LES MATHÉMATIQUES DE LA MUSIQUE
Commencer
Conception : Stéphanie Jolicoeur
1. Une histoire d'ondes...
2. Pythagore et les proportions
5. L'acoustique de la Maison symphonique
3. De la géométrie, vraiment?
4. La musique et le cerveau
Les propriétés d'une onde
La nature du son
La musique est l’art de jouer avec les sons! Sur le plan physique, les sons correspondent à des ondes qui, elles-mêmes, sont le résultat des vibrations : vibration d’une corde, vibration de l’air dans un tuyau, etc.
La vibration engendre un branlement de l’air (l’onde), qui se propage, comme quand on lance un caillou dans une rivière. Les molécules d’air sont « bousculées » et se déplacent, se heurtent puis, une fois que l’onde est passée, chaque particule retrouve sa position de repos, c’est-à-dire la position qu’elle occupait avant le passage de l’onde. Ces minuscules mouvements des particules qui s’entrechoquent engendrent des changements de pression dans l’air : ainsi naît le son.
Même si les sons forment des ondes complexes qui ne sont pas parfaitement sinusoïdales, quelques notions de physique de base permettent de décrire les sonorités musicales!
Amplitude
Fréquence
Timbre
La fréquence
La hauteur de la note (grave ou aiguë) est liée à la fréquence de l’onde sonore, c’est-à-dire au nombre de périodes (ou de crêtes) que parcourt l’onde en une seconde. Elle s’exprime en Hertz (Hz). Un son aigu a une grande fréquence : les crêtes de l’onde sont rapprochées.
Un jeune être humain peut entendre des sons allant de 20 Hz à 20 000 Hz! En-dessous et au-delà, les sons existent bien, mais ne sont pas perceptibles pour nous.
Savais-tu que...
La hauteur de la crête de l’onde s’appelle l’amplitude ; elle correspond au volume sonore que l’on exprime en décibels (Db). Plus la crête de l’onde est haute, plus l’amplitude de l’onde est grande, plus le volume est élevé.
L'amplitude
Le bruit se mesure sur une échelle allant de 0 à 130 décibels sur l'Échelle des décibels. 0 dB représente le seuil d’audibilité et 130 le seuil de douleur. La plupart des sons de la vie courante sont compris entre 30 et 90 dB.
Savais-tu que...
Si le son est une onde caractérisée par une amplitude et une fréquence, elle l’est aussi par sa forme : le timbre. En modifiant la forme de l'onde, on constate à l'oreille une amplitude et une fréquence identiques, mais un timbre différent.
Le timbre
Bien qu'étant un phénomène auditif, le timbre d'une voix ou d'un instrument en musique est souvent décrit en utilisant un vocabulaire tactile, gustatif ou visuel! Un son est donc « clair », « rond », « chaud », « aigre », ou même... « chocolaté »!
Savais-tu que...
Pythagore est un philosophe grec qui a vécu de 580 av. J-C à 495 av. J-C. Il était aussi mathématicien et fondateur de la confrérie pythagoricienne, qui a formulé des principes qui ont influencé la pensée de grands penseurs comme Platon et d'Aristote, et ont contribué au développement des mathématiques et de la philosophie rationnelle occidentale.
Un peu de théorie… Dès l’Antiquité, Pythagore a réussi à calculer mathématiquement les rapports sonores des intervalles musicaux les plus harmonieux. On mesure l’intervalle séparant deux notes en calculant le rapport de fréquences entre la note la plus aiguë et la note la plus grave.
Fréquence 2
Fréquence 1
440 Hz
660 Hz
La quinte, qui a un rapport mathématique de 3 / 2, est l’intervalle le plus consonant après l’octave. Exemple : c’est le rapport mathématique entre les fréquences de Do3 et Sol3, où Sol3 (396 Hz) = 3 / 2 de Do3 (264Hz).
396 Hz
Sol
QUINTE
Le rapport entre les deux notes d’une octave est de 2 / 1. Donc, la fréquence de la note plus aiguë est le double de celle plus grave.
132 Hz
264 Hz
Par exemple, l’octave est l’intervalle qui sépare deux notes du même nom (do grave et do aigu).
Do
Ré
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
OCTAVE
La Toccata et fugue en ré mineur du grand compositeur allemand Johann Sébastian Bach est certainement la pièce pour orgue la plus connue mondialement. Elle a été composée entre 1703 et 1707 et illustre de manière remarquable comment l’art de l’écriture musicale peut être expliqué par les mathématiques.
La fugue est une forme musicale où différentes parties reprennent un même motif.
Jean-Sébastien Bach est un musicien, organiste et compositeur allemand ayant vécu de 1685 à 1750. Il a écrit des centaines de pièces pour orgues, clavecin, orchestres, ainsi que des messes. Il reste un des plus grands compositeurs de la culture européenne.
Translation et symétrie
Le nombre d'or
Translation et symétrie
En géométrie, la translation et la symétrie sont des transformations géométriques qui permettent d'obtenir une figure image à partir d'une figure initiale suite à un glissement » de
x
unités horizontalement et
y
unités verticalement ou à un « renversement » vertical ou horizontal.
Le nombre d'or
Béla Bartók est un compositeur et pianiste hongrois, qui a vécu de 1881 à 1945. Pionnier de l’ethnomusicologie, il restera toute sa vie attaché à son pays natal, même après avoir immigré aux États-Unis.
La suite arithmétique de Fibonacci s’obtient en additionnant à un nombre son prédécesseur immédiat dans la série : 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, etc., ce qui donne 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 et ainsi de suite. Plus on avance dans la série, plus on s’approche de la règle d’or en divisant n’importe quel nombre par son successeur.
Bartók était fasciné par les mathématiques et par les formes que l’on peut retrouver dans la nature, comme les spirales des coquilles d’escargot ou les rangées d’une pomme de pin. Ces deux exemples sont des formes d’architecture naturelle illustrant l’une des plus anciennes règles numériques qu'on a appelée la règle d’or.
La musique stimule et encourage l’effort physique parce qu’elle « allume » littéralement toutes les zones de notre cerveau, et pas simplement l’aire auditive (région du cerveau responsable de l’interprétation des sons).
Une équipe de chercheurs québécois a récemment découvert que lorsqu’on écoute une musique qui nous plaît, notre cerveau libère de la dopamine. C’est une molécule associée notamment au plaisir qui nous donne un véritable « coup de fouet » hormonal.
Les émotions induites par la musique se traduisent par des réactions physiques comme les frissons dans le dos, la chair de poule, l’accélération du rythme cardiaque ou encore les clignements des yeux, qui sont un indicateur du degré d’anxiété de l’individu.
Il faut à peine 500 millisecondes à notre cerveau pour distinguer si une musique est gaie ou triste : cela suggère que le cerveau humain répond aussi vite à la musique qu’à un stimulus qui menace sa vie. Et la connaissance de la musique n’y est pour rien : quand on demande à un groupe de personnes (musiciens ou non) de regrouper des morceaux selon l’émotion qu’ils suscitent (tristesse, gaité, colère, nostalgie), ils font tous les mêmes regroupements.
L’auditorium est doté de panneaux de plafond mobiles permettant de modifier à volonté la géométrie du lieu. Ce mécanisme permet d’adapter l’acoustique en fonction du type d’événement présenté ou même des genres musicaux : l’ajustement des niveaux de réverbération permet, par exemple, de créer des ambiances intimistes ou grandioses.
70% des surfaces de la salle sont recouvertes de bois de hêtre, à cause de ses propriétés acoustiques précieuses. À certains endroits, le bois est poli et lisse, et à d'autre, il l'est moins; c'est pour moduler la propagation du son.
À l’intérieur de l’édifice, toutes les sources potentielles de bruit comme les systèmes de chauffage, les ascenseurs ou encore les toilettes ont été pensés pour empêcher la propagation du son.
La salle est enveloppée d’une coquille structurale qui l’isole de tous les bruits et vibrations provenant de l’extérieur. Les piliers de la salle sont déposés sur des coussins, et elle est tapissée de 175 coussinets qui renforcent l’isolation sonore.
Mets-toi en plein les yeux!
Ligne du temps
Aiguise-toi l'oreille...
Quiz
Maxime Goulet
Pythagore et Fibonacci
Nomme deux mathématiciens qui ont un lien avec la musique.
Quel est le compositeur québécois qui a composé une pièce inspirée de la devise des Jeux Olympiques?
Translation et symétrie
Quels sont les deux motifs géométriques que l'on entend souvent dans les fugues de Bach?
Aiguise-toi l'oreille...
Écoute ces extraits de Ainsi parlait Zarathoustra, composé par Richard Strauss en 1896. Entends-tu un changement de fréquence, d'amplitude ou de timbre?
Reconnais-tu ces dates?
580 av J-C
1202
1703-1707
1936
2008
Que les maths de la musique soient avec toi!
Mathématiques de la musique - FR
Orchestre Montréal
Created on December 19, 2022
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LES MATHÉMATIQUES DE LA MUSIQUE
Commencer
Conception : Stéphanie Jolicoeur
1. Une histoire d'ondes...
2. Pythagore et les proportions
5. L'acoustique de la Maison symphonique
3. De la géométrie, vraiment?
4. La musique et le cerveau
Les propriétés d'une onde
La nature du son
La musique est l’art de jouer avec les sons! Sur le plan physique, les sons correspondent à des ondes qui, elles-mêmes, sont le résultat des vibrations : vibration d’une corde, vibration de l’air dans un tuyau, etc.
La vibration engendre un branlement de l’air (l’onde), qui se propage, comme quand on lance un caillou dans une rivière. Les molécules d’air sont « bousculées » et se déplacent, se heurtent puis, une fois que l’onde est passée, chaque particule retrouve sa position de repos, c’est-à-dire la position qu’elle occupait avant le passage de l’onde. Ces minuscules mouvements des particules qui s’entrechoquent engendrent des changements de pression dans l’air : ainsi naît le son.
Même si les sons forment des ondes complexes qui ne sont pas parfaitement sinusoïdales, quelques notions de physique de base permettent de décrire les sonorités musicales!
Amplitude
Fréquence
Timbre
La fréquence
La hauteur de la note (grave ou aiguë) est liée à la fréquence de l’onde sonore, c’est-à-dire au nombre de périodes (ou de crêtes) que parcourt l’onde en une seconde. Elle s’exprime en Hertz (Hz). Un son aigu a une grande fréquence : les crêtes de l’onde sont rapprochées.
Un jeune être humain peut entendre des sons allant de 20 Hz à 20 000 Hz! En-dessous et au-delà, les sons existent bien, mais ne sont pas perceptibles pour nous.
Savais-tu que...
La hauteur de la crête de l’onde s’appelle l’amplitude ; elle correspond au volume sonore que l’on exprime en décibels (Db). Plus la crête de l’onde est haute, plus l’amplitude de l’onde est grande, plus le volume est élevé.
L'amplitude
Le bruit se mesure sur une échelle allant de 0 à 130 décibels sur l'Échelle des décibels. 0 dB représente le seuil d’audibilité et 130 le seuil de douleur. La plupart des sons de la vie courante sont compris entre 30 et 90 dB.
Savais-tu que...
Si le son est une onde caractérisée par une amplitude et une fréquence, elle l’est aussi par sa forme : le timbre. En modifiant la forme de l'onde, on constate à l'oreille une amplitude et une fréquence identiques, mais un timbre différent.
Le timbre
Bien qu'étant un phénomène auditif, le timbre d'une voix ou d'un instrument en musique est souvent décrit en utilisant un vocabulaire tactile, gustatif ou visuel! Un son est donc « clair », « rond », « chaud », « aigre », ou même... « chocolaté »!
Savais-tu que...
Pythagore est un philosophe grec qui a vécu de 580 av. J-C à 495 av. J-C. Il était aussi mathématicien et fondateur de la confrérie pythagoricienne, qui a formulé des principes qui ont influencé la pensée de grands penseurs comme Platon et d'Aristote, et ont contribué au développement des mathématiques et de la philosophie rationnelle occidentale.
Un peu de théorie… Dès l’Antiquité, Pythagore a réussi à calculer mathématiquement les rapports sonores des intervalles musicaux les plus harmonieux. On mesure l’intervalle séparant deux notes en calculant le rapport de fréquences entre la note la plus aiguë et la note la plus grave.
Fréquence 2
Fréquence 1
440 Hz
660 Hz
La quinte, qui a un rapport mathématique de 3 / 2, est l’intervalle le plus consonant après l’octave. Exemple : c’est le rapport mathématique entre les fréquences de Do3 et Sol3, où Sol3 (396 Hz) = 3 / 2 de Do3 (264Hz).
396 Hz
Sol
QUINTE
Le rapport entre les deux notes d’une octave est de 2 / 1. Donc, la fréquence de la note plus aiguë est le double de celle plus grave.
132 Hz
264 Hz
Par exemple, l’octave est l’intervalle qui sépare deux notes du même nom (do grave et do aigu).
Do
Ré
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
OCTAVE
La Toccata et fugue en ré mineur du grand compositeur allemand Johann Sébastian Bach est certainement la pièce pour orgue la plus connue mondialement. Elle a été composée entre 1703 et 1707 et illustre de manière remarquable comment l’art de l’écriture musicale peut être expliqué par les mathématiques. La fugue est une forme musicale où différentes parties reprennent un même motif.
Jean-Sébastien Bach est un musicien, organiste et compositeur allemand ayant vécu de 1685 à 1750. Il a écrit des centaines de pièces pour orgues, clavecin, orchestres, ainsi que des messes. Il reste un des plus grands compositeurs de la culture européenne.
Translation et symétrie
Le nombre d'or
Translation et symétrie
En géométrie, la translation et la symétrie sont des transformations géométriques qui permettent d'obtenir une figure image à partir d'une figure initiale suite à un glissement » de x unités horizontalement et y unités verticalement ou à un « renversement » vertical ou horizontal.
Le nombre d'or
Béla Bartók est un compositeur et pianiste hongrois, qui a vécu de 1881 à 1945. Pionnier de l’ethnomusicologie, il restera toute sa vie attaché à son pays natal, même après avoir immigré aux États-Unis.
La suite arithmétique de Fibonacci s’obtient en additionnant à un nombre son prédécesseur immédiat dans la série : 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, etc., ce qui donne 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 et ainsi de suite. Plus on avance dans la série, plus on s’approche de la règle d’or en divisant n’importe quel nombre par son successeur.
Bartók était fasciné par les mathématiques et par les formes que l’on peut retrouver dans la nature, comme les spirales des coquilles d’escargot ou les rangées d’une pomme de pin. Ces deux exemples sont des formes d’architecture naturelle illustrant l’une des plus anciennes règles numériques qu'on a appelée la règle d’or.
La musique stimule et encourage l’effort physique parce qu’elle « allume » littéralement toutes les zones de notre cerveau, et pas simplement l’aire auditive (région du cerveau responsable de l’interprétation des sons).
Une équipe de chercheurs québécois a récemment découvert que lorsqu’on écoute une musique qui nous plaît, notre cerveau libère de la dopamine. C’est une molécule associée notamment au plaisir qui nous donne un véritable « coup de fouet » hormonal.
Les émotions induites par la musique se traduisent par des réactions physiques comme les frissons dans le dos, la chair de poule, l’accélération du rythme cardiaque ou encore les clignements des yeux, qui sont un indicateur du degré d’anxiété de l’individu.
Il faut à peine 500 millisecondes à notre cerveau pour distinguer si une musique est gaie ou triste : cela suggère que le cerveau humain répond aussi vite à la musique qu’à un stimulus qui menace sa vie. Et la connaissance de la musique n’y est pour rien : quand on demande à un groupe de personnes (musiciens ou non) de regrouper des morceaux selon l’émotion qu’ils suscitent (tristesse, gaité, colère, nostalgie), ils font tous les mêmes regroupements.
L’auditorium est doté de panneaux de plafond mobiles permettant de modifier à volonté la géométrie du lieu. Ce mécanisme permet d’adapter l’acoustique en fonction du type d’événement présenté ou même des genres musicaux : l’ajustement des niveaux de réverbération permet, par exemple, de créer des ambiances intimistes ou grandioses.
70% des surfaces de la salle sont recouvertes de bois de hêtre, à cause de ses propriétés acoustiques précieuses. À certains endroits, le bois est poli et lisse, et à d'autre, il l'est moins; c'est pour moduler la propagation du son.
À l’intérieur de l’édifice, toutes les sources potentielles de bruit comme les systèmes de chauffage, les ascenseurs ou encore les toilettes ont été pensés pour empêcher la propagation du son.
La salle est enveloppée d’une coquille structurale qui l’isole de tous les bruits et vibrations provenant de l’extérieur. Les piliers de la salle sont déposés sur des coussins, et elle est tapissée de 175 coussinets qui renforcent l’isolation sonore.
Mets-toi en plein les yeux!
Ligne du temps
Aiguise-toi l'oreille...
Quiz
Maxime Goulet
Pythagore et Fibonacci
Nomme deux mathématiciens qui ont un lien avec la musique.
Quel est le compositeur québécois qui a composé une pièce inspirée de la devise des Jeux Olympiques?
Translation et symétrie
Quels sont les deux motifs géométriques que l'on entend souvent dans les fugues de Bach?
Aiguise-toi l'oreille...
Écoute ces extraits de Ainsi parlait Zarathoustra, composé par Richard Strauss en 1896. Entends-tu un changement de fréquence, d'amplitude ou de timbre?
Reconnais-tu ces dates?
580 av J-C
1202
1703-1707
1936
2008
Que les maths de la musique soient avec toi!