Circunferencia y círculo

Circunferencia

Elementos y posiciones relativas

La circunferencia

• La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que son equidistantes a otro punto llamado centro. Es una línea curva y cerrada en la que todos sus puntos se encuentran a igual distancia de un punto dado O (el centro).
• Para dibujar una circunferencia, solo necesitas ubicar la punta del compás en O (el centro) y con una abertura determinada, girarlo sin variarla; dicha abertura será el radio de tu circunferencia.
• El círculo, por su parte, es el lugar geométrico determinado por una circunferencia y la parte del plano que esta delimita; aunque es común confundirlos, es importante distinguirlos.

Círculo

Circunferencia

Elementos

Identifica los elementos de la circunferencia:

• Centro: es el punto situado en el interior, que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los puntos de la circunferencia. Lo identificamos como vértice u origen, frecuentemente con la letra “o”.
• Radio: es el segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia. El radio permite nombrar a la circunferencia y lo identificamos con la letra r.
• Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
• Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el punto centro (es la cuerda mayor de una circunferencia). El diámetro equivale a la medida de dos radios.
• Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de esta, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
• Semicircunferencia: es el arco que abarca la mitad de la circunferencia. Está delimitada por el diámetro.

Elementos

• Centro
• Radio
• Cuerda
• Diámetro
• Arco de la circunferencia
• Semicircunferencia

Posiciones relativas

Respecto a puntos, rectas y otras circunferencias

Puntos

• Si con respecto al centro, el punto está a una distancia igual al radio, entonces el punto pertenece a la circunferencia; sí está a una distancia menor, es un punto interior. Cuando se encuentra a una distancia mayor que el radio, entonces se trata de punto exterior.

Punto exterior a la circunferencia

Punto interior de la circunferencia

Punto perteneciente a la circunferencia

Rectas

• Cuando una recta no tiene ningún punto en común con la circunferencia, se trata de una recta exterior.
• Si la recta y la circunferencia comparten un solo punto, tienen una relación de tangencia y es importante señalar que en ese caso la recta tangente es perpendicular al radio de la circunferencia.
• Si la circunferencia y la recta tienen dos puntos en común, entonces se dice que son secantes.

Recta tangente a la circunferencia

Recta secante a la circunferencia

Recta exterior a la circunferencia

Otras circunferencias

• Dos circunferencias son exteriores si todos sus puntos lo son también.
• Cuando todos los puntos de una circunferencia son interiores con respecto a otra, la primera es una circunferencia interior. Si comparten el centro, además son llamadas concéntricas,
• Las circunferencias cuyos centros no coinciden son excéntricas; las que tienen el mismo centro y radio son coincidentes.
• Cuando dos circunferencias solo tienen un punto en común, entonces son tangentes. Las circunferencias tangentes pueden ser interiores o exteriores.
• Si dos circunferencias tienen dos puntos en común y cada una divide a la otra en arcos, entonces son secantes.

Circunferencias exteriores

Circunferencias coincidentes

Circunferencia Tangente exterior

Circunferencia Tangente interior

Circunferencias secantes

Circunferencia interior excéntrica

Circunferencias concéntricas

Ángulos en las circunferencias

Ángulos en las circunferencias

• Interior: Su vértice se encuentra en el interior de la circunferencia.
• Exterior: Su vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia y sus lados son tangentes y/o secantes..

Ángulo exterior, dos secantes

Ángulo interior

Ángulo exterior, dos tangentes

Ángulo exterior, una secante y una tangente

Ángulos en las circunferencias

• Central: Su vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La amplitud del ángulo central es correspondiente a la del arco comprendido por este.
• Inscrito: Su ángulo está sobre la circunferencia y sus lados son secantes de esta. Su amplitud es la mitad del arco comprendido por este.
• Semi-inscrito: Su vértice está sobre la circunferencia, uno de sus lados es secante y el otro es tangente a la circunferencia.
• Exinscrito: Su vértice está sobre la circunferencia, un lado es secante y el otro es exterior a la circunferencia.

Ángulo central

Ángulo inscrito

α = Amplitud de ángulo α = Amplitud de arco

Ángulo semi inscrito

Ángulo ex inscrito

El círculo

El círculo

• El círculo es la región del plano contenida por la circunferencia, esta es su borde; está formado por la circunferencia y todos sus puntos interiores, por lo que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro llamado centro es menor o igual a una constante conocida como radio.
• Se llaman centro, radio y diámetro del círculo al centro, radio y diámetro de su circunferencia.

Círculo

Circunferencia

Regiones o figuras circulares

Los radios, cuerdas y circunferencias concéntricas o secantes, determinan diversas figuras circulares. En un círculo existen varias figuras de interés geométrico:

• Sector circular es la región del círculo delimitada por dos radios y el arco comprendido por estos; por tanto, queda determinado por un ángulo central.
• Segmento circular es la región del círculo delimitada por una cuerda y uno de los arcos que determina esta cuerda sobre su circunferencia.
• El semicírculo es el sector o segmento circular delimitado por un diámetro y su arco correspondiente o semicircunferencia.
• Zona circular es un sector circular de dos bases, o la región delimitada por dos cuerdas paralelas.
• Corona circular es la región determinada por dos circunferencias concéntricas, exterior a la del radio menor e interior a la del radio mayor.
• Trapecio circular es la región de una corona circular que es contenida por un ángulo central.
• Lúnula es la región del círculo delimitada por dos circunferencias secantes, interior a una y exterior a la otra.

Sector circular

Segmento circular

El semicírculo

Corona circular

Zona circular

Trapecio circular

Lúnula

Longitudes en la circunferencia

Constantes matemáticas

• Si dividimos la longitud de cualquier circunferencia entre su radio, siempre obtendremos el mismo resultado: 6.28, en tanto que, si dividimos la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro, siempre obtendremos el mismo resultado: 3.1416, lo cual nos indica una relación fundamental de esta cifra con la geometría del círculo.

Número π

• El número 3.1416 se designa con la letra griega π (pi) y suele redondearse, pues al igual que el número áureo, tiene infinitas cifras decimales.
• Conocer la relación de este número con la circunferencia nos puede ser de suma utilidad para generar algunas construcciones geométricas, como los patrones.

Número π y longitudes

Veamos algunas fórmulas de interés para cálculos de longitudes relacionadas con la circunferencia. Para ello, establezcamos antes lo siguiente:

π: 3.1416 C: Longitud de la circunferencia D: Longitud del diámetro R: Longitud del radio L: Longitud del arco α: Amplitud (ángulo) del arco

Fórmulas

π = C/D C= D x π C= 2π x R D= C / π

R= C / 2π π = (r’ / r) x 360 L= α x 2π x R / 360

Aplicación práctica

Por ejemplo, para trazar el patrón de una falda de capa entera, necesitamos dos círculos concéntricos y sus longitudes se calcularán en función del contorno de cintura (longitud de la circunferencia menor) y el largo de la falda (Radio de la circunferencia mayor menos el radio de la circunferencia menor) Por ejemplo, si quieres trazar el patrón con un contorno de cintura de 70 y largo de falda de 50, tendrías que calcular lo siguiente:

Radio de la circunferencia menor: R= C / 2π R= 70 / 6.28 R= 11.1 Radio de la circunferencia mayor: 50 + 11.1 = 61.1

Entonces, el patrón quedará de la siguiente manera: