abscisses le premier terme de la suite (qui nous est donné).

Dans un repère, on trace la représentation graphique de la fonction associée à la suite. On construit également la droite d'équation .

Pour construire la représentation graphique d'une suite définie par récurrence : On utilise un algorithme particulier.

Méthode

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/ 12

Pour aller jusqu'à 6 termes : V100V101 V101V102 V102V103 V103V104 V104V105 V105V106 V106V107 V107V108

Droite d'équation

Courbe de

et

xx

En cliquant sur le graphique, trace les traits pour construire les 4 premiers points de la représentation graphique de la suite définie sur par : Ces 4 premiers termes doivent être représentés sur l'axe des abscisses. Lorsque tu auras fini la construction, un feedback apparaîtra. Il y a 12 traits de construction à tracer.

Correction

Exercice

• #147bb7
• 3
• 99

• non
• non

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• V89V88
• V88V90
• V90V91
• V91V92
• V92V93
• V93V94
• V94V95
• V95V96
• V96V97
• V97V98
• V98V99
• V99V100

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1. Introduction

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Pour représenter graphiquement une suite définie explicitement, il suffit de placer les points sur un graphique, comme pour une fonction. Pour une suite définie par récurrence, il y a un algorithme de construction utilisant la symétrie par rapport à la droite d'équation y=x.

Pour calculer les termes d'une suite définie explicitement, on remplace n par le rang souhaité directement dans la formule. Pour une suite définie par récurrence, on doit calculer chaque terme intermédiaire, de proche en proche.

Une suite est dite générée de façon explicite si son expression est de la forme , et générée par récurrence si elle est de la forme .

Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels .

Ce que je retiens

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Nous avons emprunté et modifié un certain nombre de ressources disponibles sous licence créative commons à différents auteurs pour créer ces séquences de remise à niveau. Nous les remercions et leur dédions cette page pour les créditer.

Fin

Attributions

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