2.4 Transformaciones elementales

Álgebra Lineal ACF-0903

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2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Núcleo y rango de una matriz

Matrices elementales y operaciones elementales por renglones

Las tres operaciones elementales sobre renglones aplicadas a las matrices ; estas son:

1. Intercambio de dos renglones. 2. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero. 3. Sumar el múltiplo de un renglón a otro renglón.

El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matriz se llama reducción por renglones.

Notación

1. , quiere decir "reemplaza el i-ésimo renglón por ese mismo renglón multiplicado por " . [Para multiplicar el i-ésimo renglón por se multiplica cada número en el i-ésimo renglón por .

2. , significa sustituye el j-ésimo renglón por la suma del renglón más el renglón multiplicado por .

3. , quiere decir "intercambiar los renglones y .

4. indica que las matrices aumentadas y son equivalentes ; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.

Ejemplos

Ejemplo 1. Reduzca por filas la matriz A que se muestra a continuación hasta la forma escalonada.

1.1

Solución: Tenemos, indicaremos cada una de las operaciones por renglón

Tenemos el pivote que es 2 como no tenemos ningún 1 vamos a realizar un 1 en el pivote principal, este será el renglón 1 multiplicarlo por 1/2.

Ahora vamos a hacer ceros debajo del pivote, la primera columna de la matriz A. El 1er renglón se queda igual, el segundo y tercer renglón quedara como sigue: el segundo renglón le vamos a restar 4 veces el renglón 1; el tercer renglón le vamos a restar tres veces el renglón 1. Esto es:

1.2

1.3

Ejemplo 2. Reduzca por filas la matriz A que se muestra a continuación hasta la forma escalonada.

Solución: Obsérvese que , primero, hacemos que la componente (1 , 1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

Ahora tenemos las siguientes matrices y su forma escalonada por renglones del ejemplo 1.

Las matrices , , se llaman formas escalonadas reducidas por renglones de las matrices , y , respectivamente.

Definición 1 Forma escalonada reducida por renglones y pivote Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las siguientes condiciones:

1). Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz. 2). El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos elementos no todos son cero es 1. 3). Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de abajo está mas hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba. 4). Cualesquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene ceros en el resto de sus elementos. El primer número diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llama pivote para ese renglón.

Nota: La condición 3). se puede reescribir como "el pivote en cualesquier renglón está a la derecha del pivote del renglón anterior"

Ejemplo 3 Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones

3.1 3.2 3.3

3.4 3.5

Las matrices 2.1 y 2.2 tienen tres pivotes; las otras tres matrices tienen dos pivotes.

Definición 2 Forma escalonada por renglones Una matriz esta en la forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones 1), 2) y 3) de la definición 1.

Ejemplo 4. Cinco matrices en la forma escalonada por renglones Las siguientes cinco matrices se encuentran en la forma escalonada por renglones:

4.1 4.2 4.3

4.4 4.5

Nota: Por lo general, la forma escalonada por renglones de una matriz no es única. Es decir, una matriz puede ser equivalente, en sus renglones , a más de una matriz en forma escalonada por renglones. Por ejemplo

muestra que las dos matrices anteriores, ambas en forma escalonada por renglones, son equivalentes por renglones. Así, cualquier matriz para la que A es una forma escalonada por renglones, también tiene a B como forma escalonada por renglones .

Definición 3 Espacio nulo y nulidad de una matriz se denomina el espacio nulo de A y se denomina nulidad de A. Si contiene sólo al vector cero, entonces . Nota: El espacio nulo de una matriz también se conoce como kernel.

Definición 4 Rango de una matriz Sea A una matriz m x n. Entonces el rango de A, denotado por , está dado por . Teorema 1 El rango de una matriz es igual al número de pivotes en su forma escalonada por renglones.

Ejemplo 5 Cálculo de para una matriz de 3 x 3

Solución: Vamos a determinar la forma escalonada por renglones

Ejemplo 7 Cálculo del rango de una matriz de 4 x 5

Solución: Vamos a determinar la forma escalonada por renglones

Ejemplo 8 Cálculo del rango de una matriz de 4 x 4

Solución: Vamos a determinar la forma escalonada por renglones

Ejemplo 9 Cuatro matrices escalonadas determinar su rango.

(hay 3 renglones con elementos no nulos)

(hay 2 renglones con elementos no nulos)

(hay 2 renglones con elementos no nulos)

BibliografÍa

1. http://algebralinealssm.blogspot.com/p/24-transformaciones-elementales-por.html

2.https://www.dailymotion.com/video/x1rzmwp

3.Stanley L. Grossman, J. I. (2015). Matematicas 4, Álgebra Lineal segunda edición. Cd. Mexico: Mc. Graw Hill Education.

4. .Larson Ron, J. I. (2019). Matemáticas IV, Álgebra Lineal primera edición. Cd. México: CENGAGE

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