Tema 9_GJS

PREPARACIÓN OPOSICIONESMATEMÁTICAS SECUNDARIA 2025

MÓDULO 1: TEMAS

Tema 9

Números complejos. Aplicaciones geométricas

Esquema

Índice

1. Introducción
1. Importancia
2. Historia
3. Justificación científica
4. Justificación legislativa
5. Orientaciones didácticas
2. El cuerpo de los números complejos
3. El espacio vectorial de los complejos. Equivalencia C con R2

4. Forma binómica de los complejos. Conjugado de los complejos 5. Representación geométrica de C. Módulo y argumento. Forma trigonométrica, polar y exponencial 6. Operaciones con complejos en forma trigonométrica, polar y exponencial 7. Aplicaciones geométricas del número complejo 8. Conclusión 9. Bibliografía y webgrafía

Introducción: importancia

• La evolución de los números, desde los números Naturales hasta los Reales, guarda relación con la necesidad de resolver o explicar comportamientos que el conjunto anterior de números no era capaz.
• En el sistema numérico real quedan sin resolver muchos problemas:
• Extracción de raíces de índice par de números negativos
• Potencias de exponente irracional de números negativos
• Los números negativos carecen de logaritmo

Historia

• S. XVI Cardano: Dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el rectángulo cuyo lados tienen la longitud de esos trozos tenga área 40. x·(10-x)=40. Luego x1 = 5+√-15 y x2 = 5-√-15.
• S. XVII Descartes: Define como imaginarias las expresiones que contienen raíces cuadradas de números negativos.

• S. XVIII Euler: Definió i=√-1 y unas reglas de suma y multiplicación. Encuentra la expresión: eiθ=cosθ+isenθ y la demuestra a partir del desarrollo de Taylor de la exponencial y las de las funciones trigonométricas.
• S. XIX Gauss: Par ordenado y representación en el plano complejo.

Justificación legislativa

• Currículo D.30/2023. Dentro de los Saberes Básicos, el Sentido Numérico se centra en las destrezas y modos de pensar para la comprensión, la representación y el uso flexible de números con sus operaciones.

• Dentro del temario establecido por el Anexo III de la Orden de 9 de septiembre de 1993, este tema está estrechamente relacionado con: Temas 5, 6, y 10 de Aritmética y Tema 23. Funciones circulares e hiperbólicas y sus recíprocas de Análisis.

Justificación científica

• Transformaciones geométricas: isometrías y homotecias.
• Soluciones de ecuaciones polinómicas: Todas las ecuaciones polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en el cuerpo de los números complejos.
• Muchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de propiedades de convergencia de una sucesión de números complejos.
• Señales, óptica y electrónica: En el análisis de Fourier se pueden sustituir las funciones seno y coseno por expresiones exponenciales complejas equivalentes.

Justificación científica

• Relatividad general: Algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.
• Mecánica cuántica: A cualquier partícula puede asignársele una función de ondas que se representa en el plano complejo.
• Electrotécnica y máquinas eléctricas: El factor de potencia tiene en cuenta la relación que hay entre la potencia activa y la aparente, como resultado de los desfases introducidos por las cargas inductivas y capacitivas.

Orientaciones didácticas

• Problema de Olimpiada Matemática. Fase local. Andalucía. En el plano complejo, Q = 2 + i es el centro de un cuadrado y A = 5 + 5i uno de sus vértices. Halla los otros vértices del cuadrado.
• Si giramos el vector QA un ángulo de 90 grados, obtenemos el vector QB, siendo B el siguiente vértice del cuadrado. Repitiendo este proceso sobre el vector QB obtenemos el vector QC y aplicando a este el giro de 90 grados nos lleva al vector QD.
• Hay que recordar que multiplicar por i es equivalente a realizar un giro de 90º.

• Resolución de ecuaciones polinómicas de 2º grado.

El cuerpo de los números complejos. Definición de los complejos. Igualdad de complejos

• Definimos el conjunto de los números complejos, ℂ, como el formado por los pares ordenados de números reales: z=(a,b) con a,b∈ℝ. ℂ=ℝxℝ.
• Se denomina parte real del complejo al primer real, a, y parte imaginaria al segundo, b.
• Dos complejos z1 y z2 son iguales si son iguales sus partes reales e imaginarias.

Suma en ℂ. Grupo aditivo (ℂ,+)

• La suma en ℂ es un aplicación interna que nos relaciona dos complejos z1 y z2 con otro complejo, z1+z2, donde la parte real e imaginaria de éste se obtiene sumando las correpondientes de cada uno de los sumandos. Sea z1=(a1,b1) y z2=(a2,b2) => z1+z2=(a1+a2,b1+b2).
• A continuación se enumeran las propiedades de la suma de complejo que se demuestran de forma directa al estar construidos a partir de números reales.
• Suma bien definida pues:
• Es única, la suma en ℂ se define a partir de la suma de números reales.

Suma en ℂ. Grupo aditivo (ℂ,+)

• Es cerrada en ℂ: como la suma de dos reales es real (suma bien definida en ℝ) entonces a1+a2, b1+b2 ∈ ℝ y por tanto z1+z2 ∈ ℂ.
• Asociativa: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),
• (z1+z2)+z3=((a1+a2)+a3,(b1+b2)+b3)=(a1+(a2+a3),b1+(b2+b3)) = z1+(z2+z3).
• Elemento neutro: 0=(0,0) , z1+(0,0)=z1,

• z1+0=(a1,b1)+(0,0)=(a1+0, b1+0)=(a1,b1)=z1.
• Elemento simétrico: Para cada zi≠0, ∃ un complejo z, único, tal que z + zi = zi + z = 0, y z recibe nombre de recíproco (u opuesto) de zi con respecto a la adición y se denota por z = –zi = (–a,–b).

Suma en ℂ. Grupo aditivo (ℂ,+)

• zi+(-zi)=(a,b)+(-a,-b)=(a+(-a),b+(-b))=(0,0).
• Conmutativa: z1+z2=z2+z1,
• z1+z2=(a1+a2,b1+b2)=(a2+a1, b2+b1)=z2+z1.
• Cancelativa: z1+z3=z2+z3 → z1=z2,
• z1+z3=(a1+a3,b1+b3)=z2+z3=(a2+a3,b2+b3) → a1+a3=a2+a3 b1+b3=b2+b3 → a1=a2, b1=b2 (propiedad cancelativa en ℝ) →z1=z2.
• El conjunto ℂ con la operación interna suma definida (ℂ,+) tiene estructura de grupo abeliano. Recibe el nombre de grupo aditivo de los números complejos.
• Proposición: El grupo abeliano (ℂ,+) contiene a (ℝ,+), (ℝ,+)⊂( ℂ,+).

Producto en ℂ. Grupo multiplicativo (ℂ,∙)

• El producto en ℂ es una aplicación interna que nos relaciona dos complejos z1 y z2 con otro complejo, z1∙z2 donde la parte real e imaginaria de éste se obtiene como se indica a continuación: Sea z1= (a1,b1) y z2=(a2,b2) => z1∙z2=(a1∙a2-b1∙b2, a1∙b2+a2∙b1).
• A continuación presentamos las propiedades del producto de complejos que se demuestran de forma directa al estar construidos a partir de números reales.
• Producto bien definido:
• Es única: su unicidad se demuestra al estar definido el producto en ℂ a partir de la suma y producto de números reales y estar ambos en ℝ bien definidos.

Producto en ℂ. Grupo multiplicativo (ℂ,∙)

• Es cerrada en ℂ: como el producto y la suma de reales es real, entonces a1·a2 - b1·b2∈ ℝ y a1·b2+b1·a2∈ ℝ y por tanto z1·z2∈ ℂ.
• Asociativa: (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3).
• (z1·z2)·z3 = (a1·a2 - b1·b2 , a1·b2 + b1·a2)·(a3,b3) = ((a1·a2-b1·b2)·a3 - (a1·b2 + b1·a2)·b3 , (a1·a2 - b1·b2)·b3 + (a1·b2+b1·a2)·a3) = (a1·(a2·a3-b2·b3) - b1·(a2·b3+b2·a3) , a1·(a2·b3+b2·a3) + b1·(a2·a3 - b2·b3)) = z1·(z2·z3).
• Elemento neutro: 1=(1,0) , z1·1=z1.
• z1·1=(a1,b1)·(1,0)=(a1·1-b1·0, a1·0+b1·1)=(a1,b1)=z1.

Producto en ℂ. Grupo multiplicativo (ℂ,∙)

• Elemento simétrico: Para cada zi≠0, ∃ un número complejo único z tal que zi·z = z·zi = 1 y z recibe el nombre de recíproco (o inverso) de zi con respecto al producto y se denota por zi–1 , siendo (zi)-1 = (a/(a2+b2),–b/(a2+b2)).

• zi·(zi)-1=(a,b)· (a/(a2+b2), –b/(a2+b2)) = (a2/(a2+b2) + b2/(a2+b2), a·b/(a2+b2)–a·b/(a2+b2)) = (1,0).

• Conmutativa: z1·z2=z2·z1.
• z1·z2 = (a1·a2 – b1·b2, a1·b2+b1·a2) = (a2·a1– b2·b1, a2·b1+a1·b2) = z2·z1.

El cuerpo de los complejos (ℂ,+,∙)

• El conjunto ℂ con la operación producto, (ℂ,·) tiene estructura de grupo abeliano. (ℂ*,·) recibe el nombre de grupo multiplicativo abeliano de los números complejos.
• Además se verifica la propiedad distributiva respecto a la adición: (z1+z2)∙z3=z1∙z3+z2∙z3 con z1,z2,z3∈ℂ.
• Por lo tanto, los complejos con las operaciones de la suma y del producto son un cuerpo conmutativo pues:
• (ℂ ,+) grupo abeliano.
• (ℂ*, ·) grupo abeliano.
• Hay propiedad distributiva.

Los reales (ℝ,+,∙) son un subcuerpo de los complejos (ℂ,+,∙)

• El subconjunto ℂ0 de ℂ formado por los complejos z de la forma (a,0) es isomorfo con el conjunto ℝ de los números reales, según la aplicación:

φ: ℝ → ℂ0 a → (a,0)

• Utilizando las definiciones de suma y producto se comprueba que es una biyección. Además, sean φ(a) = (a,0) y φ(b) = (b,0) se conservan las operaciones (es homomorfismo):
• φ(a) +φ(b) = (a,0) + (b,0) = (a + b,0) = φ(a + b).
• φ(a) · φ(b) = (a,0) · (b,0) = (ab,0) = φ(a · b).
• Por lo tanto, ℝ ⊂ ℂ, y los complejos se consideran una ampliación.

El espacio vectorial de los complejos. Equivalencia ℂ con ℝ2

• Para demostrar que los complejos son ℝ-espacios vectoriales de dimensión dos, basta con probar:

• (ℂ, +) es un grupo abeliano, (ya realizado).
• Existe una operación externa llamada producto por escalar y definida de la siguiente forma: ℝxℂ→ℂ; λ,z=(a,b)→λ∙z=(λ∙a,λ∙b).
• Se cumplen las siguientes propiedades:
• Distributiva con la suma de complejos: λ∙(z1+z2)=λ∙z1+λ∙z2.
• Distributiva con la suma de reales: (λ1+λ2)∙z=λ1∙z+λ2∙z.
• Pseudoasociativa: λ1∙(λ2∙z)=(λ1∙λ2)∙z.
• Elemento unidad: 1∙z=z.

El espacio vectorial de los complejos. Equivalencia ℂ con ℝ2

• Demostraciones: son triviales desarrollando el producto por un escalar y aplicando propiedades de la suma y el producto de los números reales.
• Tiene dimensión 2 ya que {(1,0),(0,1)} es base pues:
• genera: (a,b) = a∙(1,0)+b∙(0,1)
• son linealmente independientes: λ1∙(1,0)+λ2∙(0,1)=(0,0) => λ1=λ2=0.
• Proposición: los números complejos y los vectores de ℝ2 son isomorfos (ℂ ≡ ℝ2).

Forma binómica de los complejos

• La forma binómica de los números complejos parte de la idea de que los complejos son un ℝ-espacios vectoriales de dimensión 2.
• Como hemos visto la base canónica de ℂ esta formada por el complejo unidad 1=(1,0) y el complejo, que llamaremos unidad imaginaria, i=(0,1). De esta manera un complejo z=(a,b) puede expresarse como z=a·(1,0)+b(0,1)=a+bi. Esta representación se llama binómica.
• En un complejo z=a+bi, llamamos la parte real de z a la primera coordenada, Re(z)=a y parte imaginaria de z a la segunda coordenada, Im(z)=b.

Forma binómica de los complejos

Propiedades del número complejo i=(0,1):

• P1: los complejos i y –i son soluciones de la ecuación x2=-1. Demostración: sólo hay que calcular los cuadrados de ambos complejos, i2 = (0,1)·(0,1) = (0·0-1·1 , 1·0+0·1) = (-1,0) = -1 ,

(-i)2 =(0,-1)·(0,-1) = (0·0-(-1)2 , 0·(-1)+(-1)·0) = (-1,0) = -1.

• P2: Potencias:

1 si n=0 mod(4)i si n=1 mod(4) -1 si n=2 mod(4) -i si n=3 mod(4)

in=

• Demostración: Calculando las potencias vemos que i0=1, i1=i, i2=-1, i3=-i y cuando hacemos i4=1, por lo que volvemos a repetir los resultado de forma periódica cada 4 potencias.

Forma binómica de los complejos

• Podemos calcular la suma y el producto en forma binómica viendo la equivalencia entre esta forma y la cartesiana (la usada para definir los complejos).
• Suma: (a1+b1·i)+(a2+b2·i) = (a1+a2)+(b1+b2)·i
• Producto: (a1+b1·i)·(a2+b2·i) = (a1·a2+a1·b2·i+b1·a2·i+b1·b2·(i)2 = (a1·a2-b1·b2)+(a1·b2+b1·a2)·i.
• Dado un complejo z=a+b·i se llama conjugado de z y se escribe z* al complejo que resulta de cambiar el signo de la parte imaginaria. Así z* =a-b·i.
• Los números complejos conjugados tienen distintas propiedades, sencillas de demostrar, pero muy útiles.

Forma binómica de los complejos

• Re(z)=Re(z*) y la Im(z)= -Im(z*).
• Re(z)= (z+z*)/2 y la Im(z)= (z-z*)/2.
• (z*)* = z.
• z∙z* = a2+b2.
• z1* + z2* = (z1+z2)*, además z1*∙z2* = (z1∙z2)*
• z=z* <=> z∈ℝ

• El cociente en ℂ, en forma binómica, se define a partir del producto y del elemento simétrico como:

z1/z2 = z1∙z2-1 = 1/(a22+b22) ∙ (a1∙a2+b1∙b2,a2∙b1-a1∙b2).

• Podemos obtener esta expresión a partir de las propiedades del conjugado: z1/z2 = z1∙z2* / z2∙z2*.

Representación geométrica de ℂ

• Un complejo, como hemos visto, es equivalente a un vector. Esto nos permite identificar un complejo z=(a,b) con su representación en el plano. La representación de un complejo z en el plano se denomina afijo, siendo el punto que ocupa la posición con abcisas x=a y ordenadas y=b.

• Geométricamente sumar o restar dos complejos es equivalente a sumar o restar dos vectores.
• Podemos también describir el complejo z de forma biunívoca a partir del módulo del vector (a,b) y el ángulo que forma con el eje positivo OX (sentido antihorario).

Representación trigonométrica

• Módulo de un complejo, |z|, es la distancia del origen al afijo, es decir el módulo del vector (a,b). Se cumple que |z|=√(a2+b2)=√z∙z*.
• Argumento de un complejo, arg(z), es el ángulo que forma vector (a,b) con el eje positivo OX en sentido antihorario con rango [0o,360o)=[0,2π)rad. Se obtiene mediante la expresión: arg(z)=arctg(b/a).
• Así, todo complejo queda definido de forma biunívoca a partir de su módulo y argumento, pues lo podemos representar como: a = Re(z) = |z|·cos(arg(z)), b = Im(z) = |z|·sen(arg(z)). Dando lugar a su forma trigonométrica: a+bi=|z|∙ (cos (arg(z))+i∙ sen (arg(z))).

Representación polar y exponencial

• Se llama representación polar de un complejo, z, con módulo |z|=ρ y argumento arg(z)=θ a la forma describirlo con la notación z=ρθ.

• Dos complejos en forma polar z1 = ρθ1 y z2 = ρθ2 son iguales si ρ1=ρ2, y θ1=θ2 mod2π, es decir, sus módulos son iguales y sus argumentos difieren en 2kπ radianes con k ∈ ℤ.
• Usando el desarrollo en serie de potencias de ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n!+... podemos obtener eix = 1 + ix + (ix)2/2! + (ix)3/3! +...+ (ix)n/n!+ ... y separando la parte real e imaginaria llegamos a la expresión: eix= cosx+isenx conocida como la fórmula de Euler.

Representación polar y exponencial

• Teniendo en cuenta eix = cosx + isenx, podemos definir z=ρ∙eiθ desde la forma trigonométrica.

• Con esta notación, equivalente a la polar, las operaciones resultan más sencillas al aplicarse las propiedades de las potencias.
• Ejemplo: Al multiplicar un número complejo por su conjugado tenemos: z∙z*=ρ∙eiθ∙ρ∙e-iθ=ρ2.
• Sintetizando la relación entre las diferentes representaciones:

z = ρθ = ρ∙eiθ = ρ∙(cosθ+i∙senθ) = = ρ∙cosθ+i∙ρ∙senθ = a+bi=(a,b).

Operaciones con complejos en forma polar, trigonométrica y exponencial

• Suma y resta, se realiza la operación, por sencillez, en forma cartesiana o binómica. La forma polar genera expresiones complejas y no es práctico.
• El producto, en cambio, resulta más efectivo hacerlo en forma polar o exponecial: z·z’=ρθ·ρ’θ’=(ρ·ρ’)(θ+θ’)mod(2π). Ejemplo: 2(5π/6)∙3(4π/3)=6(13π/6)=6(π/6). He pasado el ángulo al rango de [0,2π).

• Para hallar el inverso de un número complejo en forma polar se calcula el inverso del módulo y el opuesto del argumento (pasándolo al ángulo equivalente en el rango entre [0,2π)): z-1=ρθ-1=(1/ρ)-θmod(2π). Vemos que ρθ∙ρθ-1=1 => ρθ∙(1/ρ)-θ = ρ∙(1/ρ) (θ-θ) = 1.

Operaciones con complejos en forma polar, trigonométrica y exponencial

• Para conjugar un complejo en forma polar, dejamos el módulo y hallamos el opuesto del argumento, es decir la diferencia con 360o: z*= ρθ* = ρ-θ mod(2π). Pues, siendo el módulo claramente el mismo z =(a,b) y z* = (a, -b), el arg(z*) = arctg(-b/a) = - arctg(b/a)= - arg(z).
• Si dividimos complejos en forma polar el módulo de la división es la división de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos (entre [0,2π)): z/z'= z∙z'-1 = ρθ∙ρθ'-1=(ρ/ρ')(θ-θ')mod(2π).
• Ejemplo: 6(5π/3):3(4π/3)=2(π/3).
• Para justificarlo basta ver la equivalencia entre la división y el producto por el inverso de un número complejo.

Operaciones con complejos en forma polar, trigonométrica y exponencial

• Atendiendo a la expresión que hemos visto para el cálculo del producto de dos números complejos, z1∙z2= (ρ·ρ’)(θ+θ’)mod(2π), si llevamos esto a la multiplicación de n complejos iguales obtenemos un producto de n módulos iguales, es decir, la potencia n-ésima del módulo, y la suma de n argumentos iguales que corresponde a n veces el argumento; luego podemos escribir que: zn= (ρθ)n=ρnn∙θ mod (2π). Ejemplo: (2(3π/4))4=16(π).
• La expresión que utilizamos para el cálculo de la potencia en forma trigonométrica es lo que se conoce como fórmula de Moivre: [ρ(cosθ + isenθ)]n = ρn(cos nθ + isen nθ).

Operaciones con complejos en forma polar, trigonométrica y exponencial

• Podemos definir la raíz n-ésima de un complejo z = ρθ como otro complejo z' = ρ'θ' tal que (z')n = z. Entonces, calculando la potencia n-ésima del complejo z' y basándonos en la igualdad de complejos en forma polar podremos escribir que: (ρθ) = (ρ'θ')n = (ρ'n, nθ'), por lo que ρ = ρ'n → ρ' = n√ρ, y θ = nθ'+2kπ → θ' = (θ+2kπ)/n. Con lo que podemos observar que el módulo queda perfectamente definido y es único, mientras que el argumento es múltiple, ya que k toma valores desde 0 hasta n-1. Esto nos lleva a afirmar que todo número complejo distinto de cero tiene n raíces n-ésimas distintas.

Operaciones con complejos en forma polar, trigonométrica y exponencial

Operaciones con complejos en forma polar, trigonométrica y exponencial

• Si representamos las n raíces n-ésimas de un número complejo y unimos los afijos de cada una de las raíces obtenemos un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio ρ'.
• Desde las ideas que hemos trabajado sobre potencia y raíces de números complejos podemos llegar a una formulación idónea para las potencias de base compleja y exponente racional. zp/q = q√ zp.
• En ℂ, todo número real negativo a tiene raíces de cualquier índice, pues basta escribirlo en forma polar como aπ.

Operaciones con complejos en forma polar, trigonométrica y exponencial

Aplicaciones geométricas del número complejo

• La biyección entre los complejos y los vectores en el plano hace que sean útiles en aplicaciones geométricas. En particular para representar aplicaciones conformes (mantienen los ángulos).

• Traslaciones, transformación del plano consistente en desplazar cada punto según un vector (vx,vy) (vx unidades en horizontal y vy en vertical).

Aplicaciones geométricas: traslaciones

• Sea z=(a,b) un punto cualquiera del plano y sea v = (vx,vy) un vector desplazamiento, la aplicación traslación sería:

φv: ℂ → ℂ; z=(a,b) → z+v=(a+vx,b+vy)

Ejemplo: considerando el triángulo formado por los complejos A = -4-2i, B = 2-5i y C = -1+i y sea v = 3+i, aplicando la traslación quedaría A' = -1-i, B' = 5-4i y C' = 2+2i.

Aplicaciones geométricas: homotecias

• Homotecias, transformación que a cada vector z con origen en el punto O lo transforma en el vector k∙z.
• Sean z=(a,b) un punto cualquiera del plano, O el centro y k la razón, la aplicación homotecia sería:

φk: ℂ → ℂ; z=(a,b)→k∙z=(k∙a,k∙b)

• Si k>0 los afijos z y z'= k∙z están alineados en la misma semirrecta que pasa por O.
• Si k<0 los afijos z y z'= k∙z están alineados pero en distinto lado de O.

Aplicaciones geométricas: homotecias

• Ejemplo: considerando el triángulo formado por los complejos A = 0-4i, B = 4-3i y C = 1-i si multiplicamos los tres vértices por k = -2 tenemos: A' = 0+8i, B = -8+6i y C = -2+2i.
• Esta homotecia, al ser k negativa, es equivalente a una homotecia de |k| y un giro de 180º.

Aplicaciones geométricas: giros

• Los giros son transformaciones que mantiene los puntos a la misma distancia del origen.
• Sean z=(a,b) un punto cualquiera del plano, O el centro y α un ángulo, la aplicación giro sería:

φα: ℂ → ℂ; z=ρ∙eiθ →φα(z)=z'=z∙eiα=ρ∙eiθ∙eiα=ρ∙ei(θ+α)

• Si α=π , entonces φα(z)=z'=-z y se obtiene así la simetría central como caso particular de un giro.

Aplicaciones geométricas: giros

• Ejemplo: considerando el triángulo formado por los complejos A = 0-4i, B = 4-3i y C = 1-i si multiplicamos los tres vértices por z = 160º tenemos: A' = 4330º, B = 523,1º y C = 1,415º.

• Si tomamos z = i, tendremos que arg(i) = 90º y así la transformación z' = iz representa un giro de 90º en torno al origen.

Aplicaciones geométricas: simetrías

• Podemos considerar dos tipos de simetría: simetría respecto a un punto o simetría respecto a una recta.
• Simetría respecto al origen de coordenadas: z'=-z, como hemos dicho un caso particular de un giro.
• Simetría respecto al eje OX: z'=z*.

Aplicaciones geométricas: proyecciones

• Calcular la parte real de un número complejo consiste simplemente en proyectar el punto que lo representa sobre el eje OX.
• z'=Re(z)=(z+z*)/2
• Calcular la parte imaginaria consiste en proyectar sobre el eje OY
• z'=Im(z)=(z-z*)/2

Conclusión

• Los números complejos resultan determinantes en las ingenierías y en las ciencias básicas. Por esta razón no deberían soslayarse, aunque su presencia sea tan reducida en el currículo.
• Parece muy conveniente insistir en la fórmula de Euler, motivo por el cual la presencia de los números complejos en electrónica y comunicaciones está tan extendida.
• Por otro lado, las aplicaciones geométricas proporcionan una buena fuente de problemas competenciales que el alumnado puede abordar con cálculos analíticos y representaciones gráficas.

Bibliografía y webgrafía

• "Análisis Matemático I", Fernández Viña J.A., Ed. Tecnos.
• "Calculus", Michael Spivak, Editorial Reverté.
• "Algebra y Geometría, Eugenio Hernández, Editorial UAM.
• Calculus, Volumen I, Tom M. Apostol, Editorial Reverté.
• Proyecto descartes
• GeoGebra
• Mathisfun
• Khan Academy

Tema escrito y grabado en YouTube

Apuntes

Demostración: (z1+z2)·z3 = (a1+a2,b1+b2)·(a3,b3) = ((a1+a2)·a3-(b1+b2)·b3, (a1+a2)·b3+(b1+b2)·a3) = = ((a1·a3-b1·b3)+(a2·a3-b2·b3), (a1·b3+b1·a3)+(a2·b3+b2·a3)) = = (a1·a3-b1·b3, a1·b3+b1·a3) + (a2·a3- b2·b3, a2·b3+b2·a3) = z1·z3+z2·z3.

Decimos que ℂ y ℝ2 son isomorfos como ℝ-espacios vectoriales si existe una aplicación biyectiva (una biyección) que: 1. Asocia cada número complejo z=a+bi con un único vector (a,b)∈ℝ2. 2. Preserva las operaciones:Suma de vectores/complejosMultiplicación por escalares realesDefinimos la aplicación: φ: ℂ→ℝ2, φ(a+bi)=(a,b). Esta aplicación toma cada número complejo y lo representa como un par ordenado de reales (su parte real e imaginaria) y debe ser biyectiva, preservar la suma y preservar el producto por escalares reales. Podríamos demostrar esos tres puntos pero es más sencillo apuntar que, tanto ℂ como ℝ2 son ℝ-espacios vectoriales de dimensión 2. Sabemos que todo ℝ-espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a ℝn, donde n es la dimensión. Cuando dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo (en este caso ℝ) tienen la misma dimensión finita, siempre existe un isomorfismo entre ellos. Esto se suele considerar una proposición básica o "trivial" en teoría de espacios vectoriales, porque la estructura de cualquier espacio vectorial finito está completamente determinada por su dimensión (siempre que el cuerpo base sea el mismo).Por lo tanto, ℂ≅ℝ2 como ℝ-espacios vectoriales.