PRESENTACIÓN DE CONICAS

PRESENTACIÓN

conicas

Jenny Rizo Palomar 301 Maestra: Ana Rosa Soliz Cano Materia: Matematicas Valor 10%

Conicas

ÍNDICE

21.Características

3.¿Que son las conicas?

4. Elementos

22.Parabola

23. Ecuación

5. Tipos de conicas

32.Hiperbola

6 Circunferencia

7. Ecuación

33. Ecuación

12. Elipse

13. Ecuación

¿QUÉ SON LAS CONICAS?

Son todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano, cuando ese plano no pasa por el vértice del cono. Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, que llamamos generatriz, alrededor de otra recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice. La palabra cónica viene de cono.

Elementos

• Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
• Generatriz - es una cualquiera de las rectas oblicuas.
• Vértice - es el punto central donde se cortan las generatrices.
• Hojas - son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
• Sección - es la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (\alpha ) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (\beta ), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

TIPOS DE CÓNICAS

Existen cuatro tipos:

• La circunferencia.
• La elipse.
• La parábola.
• La hipérbola.

CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano cartesiano, cuya distancia a un punto fijo C(h,k) llamado centro es una constante r llamada radio de la circunferencia

ECUACIÓN CANÓNICA de la circunferencia

¿Cómo construir la ecuación conociendo el centro y el radio?

Para construir esta ecuacion solamente hay que sustituir los valores de la cordenada y el radio en su respectivo orden y posicion. Ejemplo C=(2 , -5) r=4

h , k

¿Cómo encontrar el centro y el radio en la ecuación canónica?

-h

-k

Para obtener el radio se le saca raiz cuadrada.

Se cambia el signo al extraer el número para obtener el centro.

r=

c=(-3,5)

Ecuacion general de la circunferencia

Para identificar si en la formula general se habla de la circunferencia debemos ver que el termino X y Y cuadrado se encuentren y además esten acompañados del mismo numero.Ejemplo¨:

Es el mismo número

Como combertir la ecuacion canonica a general

C=(2,5) r=3

Se resuelven los cuadrados de los binomio.

Se acomodan los terminos segun la formula general

DE LA FORMULA GENERAL A LA CANÓNICA

Se utiliza el metodo llamado completando cuadrados

A esta

Para pasar de esta

EJEMPLO:

Se agrupan las X, y las Y, el termino independiente pasa del otro lado:

Se combierte a trinomio cuadrado perfecto

Se factoriza y asi obtenemos la ecuacion en forme canonica

ELIPSE

Es el resultado de cortar la superficie de un cono con un plano oblicuo cuyo ángulo respecto al eje de revolución es mayor que el de la generatriz. La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos (llamados focos F y F’) es constante.

ECUACION CANÓNICA DE LA ELIPSE

C=(0,0)

Para saber si el centro esta en cero, la X y la Y deben estar solas:

a>b "a"siempre a es mayor que "b"

Se puede encontrar en cualquiera de las 2 formas

Para encontrar el valor de a y b se hace lo siguiente:

Sacar raiz cuadrada del termino a y bEJEMPLO:

Para identificar quien es a y b se debe averiguar cual es mayor y menor de los denominadores.

b a

c=(0,0) a=6 b=4

Ejemplo:

b a

Para encontrar el valor de a y b

C= (h,k)

b=Distancia del centro a los vertices eje menor.

a=Distancia del centro a los vertices eje mayor

Como encontrar el valor de a,b,h,k

h=5 k=-4 a=5 b=2

-h -k

a b

C= (5,-4)

COMO GRAFICAR UNA ECUACIÓN CANÓNICA

C=(0,0)

Identifica: a=4 Se grafica en el eje de las x, hacia la derecha e izquierda. b=5 Se grafica en el eje de las y, para arriba y para abajo. c=3 Se grafica a la izquierda y derecha en el eje de las x

Para graficar los focos se utiliza teorema de pitagoras:

Para encontrar el lado recto se utiliza la formula:

Es una linea perpendicular que pasa por el foco. Este se divide en 2 ya que se empieza a contar desde el foco la mitad hacia arriba y la otra hacia abajo.

¿Cómo combertir la ecuacion canonica a general?

C=(0,0)

Se suman las fracciones:

El termino que divide, pasa multiplicando

Mueve el termino del otro lado del signo igual como es positivo pasa negativo.

Ejemplo: con C= (h,k)

Realiza la suma

Resuelve los cuadrados

Organiza los terminos

DE LA FORMULA GENERAL A LA CANÓNICA

Se debe utilizar la factorizacion del trinomio cuadrado perfecto. Agrupa los terminos de X y Y

Factoriza

Debes igualarlo a 1

Divide los terminos

CARACTERÍSTICAS

Si el número mayor esta en x la elipse es:

Si el número mayor esta en "y"la elipse es:

• Deben ser positivas.
• Deben igualarse a 1
• La X y Y deben estar al cuadrado

PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco (F) y de una recta denominada directriz. Tambien es la intersección entre un cono recto y un plano paralelo a una generatriz del cono y que pase por la base del mismo.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARABOLA

Con ver la estructura de la ecuación que se plantea se puede saber hacia dónde abre la parábola o donde está posicionado el vértice, y luego para saber las coordenadas del foco o el valor del parámetro (p)

¿CÓMO Saber la dirección de una parábola?

Cuando una ecuación tiene elevado al cuadrado el paréntesis que contiene a la variable “x”, entonces es una parábola vertical, es decir, que la parábola abre hacia arriba o hacia abajo (es decir que esta es una función), pero si por el contrario el paréntesis que está al cuadrado es el que contiene a la variable “y”, entonces la parábola es horizontal, es decir, que la parábola abre hacia la derecha o hacia la izquierda.

EJEMPLO: La parábola que se da por la ecuación (x - 3)2 = -4(y+4) es una parábola que se abre hacia abajo, (y+4) 2 = 4(x - 3) es una parábola que abre hacia la derecha.

Vertice en la ecuación canÓnica

Las variables “h” y “k”, son las coordenadas (x,y) del vértice de la parábola, el vértice es el punto máximo o mínimo de la parábola (dependiendo de hacia dónde se abre) y este siempre está en el centro de la parábola y es quizás el punto más importante de una parábola y con la ecuación canónica se puede conocer la coordenada del vértice, pero ojo, a los valores que tienen “h” y “k” en la ecuación hay que cambiarles el signo, si es negativo hay que pasarlo a positivo y viceversa, esto porque en la ecuación canónica el signo anterior a “h” y “k” es negativo, entonces esto hace que tengan el signo contrario.

Por ejemplo: en la ecuación (x - 3) = 2(y+4) 2 el vertice esta en (3,-4) y en (x +6) 2 = 9(y-1) el vertice esta en (-6,1).

Parámetro en la ecuación canónica

Este es la distancia que hay entre el foco y el vértice y entre el vértice y la directriz, y se representa por la letra “p”, y este si está explícitamente en la ecuación canónica, lo único que está representado como “4p” lo que quiere decir que el número que este allí será igual a 4 veces el valor de “p” por lo tanto, para encontrar el valor genuino de “p” se debe dividir ese número entre 4. Por ejemplo: en la ecuacion (x -3) 2 = 12(y+3): en la posición de “4p” está el numero 12, así que para encontrar “p” se divide 12/4 y el resultado de esto es 3, por lo que “p” vale 3. Ahora bien, el valor de la línea recta es 4 veces p, por lo que en este caso el valor de la línea recta sería 12.

°"Ejemplos de la ecuación canónica" Ejemplo 1: graficar la siguiente parábola: (x-2)2 = 4(y+1)

• Apertura de la parábola: hacia arriba.
• Posicion del vértice: (2,-1) recordar que los signos de h y k cambian de como están en la fórmula.
• Valor del parámetro: el valor de 4p es 4, por lo que para encontrar "p" se divide 4/4 = 1.
• Coordenadas del Foco: (2,0), como el valor de p es 1 y la parabola se abre hacia arriba, el foco estará un número por encima del vértice.
• Linea recta: la linea recta es de 4, por lo que se extenderá 2 números a cada lado del foco, porque esta pasa justo por encima del foco y en los extremos de la linea recta es donde pasa la parábola.

EJEMPLO 2

grafica: (y+3)2 = 6 (x-2) Apertura de la parábola: hacia la izquierda Posicion del vértice: (2,-3) Valor del parámetro: 1.5 coordenadas del Foco: (3.5,-3) Linea recta: 6

Pasar de Ecuación General a Canónica y de Ecuación Canónica a General de una Parábola

dE GENERAL A CANÓNICA

se separán las "x" y las "y" y se deja x2 con coeficiente 1 3x2 + 6x - 15y +15 = 0 3x2 + 6x = 15y - 15 x2 + 2x = 5y - 5 Ahora se forma un T.C.P con las "x" = 1 = 1 Hay que poner este 1 en ambos lados de la ecuación x2 + 2x + 1 = 5y - 5 + 1 Ahora se factoriza el lado de las x para formar (x-h)2 (x + 1)2 = 5y -5 + 1 Y por último se resuelve el lado de "y" (x + 1)2 = 5y -4 (x + 1)2 = 5(y - )

De canónica a general

Primero se resolverá el lado izquierdo, primero hay que recordar como descomponer un binomio al cuadrado: es el primer termino al cuadrado más 2 veces el primero por el segundo más el segundo termino al cuadrado. (a+b)2 = a2 + 2*a*b + b2 (a-b)2 = a2 - 2*a*b + b2 Entonces. (x+2)2 = 5 (y-1) x2 + 2(x)(2) + 22= 5(y-1) x2 + 4x + 4= 5(y-1) Ahora simplemente se resuelve el parentesis de la derecha distribuyendo el 5 con los dos términos del binomio x2 + 4x + 4= 5y -5 Por ultimo se pasan todos los términos al lado izquierdo y se ordenan de la siguiente manera: ax2 + bx + cy + d = 0 x2 + 4x - 5y +9 = 0

HIPéRBOLA

Es cuando se corta un cono mediante un plano con un ángulo menor que el ángulo que forma la generatriz del cono respecto a su eje de revolución. Es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.

Ecuación canónica de la hipérbola

Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene:

Elementos

Focos:F1(c,0)y F2(-c,0) Centro: C (0,0) Vértices:V1 (a,0) y V2 (-a,0) Eje focal:recta que contiene a los focos, en este caso es el eje x. "a" se denomina semieje real o transverso. 2c es la distancia entre los focos Se cumple que Tiene asíntotas. Su ecuacion es

GRAFICA

Ubiquemos los vértices sobre el eje x, simétricos respecto del (0,0),V1,2 y los puntos de coordenadas que llamaremos «vértices imaginarios» (no son puntos de la hipérbola, habíamos visto que ésta no corta al eje y):

¿Cómo trazar las asíntotas?

Armemos un rectángulo auxiliar que ayudará a graficar la hipérbola, y luego tracemos las rectas que contienen a sus diagonales (esas rectas serán las asíntotas). Una vez trazadas las asíntotas, es sencillo realizar un gráfico aproximado de la hipérbola:

Focos y vertices

Los focos, como los vértices de la hipérbola, están sobre el eje x. Como c>a, los focos están más alejados del origen que los vértices ( )

¿Cómo reconocer, dada la ecuación canónica de una hipérbola si el eje focal es vertical u horizontal?

Si el coeficiente de es positivo, sabemos que el eje focal es el eje x.Si el coeficiente de es positivo, sabemos que el eje focal es el eje y Ejemplo 1 Hallar la gráfica de la curva definida por la ecuación:

C ( 0 , 0 ) S e m i e j e r e a l : a = 1 S e m i e j e i m a g i n a r i o : b = 2 S e m i d i s t a n c i a f o c a l : c = √ 1 2 + 2 2 = √ 5

Luego podemos dar las coordenadas de los vértices, de los focos y de las asíntotas:

V1 (1,0) V2(-1,0)

Asíntotas:

La ecuación ordinaria de una hipérbola con eje focal horizontal y centro en

Observemos que la diferencia esencial reside en que el signo negativo está en el término con la variable x o en el término con la variable y. El motivo por el cual utilizamos en el denominador del término con coeficiente positivo es para poder denominar siempre al semieje real como «a».

forma general de la ecuación de la hipérbola.

De canonica a general

Expresa la ecuación ordinaria de la hipérbola: en la forma general. Empezamos multiplicando ambos lados de la igualdad por 16x25=400:

EJEMPLO 2

Convierte la ecuación generl su forma canónica

GRACIAS