MATEMÁTICAS Razones y proporciones
Razones
En matemáticas una razón es la comparación de dos cantidades, por medio de división o cociente. (Cabrera, 2013). La razón entre a y b, cuando b es un número distinto de cero, se escribe: a/b o a:b y se lee "a es a b" Por ejemplo, la razón entre 6 y 5 se escribe: 6/5 o 6:5 y se lee "seis es a cinco"
Ejemplo:
Si en un grupo de personas hay 18 hombres y 27 mujeres, diremos que la razón entre el número de hombres y el de mujeres es de “2 a 3”, es decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mujeres”. En este caso, la razón entre el número de mujeres y el de hombres es la inversa, de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por cada 2 hombres”. (Zabala, 2006)
Hay que saber distinguir entre los conceptos de razón y de fracción. Este último alude a la relación (también multiplicativa) entre la parte y el todo respectivo. En el ejemplo anterior, 2/5 representa la fracción (ya simplificada) correspondiente al número de hombres (18) con respecto al total de personas presentes (18 + 27 = 45). En el concepto de razón no está presente esta relación de carácter parte-todo.
En el caso de las fracciones resulta imprescindible hablar de la representación de las razones. Por ejemplo, la razón “3 a 4” se representa 3:4 o 3/4. Pero también puede representarse en forma de porcentaje; por ejemplo, en el caso anterior se puede decir que la razón corresponde a un 75% de un total. (Zabala, 2006).
Y en otros sistemas (gráfico) la razón se puede escribir como: La figura 1 representa la primera cantidad (3) y la figura 2 representa la segunda cantidad (4), de la razón ¾.
Figura 1
Figura 2
Ejemplo de razones:
Si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas: 24/18 o 24:18 Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos: 4/3 o 4:3 Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3. El valor que está del lado izquierdo de la relación, se le llama antecedente, y al valor del lado derecho se le llama consecuente. En este caso, la relación de niñas respecto a los niños es una relación de 4 a 3, o de 4 niñas por cada 3 niños (Zabala, 2006).
Ejemplo de razones:
El radio de la Luna es 3/11 del radio de la Tierra, y el radio del Sol es igual a 108 radios terrestres. Hallar la razón entre los radios de la Luna y del Sol. Solución:
Ejemplo de razones:
Una cinta de 90cm se divide en dos trozos en la razón 2:3. ¿Cuánto mide cada trozo? Solución:
Proporciones
Una proporción es la igualdad entre dos o más razones. Se escribe:
b, d ≠ 0 y para que pueda existir la razón a, c ≠ 0 Se lee: "a es a b como c es a d" k: Constante de proporcionalidad a, d: Se denominan extremos de la proporción. b, c: Se denominan medios de la proporción. Se denomina Constante de proporcionalidad (k) al resultado de la división de las razones, el cual es el mismo para cada una de ellas en una proporción.
Ejemplo de proporciones:
Un ejemplo de proporción es 2/3 = 4/6, cuya lectura es “2 es a 3 como 4 es a 6”. Nomenclatura relativa a las proporciones. El uso de la notación a: b : : c : d nos ayuda a identificar a los números a y d como los extremos de la proporción y a los números b y c como los medios de la proporción. Por ejemplo, en 2/3 = 4/6, 2 y 6 son los extremos de la proporción, y 3 y 4, los medios (Zabala, 2006).
Proporciones directas
Las proporciones pueden expresar relaciones en que el aumento de la cantidad del antecedente aumenta la cantidad del consecuente. A esta variación se le llama proporción directa. Una proporción cuyos extremos y medios son diferentes se denomina discreta; y continua, si los medios (o los extremos) son iguales entre sí; su forma sería: a/b = b/c o a/b = c/a. Por ejemplo, 2/6 = 6/18.
En una proporción discreta, cualquier término se denomina cuarta proporcional de los otros tres. Así, en el ejemplo 2/3 = 4/6 décimos que 3 es cuarta proporcional de 2, 4 y 6, o que 4 lo es de 2, 3 y 6. En una proporción continua, el término repetido se denomina media proporcional de los otros dos, y estos dos últimos, tercia proporcional del otro término. Así, en el ejemplo 2/6 = 6/18, 6 es media proporcional de 2 y 18, y 2 y 18 son tercias proporcionales de 6 (Zabala, 2006).
Propiedades de las proporciones
1. En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos:
De aquí se desprende que un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el otro extremo, y que un medio es igual al producto de los extremos dividido entre el otro medio:
2. De toda proporción a/b = c/d, o de su expresión equivalente a x d = b x c, pueden derivarse otras tres proporciones diferentes:
Ejemplo:
Obsérvese que, aun cuando se manejan los mismos números como medios o extremos, cada una de las cuatro proporciones anteriores responde a una razón diferente: 3⁄4, 1/3, 4/3 y 3, respectivamente. (Zabala, 2006)
Proporciones inversas
En una proporción inversa, el aumento de la cantidad en el antecedente, significa la disminución de la cantidad en el consecuente. Por ejemplo: En una mueblería, 6 trabajadores hacen 8 sillones en 4 días. Si queremos saber cuántos trabajadores se necesitan para construir los 8 sillones en 1, 2 y 3 días, usaremos una proporción inversa. Para determinarla, usaremos el número de trabajadores como cifra antecedente, y el número de días como cifra consecuente: 6:4=
Siguiendo el mismo orden, del otro lado de la igualdad, tendremos como antecedente nuevamente el número de trabajadores, y como consecuente los días que tardarán. Tendremos algo como lo siguiente: 6:4 = ?:3 6:4 = ?:2 6:4 = ?:1 Para determinar la proporción inversa, multiplicaremos los factores de la razón conocida, en nuestro ejemplo, 6 y 4, y el resultado lo dividiremos entre el dato conocido de la segunda razón. Así, en el ejemplo, tendremos: 6 X 4 = 24 24 / 3 = 8 24 / 2 = 12 24 / 1 = 24
Así tendremos las proporciones siguientes: 6:4 = 8:3 6:4 = 12:2 6:4 = 24:1 Con lo que podemos calcular que, para producir los 8 sillones: En tres días, se necesitan 8 trabajadores. En dos días, se necesitan 12 trabajadores. En un día, se necesitan 24 trabajadores.
Ejemplo de proporción directa:
1. En una tienda se venden dulces nacionales e importados, a razón de 3:2. Si sabemos que al día se venden 255 dulces nacionales, ¿Cuántos dulces importados se venden al día? 3:2=255:? 2 X 255 = 510 510 / 3 = 170 dulces importados. 3:2 = 255:170 (tres es a dos como 255 es a 170).
Ejemplo de proporción directa:
2. En una fiesta se invitaron a niños y niñas. Si sabemos que acudieron en una proporción de 6 niñas por cada 4 niños, y en la fiesta hay 32 niños. ¿Cuántas niñas fueron? 6:4 = ?:32 32 X 6 = 192 192 / 4 = 48 niñas fueron a la fiesta. 6:4 = 48:32 (6 es a 4 como 48 es a 32)
Ejemplo de proporción inversa:
Dos grúas mueven 50 contenedores en hora y media. ¿Cuántas grúas se necesitan para mover los 50 contenedores en media hora? 2:1.5 =?:0.5 2 X 1.5 = 3 3 / 0.5 = 6 grúas son necesarias. 2:1.5 = 6:0.5 (dos grúas es a una hora y media, como seis grúas son a media hora)
Bibliografía:
Cabrera, M. (2013). RAZONES Y PROPORCIONES. Santiago de Chile: Ministerio de Educación. Zabala, M. (2006). RAZONES Y PROPORCIONES. Venezuela: Federación Internacional Fe y Alegría.
¡GRACIAS!
MATEMÁTICAS Razones y proporciones
Diana Hernandez
Created on January 19, 2023
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Vaporwave presentation
View
Animated Sketch Presentation
View
Memories Presentation
View
Pechakucha Presentation
View
Decades Presentation
View
Color and Shapes Presentation
View
Historical Presentation
Explore all templates
Transcript
MATEMÁTICAS Razones y proporciones
Razones
En matemáticas una razón es la comparación de dos cantidades, por medio de división o cociente. (Cabrera, 2013). La razón entre a y b, cuando b es un número distinto de cero, se escribe: a/b o a:b y se lee "a es a b" Por ejemplo, la razón entre 6 y 5 se escribe: 6/5 o 6:5 y se lee "seis es a cinco"
Ejemplo:
Si en un grupo de personas hay 18 hombres y 27 mujeres, diremos que la razón entre el número de hombres y el de mujeres es de “2 a 3”, es decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mujeres”. En este caso, la razón entre el número de mujeres y el de hombres es la inversa, de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por cada 2 hombres”. (Zabala, 2006)
Hay que saber distinguir entre los conceptos de razón y de fracción. Este último alude a la relación (también multiplicativa) entre la parte y el todo respectivo. En el ejemplo anterior, 2/5 representa la fracción (ya simplificada) correspondiente al número de hombres (18) con respecto al total de personas presentes (18 + 27 = 45). En el concepto de razón no está presente esta relación de carácter parte-todo.
En el caso de las fracciones resulta imprescindible hablar de la representación de las razones. Por ejemplo, la razón “3 a 4” se representa 3:4 o 3/4. Pero también puede representarse en forma de porcentaje; por ejemplo, en el caso anterior se puede decir que la razón corresponde a un 75% de un total. (Zabala, 2006).
Y en otros sistemas (gráfico) la razón se puede escribir como: La figura 1 representa la primera cantidad (3) y la figura 2 representa la segunda cantidad (4), de la razón ¾.
Figura 1
Figura 2
Ejemplo de razones:
Si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas: 24/18 o 24:18 Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos: 4/3 o 4:3 Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3. El valor que está del lado izquierdo de la relación, se le llama antecedente, y al valor del lado derecho se le llama consecuente. En este caso, la relación de niñas respecto a los niños es una relación de 4 a 3, o de 4 niñas por cada 3 niños (Zabala, 2006).
Ejemplo de razones:
El radio de la Luna es 3/11 del radio de la Tierra, y el radio del Sol es igual a 108 radios terrestres. Hallar la razón entre los radios de la Luna y del Sol. Solución:
Ejemplo de razones:
Una cinta de 90cm se divide en dos trozos en la razón 2:3. ¿Cuánto mide cada trozo? Solución:
Proporciones
Una proporción es la igualdad entre dos o más razones. Se escribe:
b, d ≠ 0 y para que pueda existir la razón a, c ≠ 0 Se lee: "a es a b como c es a d" k: Constante de proporcionalidad a, d: Se denominan extremos de la proporción. b, c: Se denominan medios de la proporción. Se denomina Constante de proporcionalidad (k) al resultado de la división de las razones, el cual es el mismo para cada una de ellas en una proporción.
Ejemplo de proporciones:
Un ejemplo de proporción es 2/3 = 4/6, cuya lectura es “2 es a 3 como 4 es a 6”. Nomenclatura relativa a las proporciones. El uso de la notación a: b : : c : d nos ayuda a identificar a los números a y d como los extremos de la proporción y a los números b y c como los medios de la proporción. Por ejemplo, en 2/3 = 4/6, 2 y 6 son los extremos de la proporción, y 3 y 4, los medios (Zabala, 2006).
Proporciones directas
Las proporciones pueden expresar relaciones en que el aumento de la cantidad del antecedente aumenta la cantidad del consecuente. A esta variación se le llama proporción directa. Una proporción cuyos extremos y medios son diferentes se denomina discreta; y continua, si los medios (o los extremos) son iguales entre sí; su forma sería: a/b = b/c o a/b = c/a. Por ejemplo, 2/6 = 6/18.
En una proporción discreta, cualquier término se denomina cuarta proporcional de los otros tres. Así, en el ejemplo 2/3 = 4/6 décimos que 3 es cuarta proporcional de 2, 4 y 6, o que 4 lo es de 2, 3 y 6. En una proporción continua, el término repetido se denomina media proporcional de los otros dos, y estos dos últimos, tercia proporcional del otro término. Así, en el ejemplo 2/6 = 6/18, 6 es media proporcional de 2 y 18, y 2 y 18 son tercias proporcionales de 6 (Zabala, 2006).
Propiedades de las proporciones
1. En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos:
De aquí se desprende que un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el otro extremo, y que un medio es igual al producto de los extremos dividido entre el otro medio:
2. De toda proporción a/b = c/d, o de su expresión equivalente a x d = b x c, pueden derivarse otras tres proporciones diferentes:
Ejemplo:
Obsérvese que, aun cuando se manejan los mismos números como medios o extremos, cada una de las cuatro proporciones anteriores responde a una razón diferente: 3⁄4, 1/3, 4/3 y 3, respectivamente. (Zabala, 2006)
Proporciones inversas
En una proporción inversa, el aumento de la cantidad en el antecedente, significa la disminución de la cantidad en el consecuente. Por ejemplo: En una mueblería, 6 trabajadores hacen 8 sillones en 4 días. Si queremos saber cuántos trabajadores se necesitan para construir los 8 sillones en 1, 2 y 3 días, usaremos una proporción inversa. Para determinarla, usaremos el número de trabajadores como cifra antecedente, y el número de días como cifra consecuente: 6:4=
Siguiendo el mismo orden, del otro lado de la igualdad, tendremos como antecedente nuevamente el número de trabajadores, y como consecuente los días que tardarán. Tendremos algo como lo siguiente: 6:4 = ?:3 6:4 = ?:2 6:4 = ?:1 Para determinar la proporción inversa, multiplicaremos los factores de la razón conocida, en nuestro ejemplo, 6 y 4, y el resultado lo dividiremos entre el dato conocido de la segunda razón. Así, en el ejemplo, tendremos: 6 X 4 = 24 24 / 3 = 8 24 / 2 = 12 24 / 1 = 24
Así tendremos las proporciones siguientes: 6:4 = 8:3 6:4 = 12:2 6:4 = 24:1 Con lo que podemos calcular que, para producir los 8 sillones: En tres días, se necesitan 8 trabajadores. En dos días, se necesitan 12 trabajadores. En un día, se necesitan 24 trabajadores.
Ejemplo de proporción directa:
1. En una tienda se venden dulces nacionales e importados, a razón de 3:2. Si sabemos que al día se venden 255 dulces nacionales, ¿Cuántos dulces importados se venden al día? 3:2=255:? 2 X 255 = 510 510 / 3 = 170 dulces importados. 3:2 = 255:170 (tres es a dos como 255 es a 170).
Ejemplo de proporción directa:
2. En una fiesta se invitaron a niños y niñas. Si sabemos que acudieron en una proporción de 6 niñas por cada 4 niños, y en la fiesta hay 32 niños. ¿Cuántas niñas fueron? 6:4 = ?:32 32 X 6 = 192 192 / 4 = 48 niñas fueron a la fiesta. 6:4 = 48:32 (6 es a 4 como 48 es a 32)
Ejemplo de proporción inversa:
Dos grúas mueven 50 contenedores en hora y media. ¿Cuántas grúas se necesitan para mover los 50 contenedores en media hora? 2:1.5 =?:0.5 2 X 1.5 = 3 3 / 0.5 = 6 grúas son necesarias. 2:1.5 = 6:0.5 (dos grúas es a una hora y media, como seis grúas son a media hora)
Bibliografía:
Cabrera, M. (2013). RAZONES Y PROPORCIONES. Santiago de Chile: Ministerio de Educación. Zabala, M. (2006). RAZONES Y PROPORCIONES. Venezuela: Federación Internacional Fe y Alegría.
¡GRACIAS!