2.8 Inversa de una matriz

Álgebra Lineal ACF-0903

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Tema 2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

Teorema 1

Si es invertible, entonces y

Tenemos la siguiente matriz A, que se llama matriz de coeficientes y a la matriz B se le llama matriz de cofactores

Matriz de Coeficientes

Matriz deCofactores

Definición 1. La Adjunta

Sea A una matriz de nxn y sea B dada por la matriz de sus cofactores. Entonces, la adjunta de A, escrito adj A, es la transpuesta de la matriz B de nxn; es decir

Ejemplo 1. Cálculo de la adjunta de una matriz de 3x3. Sea . Calcule la Adj A.

Solución: Vamos a determinar los nueve cofactores de la matriz A. Recordando que para cada uno de los cofactores, tenemos

Ahora determinaremos los cofactores , primero el término lo que esta en color verde nos indicara el signo de cada valor de los cofactores, el color amarillo el valor final de este.

Solución: Vamos a determinar los nueve cofactores de la matriz A. Recordando que para cada uno de los cofactores, tenemos

Ahora determinaremos los cofactores , primero el término lo que esta en color verde nos indicara el signo de cada valor de los cofactores, el color amarillo el valor final de éste.

Por lo tanto la matriz de cofactores es:

Así la adjunta de la matriz A es:

Resultado

Ejemplo 2. Cálculo de la adjunta de una matriz de 3 x 3. Sea . Calcule la adjunta A.

Solución: Vamos a determinar los nueve cofactores de la matriz A, esto es:

Por lo tanto la matriz de cofactores es:

Así la adjunta de la matriz A es:

Resultado

Ejemplo 3. Cálculo de la adjunta de una matriz de 4x4

Solución: Esto es más laborioso ya que se tienen que calcular dieciséis determinantes de 3x3. Ahora calcularemos los cofactores :

Para resolver este determinante vamos a reducir el determinante a uno de 2x2. Resolveremos el determinante por reducción:

Resolveremos el determinante por reducción:

Resolveremos el determinante por reducción:

Para resolver el siguiente determinante lo resolveremos utilizando la matriz triangular superior

Resolveremos el determinante por reducción:

Resolveremos el determinante utilizando la matriz triangular inferior :

Resolveremos el determinan te, por definición, esto es:

Resolveremos el determinante por reducción:

Resolveremos el determinante utilizando la matriz triangular superior:

Resolveremos el determinante por reducción:

Resolveremos el determinante por reducción:

Calculando el valor del determinante, utilizando la matriz triangular inferior

Calculando el valor del determinante, por definición:

Calculando el valor del determinante por reducción:

Calculando el valor del determinante por reducción:

Resolveremos el determinante por reducción:

Por lo tanto la matriz de cofactores es:

Así la adjunta de la matriz A es:

Resultado

Teorema 2

Sea una matriz de . Entonces

Teorema 3

Sea una matriz de . Entonces A es invertible si y sólo si . Si , entonces

Ejemplo 4. Uso del determinante:Dadas las siguientes matrices calcular el valor del determinante:Ejemplo 4.1

Solución: 4.1 vamos a resolver el determinante por definición:

Ejemplo 4.2 Calcular el valor del determinante:

Solución: 4.2 vamos a calcular el valor del determinante utilizando la matriz triangular superior:

Ejemplo 4.3 Calcular el valor del determinante:

Solución 4.3 vamos a calcular el valor del determinante, utilizando la matriztriangular inferior:

Ejemplo 5. Cálculo de la inversa de una matriz usando el determinante y la adjunta.En los siguientes ejercicios dadas las siguientes matrices calcular la inversa por el método de la adjunta.Ejemplo 5.1

Solución: 5.1 De los ejercicios anteriores ya calculamos el valor del determinante y la adjunta de la matriz de cofactores, entonces tenemos:

El valor del y su adjunta es:

Por lo tanto la inversa será:

Esto es:

Resultado

Ejemplo 5.2

Solución: 5.2 De los ejercicios anteriores ya calculamos el valor del determinante y la adjunta de la matriz de cofactores, entonces tenemos:

Así la adjunta de la matriz A es :

Por lo tanto, la inversa será:

Resultado

Ejemplo 5.3

Solución: 5.3 De los ejercicios anteriores ya calculamos el valor del determinante y la adjunta de la matriz de cofactores, entonces tenemos:

Su determinante es:

Así la adjunta de la matriz A es:

Por lo tanto la inversa de la matriz A será:

Resultado

Teorema 4 Teorema de resumen

Por lo tanto la inversa de la ma

Teorema 4 Teorema de resumen

Sea una matriz de . Las siguientes siete afirmaciones son equivalentes. Es decir, cada una implica a las otras seis(de manera que si una es cierta, todas lo son ).1. es invertible. 2. La única solución al sistema homogéneo es la solución trivial ( ). 3. El sistema tiene una solución única para cada . 4. es equivalente por renglones a la matriz identidad de . 5. es el producto de matrices elementales. 6. La forma escalonada porrenglones de tiene pivotes. 7.

Bibliografía

Stanley L. Grossman, J. I. (2015). Matemáticas 4, Álgebra Lineal segunda edición. Cd. México: Mc. Graw Hill Education.

Larson Ron, J. I. (2019). Matemáticas IV, Álgebra Lineal primera edición. Cd. México: CENGAGE

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