CIRCUNFERENCIA E HIPERBOLA

SECCIONES CóNICAS

SECCIONES CONICAS

CIRCUNFERENCIA E HIPÉRBOLE

CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro, siempre es constante.

ecuaciones de la CIRCUNFERENCIA

ECUACIÓN EN SU FORMA GENERAL:

Las formas de expresar la ecuación de una circunferencia son las siguientes:

X2 + Y2 + Dx + Ey+ F = 0

A = C Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación ordinaria.

ejercicio c/ solución

Hallar el centro y radio de la ecuación x2+y2-6x+4y-36=0

1. Ordenar términos. 2. Al valor numérico dividir entre 2 y elevar al cuadrado. 3. Completar TCP. 4. Factorizar. 5. Los números resultantes de la factorización se multiplican por (-) y nos da el valor del centro y al radio sacarle raíz.

x2+y2-6x+4y-36=0

x2 - 6x

y2 + 4y

= 36

4/2 = 2 22 = 4

6/2 = 3 32 = 9

x2 - 6x + 9

= 36 + 9 + 4

y2 + 4y + 4

+ ( y + 2)2

= 49

(x - 3)2

(x-h) 2 +(y-k) 2 = r2 c( -3, 2) r 2=49 r= 7

ecuaciones en su forma ordinaria

(centro fuera del origen)

FORMA :

r2= ( x - h )2 + ( y - k)2

C= centro (h,k) P= punto cualquiera (x,y) r= radio circunferencia con centro en el punto C (h,k) y radio r

ejercicio c/ solución

Hallar la ecuación de la circunferencia cuando C= (-7,3) y r=5

ECUACIÓN GENERAL:

(x-h) 2 + (y-k) 2=r2 (x-(-7)) 2 + (y-3) 2=52 (x-7) 2 + (y-3) 2=25 x2+14x+49+(y-3) 2=25 x2+14x+49+y2-6y+9=25 x2+y2+14x-6y+49+9=25 x2+y2+14x-6y+58-25=0

X2 + Y2 + Dx + Ey+ F = 0

x2+y2+14x-6y+33=0

ecuaciones en su forma canónica

(centro en el origen)

FORMA :

r2 = x 2 + y 2

C= centro P= punto cualquiera r= radio

ejercicio c/ solución

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio = 4

x2+y2= r2 x2+y2=42 x2+y2= 16

x2+y2 - 16=0

ANÁLISIS DE LA ecuaciÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

• Si r es positivo, la circunferencia es real.
• Si r es negativo, la circunferencia es imaginaria.
• Si r es igual a 0 entonces representa un punto.

PARÁBOLA

Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que equidistan de un punto fijo, llamado foco y una recta fija llamada directriz.

PARÁBOLA

partes

V= vértice f= foco d= directriz LR= lado recto P= parámetro (distancia del vértice al foco o directriz).

ec. de la parábola con centro en el origen

FÓRMULA

SOBRE EL EJE X Sea una parábola con vértice en el origen, foco F(p,0) donde p es el parámetro y su directriz x= -p. Se toma un punto P(x,y) que cumpla con la condición de que la distancia al foco y a la directriz sea la misma, es decir:

Su foco está sobre el eje x y son cóncavas hacia la derecha o a la izquierda. Concavidad Si p>0 entonces la parábola abre hacia la derecha. Si p<0 entonces la parábola abre hacia la izquierda.

ec. de la parábola con centro en el origen

FÓRMULA

SOBRE EL EJE Y Si el foco está sobre el eje Y, F(0,p) donde p es el parámetro y su directriz la recta y= -p y vértice en el origen, al aplicar la definición el resultado es el siguiente.

Su foco está sobre el eje Y, son cóncavas hacia arriba o hacia abajo. Concavidad Si p>0 entonces la parábola es cóncava hacia arriba. Si p<0 entonces la parábola es cóncava hacia abajo.

ejercicio c/ solución

Hallar la ecuación general de la parábola que pasa por el origen y graficar a partir de: V(0,0) F(-6,0).

LR = I 4P I LR = I 4(6) I LR = I 24 I

NOTA: para graficar LR se divide entre 2

Ecuación:

y2 = -4px y2 = 4(6)x y2 = 24x

ec. de la parábola con centro fuera del origen

FÓRMULA

SOBRE EL EJE X En forma análoga para una parábola con vértice fuera del origen en (h,k), coordenadas del foco en F(h,k+p) y directriz en la recta y=k -p, se obtiene: ( x - h )2 = 4p(y - k)

Su eje es paralelo al eje X y es cóncava hacia la derecha o izquierda. Concavidad Si p>0 entonces la parábola es cóncava hacia la derecha. Si p<0 entonces la parábola es cóncava hacia la izquierda.

ec. de la parábola con centro fuera del origen

FÓRMULA

SOBRE EL EJE Y Su eje es paralelo al eje Y, es cóncava hacia arriba o abajo.

Concavidad Si p>0 entonces la parábola es cóncava hacia arriba. Si p<0 entonces la parábola es cóncava hacia abajo.

ejercicio c/ solución

Hallar la ecuación general de la parábola y construir su curva en cada caso V(2,3) F(5,3).

P= 3 LR = I 4p I LR = I 4(3) I = 12 NOTA: para graficar LR se divide entre 2

Ecuación General de la Parábola.

y2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + Dx + Ey + F = 0

Ecuación V(2,3): (y-k)2=4P(x-h) (y-3)2=4(3)(x-2) y2-6y+9=12(x-2) y2-6y+9=12x-24 y2-12x-6y+9+24=0 y2-12x-6y+33=0

bibliografía:

MATEMATICAS SIMPLIFICADAS (4.a ed.). (2015). PEARSON/ CONAMAT.