Geometria Euclidea

L'ORGANIZZAZIONE RAZIONALE DELLA GEOMETRIA

Via

1. Gli elementi di Euclide

iNDICE

2. Enti e primi assiomi

3. Prime definizioni

4. Congruenza e confronto di segmenti

5. Operazioni con i segmenti

1.GLI ELEMENTI DI EUCLIDE

Matematica ellenica

Dimostrazioni da pochi postulati fissati una volta per tutte: enunciato sulle proprietà di figure geometriche; deduzione delle proprietà da postulati, nozioni comuni, definizioni e altre proprietà; formula finale, come si doveva dimostrare (CVD). Il metodo assiomatico genera i concetti astratti.

Matematica ellenica

Con Euclide nasce la matematica moderna, fondata, per la prima volta, sul metodo assiomatico. Dimostrazioni pre - euclidee: fatti non evidenti da fatti evidenti. Dimostrazioni euclidee: tutte le proposizione vanno dimostrate da pochi fatti evidenti, fissati una volta per tutte

gLI ELEMENTI DI EUCLIDE

Opera composta da 13 Libri:- Geometria dei triangoli, dei cerchi e dei poligoni. Libri I, III e IV. - Algebra geometrica, Libro II - Teoria delle proporzioni, Libro V - Similitudine di figure, Libro VI - Teoria elementare dei numeri Libri VII, VIII, e IX - Classificazione degli incommensurabili, Libro X - Geometria solida e principio di esaustione, Libri XI, XII, e XIII

gLI ELEMENTI DI EUCLIDE

Contenuto del primo libro - Assiomi, postulati e definizioni - Le basi, senza assioma delle parallele (Prop. 1-14). - Geometria dei triangoli, senza assioma delle parallele (Prop. 15-28) - Teoria delle parallele (Prop. 29 - 34) - Teoria dell’equivalenza (Prop. 35 - 45) - Il teorema di Pitagora (Prop. 46 - 48)

2. Enti e primi assiomi

gLI ENTI PRIMITIVI

Gli enti primitivi della geometria euclidea piana sono: punto, retta e piano. Queste definizioni di apertura sono espresse in termini di concetti che non sono definiti e quindi non assolvono nessuna funzione logica. Si ha il sospetto che Euclide non si sia reso conto che i concetti iniziali devono essere "non-definiti" e che cercasse ingenuamente di spiegare il loro significato in termini di concetti fisici.

assiomi

Assiomi di incidenza

Assiomi di ordine

Assiomi di incidenza

1. Ad ogni retta appartengono almeno due punti

2. Per due punti distinti passa una e una sola retta

3. Esistono tre punti che non giacciono sulla stessa retta

Assiomi di incidenza

1. Ad ogni retta appartengono almeno due punti

Assiomi di incidenza

2. Per due punti distinti passa una e una sola retta

Assiomi di incidenza

3. Esistono tre punti che non giacciono sulla stessa retta

Assiomi di ordine

1. Dati una retta orientata r e due suoi punti distinti A e B, esiste sempre un punto C( appartenente a r e distinto da A e B) che è compreso tra A e B

2. Data una retta orientata r e un suo punto C, esistono sempre due punti A e B (appartenenti a r e distinti tra loro) tali che C è compreso tra A e B.

3. Dati tre punti distinti su una retta orientata, uno e uno solo dei tre è compreso tra gli altri due.

Assiomi di ordine

1. Dati una retta orientata r e due suoi punti distinti A e B, esiste sempre un punto C( appartenente a r e distinto da A e B) che è compreso tra A e B

Assiomi di ordine

2. Data una retta orientata r e un suo punto C, esistono sempre due punti A e B (appartenenti a r e distinti tra loro) tali che C è compreso tra A e B.

Assiomi di ordine

3. Dati tre punti distinti su una retta orientata, uno e uno solo dei tre è compreso tra gli altri due.

i 5 postulati di euclide

3. PRIME DEFINIZIONI

• Rette incidenti: due rette che hanno un solo punto in comune si dicono incidenti e il loro punto di intersezione si chiama punto di incidenza.

• Rette parallele: se due rette coincidono oppure non hanno alcun punto in comune, si dice che sono parallele.

• Data una retta orientata r e un suo punto O, chiamiamo semiretta con origine in O uno dei due seguenti insiemi:

- l'insieme formato da O e da tutti i punti di r che precedono O - l'insieme formato da O e da tutti i punti di r che seguono O

• Segmento: data una retta orientata r e due suoi punti A e B, si chiama segmento di estremi A e B, e si indica con AB, l'insieme costituito da tutti i èunti di r compresi tra A e B e dagli stessi A e B.

• Segmenti consecutivi: due segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto si dicono consecutivi.
• Segmenti adiacenti: due segmenti consecutivi che giacciono sulla stessa retta si dicono adiacenti.

• Segmento orientato: segmento per il quale si specifica quel è il primo estremo e quale il secondo. Diciamo inoltre che un segmento orientato CD è ordinatamente consecutivo a un segmento otientato AB se i due segmenti sono consecutivi, non adiacenti e B coincide con C.

• Spezzata: figura formata da un numero finito di segmetni orientati che si possono ordinare in modo tale che il secondo sia ordinatamente consecutivo solo al primo, il terzo solo al secondo, e così via fino all'ultimo, che sia ordinatamente consecutivo al penultimo.

• Poligonale: una spezzata non intrecciata.

Test: enti geometrici fondamentali e prime definizioni

1. Quali tra i seguenti sono enti fondamentali della geometria?

A. punto B. rettaC. segmento D. pianoE. angolo

Test: enti geometrici fondamentali e prime definizioni

2. Quante rette passano per un punto? A. nessuna B. una C. due D. infinite

Test: enti geometrici fondamentali e prime definizioni

3. Quante dimensioni ha una linea? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Test: enti geometrici fondamentali e prime definizioni

4. Due segmenti si dicono consecutivi se A. hanno un punto interno in comune B. hanno un estremo in comune C. appartengono alla stessa retta D. appartengono alla stessa semiretta

Test: enti geometrici fondamentali e prime definizioni

5. Due punti su una retta individuano A. un segmento e due semirette B. tre segmenti C. due segmenti e una semiretta D. due segmenti e due semirette

Test: enti geometrici fondamentali e prime definizioni

6. In riferimento alla figura che segue, quali affermazioni sono vere? A. AO e OD sono consecutivi B. DO e OB sono adiacenti C. OB e OC sono adiacenti D. AC e BO sono consecutivi

Test: enti geometrici fondamentali e prime definizioni

7. Una semiretta è A. una parte di segmento che ha inizio ma non ha fine B. una parte di retta delimitata da due punti C. una delle parti in cui una retta viene divisa da un punto D. una parte di retta compresa tra due punti

Test: enti geometrici fondamentali e prime definizioni

8. Con tre punti non allineati quanti segmenti si possono formare? A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

Test: enti geometrici fondamentali e prime definizioni

9. Nella seguente figura A. A è una spezzata chiusa B. B è una spezzata intrecciata C. C è una spezzata intrecciata D. A non è una spezzata

4.CONGRUENZA E CONFRONTO DI SEGMENTI

congruenza

Due figure si dicono congruenti se si possono sovrapporre tramite un movimento rigido, cioè diventanto coincidenti.

Assiomi di Congruenza

1. La relazione di congruenza tra segmenti è riflessiva, simmetrica e transitiva

2. Dato un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste ed è unico un punto P tale che OP è congruente ad AB

3. Dati tre punti A B e C su una retta r e tre punti E F G su una retta s, se AB≅EF e BC≅FG allora AC≅EG

Assiomi di Congruenza

1. La relazione di congruenza tra segmenti è riflessiva, simmetrica e transitiva

Assiomi di Congruenza

2.(Assioma del trasporto) Dato un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste ed è unico un punto P tale che OP≅AB

Assiomi di Congruenza

3. Dati tre punti A B e C su una retta r e tre punti E F G su una retta s, se AB≅EF e BC≅FG allora AC≅EG

Confronto di segmenti

Dati i segmenti AB e CD, essi si possono confrontare tramite l'assioma del trasporto:

• Se E coincide con D, AB ≅ CD
• Se E è compreso tra C e D, AB < CD
• Se E non è compreso tra C e D, AB > CD

Concetto di relazione

Dato un insieme A non vuoto, si dice relazione in A una legge che consente di associare ad alcuni elementi di A altri elementi di A. Esempio: A= insieme degli studenti della 1SC R:= essere compagni di banco a= Alessandra b= Valeria a R b cioè Alessandra e Valeria sono compagne di banco c= Andrea a not R c cioè Alessandra e Andrea non sono compagni di banco

proprietà delle relazioni

• Proprietà riflessiva: Sia A un insieme e R una relazione, R si dice riflessiva se ogni elemento di A è in relazione con se stesso:

∀ a ∈ A: a R a

• Proprietà simmetrica: Sia A un insieme e R una relazione, R si dice simmetrica se dati a e b elementi di A, ogni volta che a R b anche b R a:

∀ a,b ∈ A: a R b → b R a

• Proprietà transitiva: Sia A un insieme e R una relazione, R si dice transitiva se dati a,b, c elementi di A, ogni volta che a R b e b R c allora a R c:

∀ a,b,c ∈ A: (a R b ⋀ b R C) → a R c

5.operazioni con i segmenti

somma di segmenti

Dati i segmenti AB e CD, consideriamo la semiretta di origine A contenente B, e consideriamo il segmento BP ≅ CD che inerseca AB solo in B. Diremo che AP è la somma tra AB e CD: AP ≅ AB+CD

multiplo di un segmento

Il multiplo di un segmento AB secondo un numero naturale n è il segmento CD ottenuto facendo la somma del segmento con se stesso n volte: CD≅nAB Da ciò abbiamo che CD è multiplo di AB e AB è sottomultiplo di CD

DIFFERENZA DI SEGMENTI

Dati due segmenti CD e AB con CD > AB, diciamo che CD - AB è quel segmento che, addizionato a AB, dà CD.Scriviamo quindi BD ≅ CD - AB