Álgebra Lineal ACF-0903
Bienvenidos al
Tema 2.7 Propiedades de los determinantes
EMPEZAR
Teorema 1
Sean A y B dos matrices de . Entonces
Es decir el determinante del producto es el producto de los determinantes
Ejemplo 1. Ilustración del hecho de que Verifique el teorema 1 para
Solución: Vamos a calcular los detA, det B y det AB, detA. Para la matriz A utilizaremos la columna 1
Para la matriz B utilizaremos el renglón 3
Así tendremos que
Ahora calcularemos la matriz AB, esto es:
Solución: Vamos a efectuar el producto de las matrices
Calcularemos detAB utilizando el renglón 2
Por lo tanto tenemos queda ilustrado el Teorema 1
Teorema 2
Ejemplo 2. Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
Solución: Utilizando la matriz A, sabemos que el det A=60. Vamos a determinar la transpuesta de la matriz A, recordando que para esta matriz se invierten los renglones en columnas.
Ahora calcularemos el matriz A
Utilizando la columna 3 para calcular el determinante de la transpuesta, tendremos:
Quedando ilustrado el Teorema 2
Teorema 3.
Teorema básico de los determinantes
Sea una matriz de nxn. Entonces
Es decir, se puede calcular det A expandiendo por cofactores en cualquier renglón de la matriz A. Más aún,
Como la columna j de A es la ecuación anterior indica que se puede calcular det A expandiéndose por cofactores en cualquier columna de A
Ejemplo 2. Obtención del determinante expandiendo en el segundo renglón y la tercera columna
Solución: Vamos a expander en el segundo renglón, tomaremos los cofactores del segundo renglón. Tenemos la matriz A aplicando esto se obtiene
Del mismo modo, si se expande en la tercera columna, se obtiene:
Propiedades de los determinantes
Propiedad 1. Si cualquier renglón o columna de la matriz A es un vector cero, entonces
Recordando que las A se llaman cofactores esto es
Donde es el determinante del menor
Ejemplo 1. Ilustración de la propiedad 1.Si A tiene un renglón y B una columna de ceros, entonces det A =0 y det B=0.Solución: Utilizando el renglón 3 de la matriz A
Utilizando la columna 2 de la matriz B
queda ilustrado la propiedad 1
Propiedades de los determinantes
Propiedad 2. Si el renglón i-ésimo o la j-ésima columna de A se multiplica por un escarar c, entonces det A se multiplica por c. Es decir, si se denota por B esta nueva matriz, entonces
Ejemplo 2. Ilustración de la propiedad 2 Sea
Solución: La matriz B y C difieren en el segundo renglón y en la columna 3, vamos a determinar los determinantes de cada una de las matrices . La matriz B es -3 por el renglón 2
La matriz C es 4 por la columna 3
queda ilustrada la propiedad 2
Ahora resolveremos los det B y det C esto es:
este det B lo resolvimos utilizando la columna 1
Continuamos con el det C , lo resolveremos utilizando el renglón 3
Propiedades de los determinantes
Propiedad 3. Sea
Entonces
En otros términos, suponga que A, B y C son idénticas excepto por la j-ésima columna (renglón), y que la j-ésima columna de C es la suma de las j-ésimas columnas de A y B. Entonces detC=detA + detB.
Ejemplo 3. Ilustración de la propiedad 3.Tenemos las siguientes matrices A y B estas difieren del la columna dos :
Solución: Vamos a calcular la matriz C que será sumar la columna 2 de ambas matrices:
Calcularemos el det C y det B, ya sabemos detA =60
Resolviendo el det C utilizando la columna 1
Ahora, calcularemos det B, utilizando el renglón 3, para la matriz B
Por lo tanto tenemos esto es:
queda ilustrada la propiedad 3.
Propiedades de los determinantes
Propiedad 4. El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efecto de multiplicar (el determinante de la matriz A ) det A multiplicado por –1.
Ejemplo 4. Ilustración de la propiedad 4 Sea
Vamos a intercambiar los renglones y columnas para obtener otra matriz B y C
Intercambiamos el renglón 1 y 3 de la matriz A. Obteniendo la matriz B. Primero realizaremos una multiplicación por el renglón 3 y le sumamos al renglón 2, a la matriz B
Calcularemos el det B, recordando que el valor del determinante se multiplica por -1 utilizando la columna 1
queda ilustrada la propiedad 4.
Ahora continuamos con el intercambio de las columnas 1 y 2 de la matriz A. Primero realizaremos una multiplicación 2 por la columna 1 y le sumamos a la columna 3 , a la matriz A. Recordando que el valor del determinante se multiplica por -1.
Calcularemos el det C, utilizando el renglón 3
queda ilustrada la propiedad 4.
Propiedades de los determinantes
Propiedad 5. Si A tiene dos renglones o columnas iguales, entonces
Ejemplo 5. Ilustración de la propiedad 5 Solución: Mediante el cálculo directo se puede verificar que la matriz A y la matriz B, su det A= det B =0. La matriz A tienen dos renglones iguales
Como la matriz A tiene un renglón de ceros, entonces el valor del det A = 0
Ahora tenemos dos columnas iguales, para la matriz B
Como la matriz B tiene una columna de ceros, entonces el valor del det B= 0
queda ilustrada la propiedad 5.
Propiedades de los determinantes
Propiedad 6. Si un renglón (o columna) de A es un múltiplo constante de otro renglón (columna) de A, entonces
Ejemplo 6. Ilustración de la propiedad 6.Tenemos el det A donde el renglón 3 es -3 veces el primero
queda ilustrada la propiedad 6.
Si un determinante tiene dos renglones iguales det A =0
Tenemos el det B donde la columna 4 es 4 veces la segunda columna -
Ahora sacaremos el 4 de factor común de toda la columna
Si un determinante tiene dos columnas iguales det B =0
queda ilustrada la propiedad 6.
Propiedades de los determinantes
Propiedad 7. Si se suma un múltiplo escalar de un renglón(columna) de A a otro renglón (columna) de A, entonces el valor del determinante no cambia.
Ejemplo 7. Ilustración de la propiedad 7.Sea
Multiplicamos el segundo renglón R2 por 3 y se lo sumamos al R3
queda ilustrada la propiedad 7.
Ejercicio 8. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 4x4. Utilizaremos la matriz triangular superior
Solución: Tenemos la diagonal principal con color azul los números
Para nuestro caso vamos a sacar -1/3 de factor del renglón 3
Con esta operación se visualiza como podemos hacer cero en el término
Solución
Ejercicio 9. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 5x5.
Solución: Sumando el renglón 1 y después el renglón 5 al renglón 4. Como tenemos un renglón completo de ceros el valor del det B=0
Como tenemos el renglón 4 igual a cero el valor del determinante es igual a cero.
Ejercicio 10. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 4x4.
Solución: Vamos a realizar operaciones elementales para dejar el determinante como matriz diagonal superior, están indicadas cada una de las operaciones a realizar en cada renglón.
Ya tenemos la columna 1 de ceros, después del término
Continuamos con darle al determinante la forma de matriz triangular superior, ya realizamos los ceros de la columna 2
Solución
Ejercicio 11. Vamos a realizar el Ejercicio 10 utilizando la matriz triangular inferior.
Solución: Vamos a realizar operaciones elementales para dejar el determinante como matriz diagonal superior, están indicadas cada una de las operaciones a realizar en cada renglón.
Solución
Ejercicio 12. Vamos a realizar el Ejercicio 10 utilizando las propiedades.
Solución: Este determinante de 4x4 lo reduciremos a uno de 3x3 y luego a un 2x2, utilizando operaciones elementales por renglón o columna.
Solución
Teorema 4
Sea A una matriz de nxn. Entonces
Bibliografía
Stanley L. Grossman, J. I. (2015). Matemáticas 4, Álgebra Lineal segunda edición. Cd. México: Mc. Graw Hill Education.
Larson Ron, J. I. (2019). Matemáticas IV, Álgebra Lineal primera edición. Cd. México: CENGAGE
No olvides que puedes recurrir al correo del Docente o al chat para aclarar cualquier duda. Espero que hayas disfrutado el tema 2.7 ¡Te deseo éxito en tu Evaluación!
Por tu atención, ¡muchas gracias!
Tema 2.7 Propiedades determinantes
María Gricelda Paman
Created on November 24, 2022
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Álgebra Lineal ACF-0903
Bienvenidos al
Tema 2.7 Propiedades de los determinantes
EMPEZAR
Teorema 1
Sean A y B dos matrices de . Entonces
Es decir el determinante del producto es el producto de los determinantes
Ejemplo 1. Ilustración del hecho de que Verifique el teorema 1 para
Solución: Vamos a calcular los detA, det B y det AB, detA. Para la matriz A utilizaremos la columna 1
Para la matriz B utilizaremos el renglón 3
Así tendremos que
Ahora calcularemos la matriz AB, esto es:
Solución: Vamos a efectuar el producto de las matrices
Calcularemos detAB utilizando el renglón 2
Por lo tanto tenemos queda ilustrado el Teorema 1
Teorema 2
Ejemplo 2. Una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
Solución: Utilizando la matriz A, sabemos que el det A=60. Vamos a determinar la transpuesta de la matriz A, recordando que para esta matriz se invierten los renglones en columnas.
Ahora calcularemos el matriz A
Utilizando la columna 3 para calcular el determinante de la transpuesta, tendremos:
Quedando ilustrado el Teorema 2
Teorema 3.
Teorema básico de los determinantes
Sea una matriz de nxn. Entonces
Es decir, se puede calcular det A expandiendo por cofactores en cualquier renglón de la matriz A. Más aún,
Como la columna j de A es la ecuación anterior indica que se puede calcular det A expandiéndose por cofactores en cualquier columna de A
Ejemplo 2. Obtención del determinante expandiendo en el segundo renglón y la tercera columna
Solución: Vamos a expander en el segundo renglón, tomaremos los cofactores del segundo renglón. Tenemos la matriz A aplicando esto se obtiene
Del mismo modo, si se expande en la tercera columna, se obtiene:
Propiedades de los determinantes
Propiedad 1. Si cualquier renglón o columna de la matriz A es un vector cero, entonces
Recordando que las A se llaman cofactores esto es
Donde es el determinante del menor
Ejemplo 1. Ilustración de la propiedad 1.Si A tiene un renglón y B una columna de ceros, entonces det A =0 y det B=0.Solución: Utilizando el renglón 3 de la matriz A
Utilizando la columna 2 de la matriz B
queda ilustrado la propiedad 1
Propiedades de los determinantes
Propiedad 2. Si el renglón i-ésimo o la j-ésima columna de A se multiplica por un escarar c, entonces det A se multiplica por c. Es decir, si se denota por B esta nueva matriz, entonces
Ejemplo 2. Ilustración de la propiedad 2 Sea
Solución: La matriz B y C difieren en el segundo renglón y en la columna 3, vamos a determinar los determinantes de cada una de las matrices . La matriz B es -3 por el renglón 2
La matriz C es 4 por la columna 3
queda ilustrada la propiedad 2
Ahora resolveremos los det B y det C esto es:
este det B lo resolvimos utilizando la columna 1
Continuamos con el det C , lo resolveremos utilizando el renglón 3
Propiedades de los determinantes
Propiedad 3. Sea
Entonces
En otros términos, suponga que A, B y C son idénticas excepto por la j-ésima columna (renglón), y que la j-ésima columna de C es la suma de las j-ésimas columnas de A y B. Entonces detC=detA + detB.
Ejemplo 3. Ilustración de la propiedad 3.Tenemos las siguientes matrices A y B estas difieren del la columna dos :
Solución: Vamos a calcular la matriz C que será sumar la columna 2 de ambas matrices:
Calcularemos el det C y det B, ya sabemos detA =60
Resolviendo el det C utilizando la columna 1
Ahora, calcularemos det B, utilizando el renglón 3, para la matriz B
Por lo tanto tenemos esto es:
queda ilustrada la propiedad 3.
Propiedades de los determinantes
Propiedad 4. El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efecto de multiplicar (el determinante de la matriz A ) det A multiplicado por –1.
Ejemplo 4. Ilustración de la propiedad 4 Sea
Vamos a intercambiar los renglones y columnas para obtener otra matriz B y C
Intercambiamos el renglón 1 y 3 de la matriz A. Obteniendo la matriz B. Primero realizaremos una multiplicación por el renglón 3 y le sumamos al renglón 2, a la matriz B
Calcularemos el det B, recordando que el valor del determinante se multiplica por -1 utilizando la columna 1
queda ilustrada la propiedad 4.
Ahora continuamos con el intercambio de las columnas 1 y 2 de la matriz A. Primero realizaremos una multiplicación 2 por la columna 1 y le sumamos a la columna 3 , a la matriz A. Recordando que el valor del determinante se multiplica por -1.
Calcularemos el det C, utilizando el renglón 3
queda ilustrada la propiedad 4.
Propiedades de los determinantes
Propiedad 5. Si A tiene dos renglones o columnas iguales, entonces
Ejemplo 5. Ilustración de la propiedad 5 Solución: Mediante el cálculo directo se puede verificar que la matriz A y la matriz B, su det A= det B =0. La matriz A tienen dos renglones iguales
Como la matriz A tiene un renglón de ceros, entonces el valor del det A = 0
Ahora tenemos dos columnas iguales, para la matriz B
Como la matriz B tiene una columna de ceros, entonces el valor del det B= 0
queda ilustrada la propiedad 5.
Propiedades de los determinantes
Propiedad 6. Si un renglón (o columna) de A es un múltiplo constante de otro renglón (columna) de A, entonces
Ejemplo 6. Ilustración de la propiedad 6.Tenemos el det A donde el renglón 3 es -3 veces el primero
queda ilustrada la propiedad 6.
Si un determinante tiene dos renglones iguales det A =0
Tenemos el det B donde la columna 4 es 4 veces la segunda columna -
Ahora sacaremos el 4 de factor común de toda la columna
Si un determinante tiene dos columnas iguales det B =0
queda ilustrada la propiedad 6.
Propiedades de los determinantes
Propiedad 7. Si se suma un múltiplo escalar de un renglón(columna) de A a otro renglón (columna) de A, entonces el valor del determinante no cambia.
Ejemplo 7. Ilustración de la propiedad 7.Sea
Multiplicamos el segundo renglón R2 por 3 y se lo sumamos al R3
queda ilustrada la propiedad 7.
Ejercicio 8. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 4x4. Utilizaremos la matriz triangular superior
Solución: Tenemos la diagonal principal con color azul los números
Para nuestro caso vamos a sacar -1/3 de factor del renglón 3
Con esta operación se visualiza como podemos hacer cero en el término
Solución
Ejercicio 9. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 5x5.
Solución: Sumando el renglón 1 y después el renglón 5 al renglón 4. Como tenemos un renglón completo de ceros el valor del det B=0
Como tenemos el renglón 4 igual a cero el valor del determinante es igual a cero.
Ejercicio 10. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante de 4x4.
Solución: Vamos a realizar operaciones elementales para dejar el determinante como matriz diagonal superior, están indicadas cada una de las operaciones a realizar en cada renglón.
Ya tenemos la columna 1 de ceros, después del término
Continuamos con darle al determinante la forma de matriz triangular superior, ya realizamos los ceros de la columna 2
Solución
Ejercicio 11. Vamos a realizar el Ejercicio 10 utilizando la matriz triangular inferior.
Solución: Vamos a realizar operaciones elementales para dejar el determinante como matriz diagonal superior, están indicadas cada una de las operaciones a realizar en cada renglón.
Solución
Ejercicio 12. Vamos a realizar el Ejercicio 10 utilizando las propiedades.
Solución: Este determinante de 4x4 lo reduciremos a uno de 3x3 y luego a un 2x2, utilizando operaciones elementales por renglón o columna.
Solución
Teorema 4
Sea A una matriz de nxn. Entonces
Bibliografía
Stanley L. Grossman, J. I. (2015). Matemáticas 4, Álgebra Lineal segunda edición. Cd. México: Mc. Graw Hill Education.
Larson Ron, J. I. (2019). Matemáticas IV, Álgebra Lineal primera edición. Cd. México: CENGAGE
No olvides que puedes recurrir al correo del Docente o al chat para aclarar cualquier duda. Espero que hayas disfrutado el tema 2.7 ¡Te deseo éxito en tu Evaluación!
Por tu atención, ¡muchas gracias!