Généralités sur les suites
Remise à niveau mathématiques
Stéphanie Léger et Laura Tristan
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Remise à niveau mathématiques
Généralités sur les suites
Objectifs
Plan :
À la fin de cette séquence, tu seras capable :
1. Introduction
2. Notion de suite et mode de génération
- de comprendre ce qu'est une suite
3. Calcul de termes
- de distinguer une suite définie explicitement ou par récurrence
4. Représentation graphique
- de calculer les termes d'une suite
5. Bilan
- de représenter graphiquement les premiers termes d'une suite
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Généralités sur les suites
1. Introduction
2. Notion de suite et mode de génération
3. Calcul de termes
4. Représentation graphique
5. Bilan
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Généralités sur les suites
Activité
Les suites numériques sont souvent utilisées dans les tests psychotechniques de concours d'entrée dans des formations, ou parfois lors d'un recrutement. Ce type de question peut se présenter sous la forme donnée ci-contre. À toi de jouer, pour chaque suite, trouve la valeur manquante.
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Activité
Début 2021, un aquarium contient 200 poissons. Chaque année, 15% des poissons meurent, et on ajoute 45 nouveaux poissons en fin d'année. On note le nombre de poissons dans l'aquarium début 2021+n.
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Généralités sur les suites
1. Introduction
2. Notion de suite et mode de génération
3. Calcul de termes
4. Représentation graphique
5. Bilan
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Généralités sur les suites
Cours
Exemples
Les suites qui nous intéressent ici sont des listes ordonnées de nombres qui ont une relation logique entre eux. En mathématiques, on donne un nom à cette liste, généralement , et chacun des nombres peut être exprimé en fonction de sa position dans la liste : si désigne le premier terme, désigne le deuxième, et le n+1 ème.
est une suite définie sur .
On a : , , , , etc.
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels , L'image d'un entier naturel n est notée . La suite est notée .
est une suite définie sur .
On a : , , , , etc.
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Généralités sur les suites
Exercice 1
Cours
Pour exprimer la relation liant les différents termes d'une suite, selon le cas, nous avons deux possibilités.
Modes de génération d'une suite :
- Définir une suite par une forme explicite, c'est donner l'expression de en fonction de n.
- Définir une suite par une relation de récurrence, c'est donner un premier terme et une relation permettant de calculer un terme à partir d'un terme précédent.
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Généralités sur les suites
Activité (suite)
La suite représentant le nombre de poissons dans l'aquarium en 2021+n, définie par :
est une suite définie par récurrence.
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Exercice 4
Exercice 3
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Exercice 5
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1. Introduction
2. Notion de suite et mode de génération
3. Calcul de termes
4. Représentation graphique
5. Bilan
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Généralités sur les suites
Méthode
Méthode
Pour calculer les termes d'une suite définie par récurrence, on doit calculer tous les termes intermédiaires, de proche en proche, en utilisant la relation de récurrence.
Pour calculer les termes d'une suite définie explicitement, on remplace directement n dans l'expression par la valeur d'indice du terme souhaité.
Exercice 2
Exercice 1
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Exercice 3
Exercice 4
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1. Introduction
2. Notion de suite et mode de génération
3. Calcul de termes
4. Représentation graphique
5. Bilan
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Illustration
Méthode
Représentation de la suite :
Pour construire la représentation graphique d'une suite définie sous forme explicite : Il suffit de construire une table de valeurs et de placer dans un repère les points de coordonnées . C'est exactement le même principe que pour tracer une fonction, d'ailleurs, les points d'une suite explicite correspondent à des points de la fonction associée : ce sont les points ayant une abscisse entière.
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Généralités sur les suites
Exercice
En glissant-déposant les points donnés ci-dessous, construis les 11 premiers points de la représentation graphique de la suite définie sur par : Lorsque tu auras tout placé, clique sur le bouton "vérification". Avant de placer les points, complète la table de valeurs de la suite.
Correction
VALIDER
Les points à glisser :
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
Pour
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Généralités sur les suites
Illustration
Méthode
avec
Pour construire la représentation graphique d'une suite définie par récurrence : On utilise un algorithme particulier.
Droite d'équation
Courbe de la fonction
Dans un repère, on trace la représentation graphique de la fonction associée à la suite. On construit également la droite d'équation .
On place sur l'axe des abscisses le premier terme de la suite (qui nous est donné).
Etc...
On construit le terme suivant, , comme étant l'image de par la fonction, puisque la relation nous dit que .
La droite d'équation nous permet de "ramener" sur l'axe des abscisses, pour pouvoir recommencer le procédé à partir de l'étape , afin d'obtenir , etc.
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Généralités sur les suites
xx
Correction
/ 12
Courbe de
Droite d'équation
Exercice
En cliquant sur le graphique, trace les traits pour construire les 4 premiers points de la représentation graphique de la suite définie sur par : Ces 4 premiers termes doivent être représentés sur l'axe des abscisses. Lorsque tu auras fini la construction, un feedback apparaîtra. Il y a 12 traits de construction à tracer.
- V89V88
- V88V90
- V90V91
- V91V92
- V92V93
- V93V94
- V94V95
- V95V96
- V96V97
- V97V98
- V98V99
- V99V100
Pour aller jusqu'à 6 termes : V100V101
V101V102
V102V103
V103V104
V104V105
V105V106
V106V107
V107V108
et
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2. Notion de suite et mode de génération
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5. Bilan
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Ce que je retiens
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels .
Une suite est dite générée de façon explicite si son expression est de la forme , et générée par récurrence si elle est de la forme .
Pour calculer les termes d'une suite définie explicitement, on remplace n par le rang souhaité directement dans la formule. Pour une suite définie par récurrence, on doit calculer chaque terme intermédiaire, de proche en proche.
Pour représenter graphiquement une suite définie explicitement, il suffit de placer les points sur un graphique, comme pour une fonction. Pour une suite définie par récurrence, il y a un algorithme de construction utilisant la symétrie par rapport à la droite d'équation y=x.
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Généralités sur les suites
Fin
Attributions
Nous avons emprunté et modifié un certain nombre de ressources disponibles sous licence créative commons à différents auteurs pour créer ces séquences de remise à niveau. Nous les remercions et leur dédions cette page pour les créditer.
Maths - Lycée - Généralités sur les suites
Mohamed Meftah
Created on February 7, 2023
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Stéphanie Léger et Laura Tristan
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Objectifs
Plan :
À la fin de cette séquence, tu seras capable :
1. Introduction
2. Notion de suite et mode de génération
3. Calcul de termes
4. Représentation graphique
5. Bilan
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1. Introduction
2. Notion de suite et mode de génération
3. Calcul de termes
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Activité
Les suites numériques sont souvent utilisées dans les tests psychotechniques de concours d'entrée dans des formations, ou parfois lors d'un recrutement. Ce type de question peut se présenter sous la forme donnée ci-contre. À toi de jouer, pour chaque suite, trouve la valeur manquante.
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Activité
Début 2021, un aquarium contient 200 poissons. Chaque année, 15% des poissons meurent, et on ajoute 45 nouveaux poissons en fin d'année. On note le nombre de poissons dans l'aquarium début 2021+n.
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Exemples
Les suites qui nous intéressent ici sont des listes ordonnées de nombres qui ont une relation logique entre eux. En mathématiques, on donne un nom à cette liste, généralement , et chacun des nombres peut être exprimé en fonction de sa position dans la liste : si désigne le premier terme, désigne le deuxième, et le n+1 ème.
est une suite définie sur .
On a : , , , , etc.
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels , L'image d'un entier naturel n est notée . La suite est notée .
est une suite définie sur .
On a : , , , , etc.
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Cours
Pour exprimer la relation liant les différents termes d'une suite, selon le cas, nous avons deux possibilités.
Modes de génération d'une suite :
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La suite représentant le nombre de poissons dans l'aquarium en 2021+n, définie par :
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Exercice 4
Exercice 3
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5. Bilan
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Méthode
Pour calculer les termes d'une suite définie par récurrence, on doit calculer tous les termes intermédiaires, de proche en proche, en utilisant la relation de récurrence.
Pour calculer les termes d'une suite définie explicitement, on remplace directement n dans l'expression par la valeur d'indice du terme souhaité.
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Exercice 1
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Méthode
Représentation de la suite :
Pour construire la représentation graphique d'une suite définie sous forme explicite : Il suffit de construire une table de valeurs et de placer dans un repère les points de coordonnées . C'est exactement le même principe que pour tracer une fonction, d'ailleurs, les points d'une suite explicite correspondent à des points de la fonction associée : ce sont les points ayant une abscisse entière.
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Exercice
En glissant-déposant les points donnés ci-dessous, construis les 11 premiers points de la représentation graphique de la suite définie sur par : Lorsque tu auras tout placé, clique sur le bouton "vérification". Avant de placer les points, complète la table de valeurs de la suite.
Correction
VALIDER
Les points à glisser :
Pour
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avec
Pour construire la représentation graphique d'une suite définie par récurrence : On utilise un algorithme particulier.
Droite d'équation
Courbe de la fonction
Dans un repère, on trace la représentation graphique de la fonction associée à la suite. On construit également la droite d'équation .
On place sur l'axe des abscisses le premier terme de la suite (qui nous est donné).
Etc...
On construit le terme suivant, , comme étant l'image de par la fonction, puisque la relation nous dit que .
La droite d'équation nous permet de "ramener" sur l'axe des abscisses, pour pouvoir recommencer le procédé à partir de l'étape , afin d'obtenir , etc.
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En cliquant sur le graphique, trace les traits pour construire les 4 premiers points de la représentation graphique de la suite définie sur par : Ces 4 premiers termes doivent être représentés sur l'axe des abscisses. Lorsque tu auras fini la construction, un feedback apparaîtra. Il y a 12 traits de construction à tracer.
Pour aller jusqu'à 6 termes : V100V101 V101V102 V102V103 V103V104 V104V105 V105V106 V106V107 V107V108
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3. Calcul de termes
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Généralités sur les suites
Ce que je retiens
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels .
Une suite est dite générée de façon explicite si son expression est de la forme , et générée par récurrence si elle est de la forme .
Pour calculer les termes d'une suite définie explicitement, on remplace n par le rang souhaité directement dans la formule. Pour une suite définie par récurrence, on doit calculer chaque terme intermédiaire, de proche en proche.
Pour représenter graphiquement une suite définie explicitement, il suffit de placer les points sur un graphique, comme pour une fonction. Pour une suite définie par récurrence, il y a un algorithme de construction utilisant la symétrie par rapport à la droite d'équation y=x.
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