NÚMEROS COMPLEJOS

tema 4

Números complejos

Silvia De Miguel Sánchez

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Indice

pasar de una forma a otra

formabinómica

formapolar

Números complejos

operaciones f. polar

aplicación a la vida real

raíces(f. polar)

operaciones f. binómica

Números complejos

Se entiende por números complejos a la combinación de números reales e imaginarios.

La parte real puede ser expresada por un número entero o sus decimales, mientras que la parte imaginaria es aquella cuyo cuadrado es negativo.

Los números complejos surgen ante la necesidad de abarcar las raíces de los números negativos, cosa que los reales no pueden hacer. Por esta razón, reflejan todas las raíces de los polinomios.

POTENCIAS

Forma binómica

Se expresa como: z = a + bi

a= parte real b= parte imaginaria

Número complejo opuesto

Número complejo conjugado

Número real

Imaginario puro

Representacióngráfica

Forma polar

Se expresa como:

r = módulo del complejo: r = |z|a= argumento del complejo: a = arg(z)

¿Cómo calcular el argumento?

¿Cómo calcular el módulo?

Representacióngráfica

Pasar de una forma a otra

DE FORMA BINOMICA A FORMA POLAR

DE FORMA POLAR A FORMA BINÓMICA

Operaciones en forma binómica

SUMA O RESTA

DIVISIÓN

MULTIPLICACIÓN

Calculadora

Operaciones en forma polar

DIVISIÓN

POTENCIAS

MULTIPLICACIÓN

Calculadora

Raices en forma polar

Representacióngráfica

Aplicación en la vida real

Ingeniería

Informática

Física

Electrónica

Ingeniería

Teoría del Control: En la teoría del control, los polos y los ceros del sistema son analizados en el plano complejo. Análisis de Señales: Para obtener una descripción conveniente de señales que varían periódicamente. Integrales Impropias: Los números complejos son usados frecuentemente para calcular integrales impropias con valores de la vida real al usar funciones de números complejos. En Ingeniería Mecánica y Civil: El concepto de geometría compleja y el plano complejo es muy útil en la construcción de edificios y autos. Este concepto es usado en el diseño 2D de edificios y autos. Los números complejos también pueden ser usados en mecánica para representar rotaciones. Teorema de los Residuos: El teorema de los residuos en análisis complejo es una poderosa herramienta para evaluar integrales de caminos con respecto a curvas cerradas y muchas veces también puede ser usada para calcular integrales reales.

Informática

Podemos mostrar los datos, una parte real y una parte imaginaria y las operaciones en los datos implementadas como métodos. Este es un raro caso del uso de la sobrecarga del operador. En gráficas computacionales: En el caso 2D, los puntos pueden ser números complejos y las rotaciones, traslaciones y reflexiones de esos puntos corresponden a varias operaciones en los números complejos. También son útiles para gráficas 3D. Pueden aparecer, como conocimiento de la aplicación que necesita ser entendida antes de que un programa pueda ser escrito. Por ejemplo, necesitaríamos números complejos para sistemas computacionales algebraicos o simulaciones de mecánica cuántica.

Electrónica

El voltaje producido por una batería es caracterizado por un número real llamado potencial. Sin embargo, el voltaje “AC” en una casa requiere dos parámetros. El uno es un potencial, y el otro es un ángulo llamado la fase. El voltaje tiene dos dimensiones y una cantidad bidimensional puede ser representada matemáticamente como un vector o un número complejo. En la ingeniería eléctrica, la transformación de Fourier es usada para analizar voltajes y corrientes variantes. Procesamiento de señales digitales y a procesamiento de imágenes digitales, los cuales utilizan versiones digitales de análisis de Fourier para trasmitir, comprimir y restaurar las señales de imágenes, auto o video. Los ingenieros eléctricos usan la letra j para la unidad imaginaria, ya que es típicamente reservada para corrientes variantes.

Física

Mecánica de Fluidos: La mecánica de fluidos y sus subdisciplinas como aerodinámica, hidrodinámica e hidráulica tienen una gran variedad de aplicaciones. Por ejemplo, podemos calcular las fuerzas y los momentos de inercia en un avión, el flujo de masa del petróleo a través de los oleoductos y las predicciones de patrones del clima. En mecánica de fluidos, los números complejos son usados para describir el flujo potencial en dos dimensiones. Electromagnetismo: En vez de tomar a las partes magnética y eléctrica como dos números reales diferentes, podemos representarlo como un número complejo. Relatividad: En relatividad general y especial, algunas fórmulas para medir el tiempo espacio se vuelven más simples si es que tomamos a la variable del tiempo como imaginaria. A pesar de que esto ya no es estándar en relatividad clásica, es usada en una manera esencial en la teoría de campos cuánticos. Mecánica cuántica: Los números complejos son relevantes en la formulación de la mecánica cuántica, en donde espacios Hilbert complejos proveen el espacio para tales formulaciones que son convenientes y tal vez estándar. Las fórmulas fundacionales de mecánica cuántica – la ecuación de Schrödinger y la mecánica de matrices de Heisenberg – usan los números complejos.

¡Gracias!