SUCESIÓN DE FIBONACCI

La sucesión de Fibonacci, también conocida como la serie de Fibonacci, es la sucesión infinita de números naturales. Fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII que nació en el año 1170 y murió en el año 1240. Consta del conjunto ordenado de cifras cuyo valor se forma con la suma de los dos números anteriores. Los números que forman la composición de esta sucesión son denominados como los hijos de Fibonacci. Difundió en Europa la utilidad práctica del sistema de numeración indo-arábigo (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) frente a la numeración romana, y además fue el primer europeo en describir la sucesión numérica que casualmente lleva su nombre. La secuencia empieza desde 0 y 1 de manera predeterminada.

0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89...

Los números de Fibonacci están presentes en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco o en la configuración de las piñas de las coníferas. Las ramas de ciertos árboles van saliendo cada año conforme a la sucesión de Fibonacci. El primer año el tronco crece sin echar ninguna rama, al cabo de un año produce una y así durante cada año. A su vez cada rama puede echar otra nueva al cabo de uno año.

Por ejemplo: Los pétalos de las flores. Esta serie aparece en los pétalos de distintas flores con mayor frecuencia de lo que nosotros esperamos. - Los lirios tienen 3 pétalos. - Las primulas tienen 5 pétalos. - Los delfinios tienen 8 pétalos. - La Hierba de Santiago 13 pétalos. - La achicoria tiene 21 pétalos. Como vemos son flores que siguen el patrón de los números que forman parte de la sucesión de fibonacci.

Planteó un problema acerca de la reproducción de los conejos y la solución a este problema la constituyen precisamente los números de la sucesión de Fibonacci. El problema dice así: se tiene una pareja de conejos que viven por siempre, que a los dos meses es fértil. Una vez lograda la madurez, tienen una pareja de conejos bebés de diferente sexo cada mes, que también tardan dos meses en reproducirse y pasan a tener una pareja de conejos mensual.

Es una sucesión creciente porque los dos primeros términos son 0 y 1. Como cada término (a partir del tercero) se obtiene sumando los dos términos anteriores, cada término es mayor o igual que el anterior.

La sucesión de Fibonacci se puede determinar como mediante ecuación recurrente. Es una sucesión recursiva.

Si no se conocen los dos términos anteriores al que queremos hallar, entonces podemos usar la siguiente fórmula:

NÚMERO ÁUREO = 1,618...

Por ejemplo, vamos a calcular el sexto número de la sucesión:

¿QUÉ NÚMERO DE LA SUCESIÓN ES?

Mediante el rectángulo áureo, podemos formar una espiral de Fibonacci (una espiral logarítmica), que utiliza los valores la sucesión de Fibonacci para la creación del rectángulo áureo. El funcionamiento es de la manera que dentro de cada rectángulo áureo hay otro rectángulo áureo porque es una secuencia lineal que no nunca tiene fin.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

Para comprobar si un rectángulo tiene proporciones áueas basta con dividir el lado más largo entre el lado más corto.

Si miramos la siguiente obra cuentan que está pintada para que quepa sobre un rectángulo aúreo. Si seguimos la espiral de Fibonacci marcada en la imagen que se forma a través del rectángulo, la nariz queda justamente donde está el final de la espiral logarítmica, pero realmente se cree que esto es pura casualidad, ya que los cortes que se utilizan para ajustar el cuadro al rectángulo aúreo no tiene mucho sentido. Aún así, muchos investigadores afirman que Leonardo da Vinci úso la proporción aúrea para crear La Mona Lisa.

En el Triángulo de Pascal se puede apreciar una relación entre un modo de sumar las diagonales y la sucesión de Fibonacci. Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal. Si recorremos el Triángulo de Pascal por filas nos encontraremos con los números combinatorios. Lo que estos números expresan es: ¿De cuantas formas puedo elegir cada elemento de un conjunto de n?

Y así sucesivamente...

Por ejemplo: Si tengo 4 colores, ¿De cuantas formas puedo elegir dos de ellos? Como tenemos 4 colores, voy a la fila 4 del triángulo y como voy a elegir dos de ellos, utilizo el tercer número de esa fila.

Podemos elegir dos colores de 6 maneras con 4 colores.

Por ejemplo: Si tengo 4 colores, ¿De cuantas formas puedo elegir dos de ellos? Como tenemos 4 colores, voy a la fila 4 del triángulo y como voy a elegir dos de ellos, utilizo el tercer número de esa fila. Rojo-Rosa ! Rosa-Azul Rojo-Azul ! Rosa-Amarillo Rojo- Amarillo ! Azul-Amarillo

En el triángulo de Pascal se puede apreciar una relación entre un modo de sumar las diagonales y la sucesión de Fibonacci. Por lo tanto, si sumas los números en diagonal desde arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda componen la sucesión de Fibonacci que son los números que se muestran en rojo.

Completa la siguiente tabla según la sucesión de Fibonacci:

Completa la siguiente tabla según la sucesión de Fibonacci:

Calcula el trigésimo número de la sucesión de Fiobonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

Calcula el trigésimo número de la sucesión de Fiobonacci:

El trigésimo número de la sucesión de Fibonacci es el número 832.040.

CUESTIONES Y CONCLUSIONES

1. ¿Cúal es el nombre del creador de la suceción? 2. ¿A través de qué problema se introdujo la sucesión de Fibonacci? 3. ¿Es una sucesión creciente o decreciente? ¿Por qué? 4. ¿Es una sucesión recursiva? ¿Por qué? Razona tu respuesta.

SOLUCIONES CUESTIONES Y CONCLUSIONES

1. ¿Cúal es el nombre del creador de la suceción? Es el matemático Leonardo de Pisa. 2. ¿A través de qué problema se introdujo la sucesión de Fibonacci? Mediante un problema de conejos surgió esta sucesión. 3. ¿Es una sucesión creciente o decreciente? ¿Por qué? Creciente porque cada término es mayor o igual que el anterior. 4. ¿Es una sucesión recursiva? ¿Por qué? Razona tu respuesta. Es una sucesión recursiva porque se requieren los dos términos anteriores para calcular el siguiente número.