13PM3 Funciones para modelar fenómenos oscilatorios

Funciones para modelar fenómenos oscilatorios

2022 © Todos los derechos reservados

Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto / Mat. Andrés Alonso Flores Marín, Coordinador M. en C. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. José Luis Álvarez López, Coordinador de facilitadores / M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora de facilitadores Mtro. Francisco Rivera Ramírez, Diseño académico / Mat. Carla Alejandra Rivera Ramírez, Diseño académico / M. en C. Guadalupe Yañez Barrón, Diseño académico / Dra. Itzel Ricaño Cornejo, Diseño académico Lic. Guillermo Vázquez Zepeda, Diseño académico / Mtra. María Concepción García Rábago, Diseño académico / Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Diana Rivera Hernández, Diseño académico Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional / M. en C.C. Citlali Medal Medellín, Diseño instruccional

Recurso

En esta ocasión nos gustaría iniciar con el siguiente vídeo:

2022 © Todos los derechos reservados

Da clic aquí para ir al enlace del video

Resulta que, cualquier onda periódica se puede descomponer como una suma (en algunos casos una suma infinita) de ondas sinusoidales (las modeladas por las funciones sinusoidales), vea la siguiente figura.|

Nota que el movimiento horizontal que registramos en el GeoGebra fue un movimiento periódico en una sola dirección en el que la bola osciló de un lado a otro respecto a su posición de equilibrio. Este tipo de movimiento es a lo que los físicos llaman movimiento armónico simple y se modelan con una función como la siguiente: Funciones como la anterior son llamadas funciones sinusoidales. Respecto a este tipo de funciones, podemos comentar algo más, para ello, recordemos lo que es una onda: Una onda consiste en la propagación de una perturbación de alguna propiedad del espacio. Ejemplos de ondas en la vida real hay muchos, por ejemplo, las ondas sonoras, las ondas de radio, los rayos X, las ondas sísmicas, etcétera.

2022 © Todos los derechos reservados

A esta afirmación se le suele llamar el Teorema de Fourier y a las sumas involucradas Series de Fourier, en honor al matemático y físico francés Jean- Baptiste Joseph Fourier, pues fue él quien desarrolló esta teoría. Por desgracia para estudiar estos temas se requiere de herramientas que no corresponden al bachillerato. Pero lo que sí podemos hacer es recordar cómo se definen las funciones trigonométricas resaltando algunas observaciones que nos parecen importantes.

Funciones trigonométricas

Sabemos, desde PM2, que un ángulo es la región en el plano comprendida entre dos semirrectas que coinciden en el un punto de origen, llamado vértice.

2022 © Todos los derechos reservados

Dale clic para descargar el código

Es posible recorrer dicha región desde hasta (en el sentido contrario a las manecillas de un reloj), o bien, desde hasta (en el mismo sentido que las manecillas del reloj). Lo anterior nos proporciona dos orientaciones o sentidos para los ángulos: Llamaremos ángulo positivo a un ángulo que se recorre en sentido contrario a las manecillas del reloj y lo llamaremos ángulo negativo si es recorrido en el mismo sentido que las manecillas del reloj.

2022 © Todos los derechos reservados

Por cierto, el llamarle polo norte al polo que consideramos que está arriba es también una decisión arbitraria, ¿imaginas por qué? Dado cualquier ángulo en el plano, se puede hacer coincidir la semirrecta inicial con la parte positiva de un sistema coordenado en el plano.

Momento, ¿cuál es la razón de qué los ángulos recorridos en sentido contrario a las manecillas del reloj sean los positivos? Bueno, la razón es un tanto arbitraria. Sucede que, si miramos la tierra desde el polo Norte, el movimiento de rotación de la Tierra ocurre en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Eje de rotación

Polo norte

Movimiento de rotación

Polo sur

2022 © Todos los derechos reservados

Por esta razón, en el plano cartesiano, para cualquier ángulo, se considera a la parte positiva del eje X como la semirrecta ”inicial" que forma el ángulo.

Como seguramente recordarán, los ángulos se pueden medir en grados o en radianes. Un grado corresponde a 1/360 de una vuelta completa, es decir, si dividimos un círculo desde el centro (como una pizza) en 360 partes iguales, una de estas partes corresponde a un grado.

2022 © Todos los derechos reservados

Uno puede preguntarse cuál es la razón de que la división sea en 360 partes y es una pregunta justificada.

Hay varias hipótesis al respecto:

El número 360 tiene muchos divisores (enteros positivos), 24 exactamente. Si la vuelta completa tiene 360 grados, entonces es fácil pensar en un ángulo de 120 grados, es decir, de 1/3 de vuelta completa. Si en lugar de 360 partes dividimos en 100 partes, ¿qué resultaría de 1/3 de vuelta completa?

Los antiguos astrónomos notaron que el sol tardaba aproximadamente 365 días en volver a su posición inicial (recordemos que, antes de Copérnico, en general, se creía que todo giraba alrededor de la Tierra), así que ”redondeando" este número, cada grado sería un día.

En cualquier caso, no deja de ser un tanto arbitraria la elección del número 360. Bien podríamos elegir nuestro número favorito, dividir el círculo en esta cantidad de partes y nombrar unos nuevos grados, por ejemplo, los grados ”Oscarianos" (Oscar es el nombre de uno de los coordinadores).

Los Babilonios usaban un sistema numérico en base 60, por ello, se cree que fueron ellos quienes dividieron al círculo en 360 = 6 x 60 partes iguales.

2022 © Todos los derechos reservados

La gran diferencia entre grados y radianes es justo que un radián no es una medida arbitraria: Un radián es la medida de un ángulo que abarca un arco de circunferencia de longitud igual al radio.

Debemos notar que, en la definición anterior, no importa la circunferencia que se tome, pues la longitud de cualquier circunferencia se obtiene multiplicando 2π por el radio, es decir, cualquier circunferencia abarca un ángulo que mide 2π radiantes. Por esta razón, a partir de ahora, solo consideraremos la circunferencia unitaria con centro en el origen. Dado que en una circunferencia hay 360° y 2π radianes, se tiene la siguiente relación 360° = 2π radiantes Y a partir de esta, otras como:

2022 © Todos los derechos reservados

Además de no ser una medida arbitraria, los radianes nos ayudan a interpretar, por ejemplo, lo qué es un ángulo de Es el ángulo que abre un arco de longitud

¿Imagina qué es un ángulo de grados?

2022 © Todos los derechos reservados

Continuemos recordando conocimientos adquiridos en PM2. Para un ángulo agudo, en un triángulo rectángulo, se definen las razones trigonométricas:

Es posible definirlas para cualquier número real. Para ello consideremos la circunferencia unitaria con centro en el origen y un ángulo mayor que cero y menor que . Este ángulo determina un punto P sobre la circunferencia unitaria y este, a su vez, determina un triángulo rectángulo con hipotenusa 1. Si son las coordenadas del punto P, entonces, de la definición de seno y coseno, se tiene que. y

Esto nos permite asignar, a cada número mayor que cero y menor que , un par de números nuevos, y Tenemos así un par de funciones. Pero, estas nuevas funciones, ¿solo asignan valores para números mayores que cero y menores que ? O ¿hay alguna manera de definirlas para cualquier número real?

2022 © Todos los derechos reservados

Dado que y nos proporcionan la abscisa y la ordenada del punto P, respectivamente, siguiendo esta idea, podemos definir, para cualquier ángulo , el coseno y el seno de como la abscisa y la ordenada del punto P, respectivamente.

2022 © Todos los derechos reservados

Nota entonces que los ”signos" de y cambiarán dependiendo del cuadrante donde se encuentre el punto P. Ahora, como el punto P es un punto sobre la circunferencia unitaria, cada una de sus coordenadas es a lo más 1, por ejemplo el punto P determinado por al ángulo , es el punto (0,1), con lo que mientras que . Otra observación muy importante es el hecho de que al considerar ángulos/números mayores a 2π (una vuelta completa) los valores para seno y coseno se repetirán, es decir, Así, decimos que las funciones seno y coseno son periódicas de periodo 2π.

Ejercicio:

Construyendo el triángulo rectángulo correspondiente, obtén los valores de seno y coseno para los números Compara tu resultado con el de tu calculadora (No olvides indicarle a tu calculadora trabajar en radianes).

2022 © Todos los derechos reservados

Recurso

Te invitamos a manipular el siguiente recurso en GeoGebra para observar cómo son las gráficas de las funciones seno y coseno.

Da clic aquí para ir al enlace del recurso

2022 © Todos los derechos reservados

Te invitamos a continuar con el siguiente tema