Límites de una función

Límite de una Función, Teorema de los límites y Continuidad de funciones.

El límite de una función en un punto es el valor al cual se aproxima la función cuando x se acerca a ese punto. El límite de la función f(x) en el punto x=a se representa utilizando la siguiente notación:

La expresión anterior significa que el límite de la función f(x) cuando x tiende a a es igual a b.

Conforme se aproxima al valor de x0 en el eje X, en el eje Y el valor de la función se va aproximando la valor L.

Cómo calcular el límite de una función

Para calcular el límite de una función en un punto simplemente tenemos que sustituir el valor de ese punto en la función. Por ejemplo, si queremos resolver el límite cuando x tiende a 3 de la siguiente función, debemos sustituir las x de la función por 3:

La principal aplicación de los límites de funciones es estudiar la continuidad de una función, o en otras palabras, calcular el límite de una función en un punto sirve para averiguar si dicha función es continua en ese punto o no.

Continiudad de Funciones

La continuidad de funciones es uno de los estudios principales de una función. Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel. Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

Teorema de los límites

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.

Teorema 4

Teorema 3

Teorema 2

Teorema 1

Para cualquier número dado a

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema 5

Teorema 8

Teorema 7

Teorema 6

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Para acabar de entender qué significa el límite de una función, vamos a hallar el siguiente límite:

Para ver a qué valor se aproxima la función cuando x tiende a 2, podemos ir calculando imágenes de la función de puntos cada vez más cerca de x=2:

Como puedes ver en las dos tablas anteriores, a medida que vamos tomando valores más próximos a x=2, la función se va acercando a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 2 es 1.

A continuación puedes ver la función representada gráficamente. Como puedes comprobar, la función se acerca a 1 cuando x se aproxima a 2.

Fíjate en la gráfica que la función se acerca al mismo valor independientemente de si nos acercamos por la izquierda o por la derecha. Más abajo profundizaremos más sobre este concepto de los límites.