Teorema de convolución

Teorema de Convolución

EQUIPO 8 García Torres Adair Urbano Mendoza Connor Vega Monterrubio Alberto

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Índice

La convolución

Propiedades de la convolución

Ejemplo

Teorema de convolución

Demostración

Transformada de una convolución

Aplicación a Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo 1

Ejemplo 2

1. La convolución

Sean 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) funciones continuas por partes en [0, ∞). La convolución de 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡), que se denota 𝑓 ∗ 𝑔, se define como

Propiedades de la Convolución

Es claro que la convolución es distinta de la multiplicación común. Sin embargo sí satisface algunas propiedades de la multiplicación

Ejemplo

Se aplica la identidad trigonométrica

Se obtiene

Teorema de convolución

Sean 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) funciones continuas por partes en [0, ∞) y de orden exponencial; sean F(𝑠)=𝐿{𝑓}(𝑠) y 𝐺(𝑠)=𝐿{𝑔}(𝑠). 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

De manera equivalente

Demostración

Usamos la definición de convolución para escribir

Para simplificar la evaluación de esta integral iterada, introducimos la función escalón unitario u(t - v) y escribimos

donde hemos usado el hecho de que u(t - y) = 0 si v > t. Al invertir el orden de integración se tiene

Recordando, la propiedad de traslación, la integral entre paréntesis en la ecuación es igual a e^(sv)F(s). Por tanto,

Esto demuestra el teorema

Obteniendo la transformada de una convolución

Aplicando el teorema de convolución a la expresión original, se tiene el producto de dos transformadas de Laplace:

Finalmente, resolviendo cada una de las transformadas independientemente, se obtiene el resultado:

Se puede obtener el mismo resultado sin aplicar el teorema, para demostrarlo, se presenta la siguiente solución:

Solución mediante la definición de convolución

Aplicación a las Ecuaciones Diferenciales

Comúnmente, cuando se trata de resolver EDs, se utiliza el teorema de convolución para transformadas inversas.

Ejemplo 1

Para resolver la ecuación diferencial, se necesita aplicar la transformada de Laplace en ambos lados. Una vez hecho, se observa la linealidad y que se presenta la transformada de una derivada.

Aplicando las formulas apropiadas, se obtiene la siguiente expresión:

Sustituyendo los valores iniciales y simplificando, se obtiene:

donde

Despejando a Y, la expresión queda de la siguiente manera:

Ejemplo 1 (Continuación)

Procedemos a aplicar la transformada inversa a toda la ecuación, quedando así:

Es en esta expresión donde se hará uso del teorema de convolación. Como se puede observar, el denominador puede expresarse como un producto, que es como se aplicará el teorema.

Se aprecia que los dos miembros del producto están asociados a la transformada de Laplace del seno, función que se empleará en la utilización del teorema.

Finalmente, solo se tendría que resolver la integral resultante, obteniendo como resultado final la expresión:

Ejemplo 2