la factorización por agrupación y división sintética

la factorización por agrupacióny división sintética

Dora Tamara Segura Martinez

La factorización por agrupación

La factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática en forma de producto. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Tiene como objetivo simplificar o rescribir una expresión en factores o en divisores que logran dividir las expresiones que al ser multiplicadas entre sí resulta la primera expresión. Existen diferentes tipos de factorización, las cuales permiten descomponer distintas expresiones algebraicas, entre las que destacan: factor común, por agrupamiento, diferencia de cuadrados y trinomios de la forma

Para factorizar por agrupación es necesario recordar la factorización por factor común, ésta consiste en:

• Se localizan y se escriben todos los factores comunes en su máxima expresión.
• Se escribe a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original luego de haberle quitado a cada término los factores comunes.
• En caso de que el factor común sea todo uno de los términos de la expresión original, en su lugar se pone 1.

Ejemplo: Factorizar Solución: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 2ab. Se escribe a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original luego de haberle quitado a cada término los factores comunes:

Saber cuándo probar el método de agrupación:Se nos avisa de la idea de agrupar cuando el polinomio que estamos considerando tiene alguna de estas cualidades: 1. ningún factor común a todos los términos 2. un número par de términos Al factorizar por agrupación, el signo (++o−−) del factor que estamos sacando generalmente (pero no siempre) será el mismo que el signo del primer término en ese grupo.

la división sintética

La división sintética es una forma sencilla de dividir un polinomio P(x) por uno de la forma d(x) = x – c. Es una herramienta de gran utilidad, ya que, además de permitirnos dividir polinomios, también permite evaluar un polinomio P(x) en cualquier número c, lo cual a su vez nos indica de manera precisa si dicho número es un cero o no del polinomio. Gracias al algoritmo de la división, sabemos que si tenemos dos polinomios P(x) y d(x) no constantes, existen polinomios q(x) y r(x) únicos tales que se cumple que P(x) = q(x)d(x) + r(x), donde r(x) es cero o es de grado menor que q(x). Estos polinomios son conocidos como cociente y residuo o resto, respectivamente. En las ocasiones en las cuales el polinomio d(x) es de la forma x – c, la división sintética nos da una forma corta de encontrar quiénes son q(x) y r(x).

Método de división sintética

1- Escribimos los coeficientes de P(x) en la primera fila. Si alguna potencia de X no aparece, colocamos cero como su coeficiente.

2- En la segunda fila, a la izquierda de an colocamos c, y trazamos líneas de división, tal como se muestra en la siguiente figura:

3- Bajamos el coeficiente líder hasta la tercera fila.

En esta expresión bn-1= an 4- Multiplicamos c por el coeficiente líder bn-1 y el resultado lo escribimos en la segunda fila, pero una columna a la derecha.

5- Sumamos la columna donde escribimos el resultado anterior y el resultado lo colocamos debajo de dicha suma. Es decir, en la misma columna, tercera fila.

Al sumar, tenemos como resultado an-1+c*bn-1, al cual por comodidad llamaremos bn-26- Multiplicamos c por el resultado anterior y escribimos el resultado a su derecha en la segunda fila.

7- Repetimos el paso 5 y 6 hasta llegar al coeficiente a0.

8- Escribimos la respuesta, es decir, el cociente y el residuo. Como estamos efectuando la división de un polinomio de grado n entre un polinomio de grado 1, tenemos que el cociente sería de grado n-1.

¡Gracias!