Práctica integradora_Unidad 4 y 5

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Práctica de integración: Material interactivo de Secciones Cónicas

INTEGRANTES:

Caballero Chan Vicente Jesus Espadas Sánchez Marián Aidalí Fernández Olán Jorge Eduardo Puc Chan Marco Jesus

Profa. M. en C. Safira Amigai Pech Chi

Fecha de Entrega: 5 de Diciembre de 2022

ÍNDICE

05. Hipérbola

01. Introducción

06. Metacognición

02. Circunferencia

07. Conclusiones

03. Elipse

08. Referencias

04. Parábola

Introducción

Las secciones cónicas son los lugares geométricos del producto de trazos en conos rectos. Cada una de ellas son importantes en el estudio de la geometría anaíticas, las secciones cónicas principales son la: circunferencia, elipse, parábola y la elipse,

Circunferencia

DEDUCCIÓN

ELEMENTOS

Definición

CONDICIONES

EJERCICIOS

ECUACIONES

Circunferencia

DEFINICIÓN

La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo, llamado centro (c). A la distancia fija de cualquier punto de la circunferencia al centro se le denomina radio (r).

Nota

ELEMENTOS DE LA Circunferencia

ELEMENTOS

Relaciones

Elementos de la Circunferencia

Elementos de la Circunferencia

RELACIONES ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

Ecuación ordinaria

La deducción de la ecuación de la circunferencia se origina a partir de su definición. La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos (x, y) están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro (h, k).

ECUACIONES DE LA Circunferencia

EN ORIGEN

FUERA DE ORIGEN

Circunferencia en el origen

Una circunferencia que esta siempre en el origen, no importa su longitud, siempre su centro (h, k) será en las coordenadas (0, 0).

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

Por lo tanto, la ecuación ordinaria de la circunferencia queda de esta forma:

Ecuación General

Ya que la circunferencia esta en el origen, sólo estan presentes los siguientes parametros:

Circunferencia fuera del origen

Una circunferencia que esta fuera en el origen, no importa la longitud de este, su centro va ser las coordenadas (h, k).

Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen

Por lo tanto, la ecuación ordinaria de la circunferencia queda de esta manera:

Ecuación general

Ya que la circunferencia esta fuera del origen, estan presentes los siguientes parametros:

Condiciones de la circunferencia

Las condiciones que tiene la circunferencia y su ecuación son las siguientes:

3 Condición

2 Condición

1 Condición

¿TE SIENTES PREPARADO PARA RESOLVER EJERCICIOS?

SI

No

ENTONCES:

¿Puedes definir el lugar geométrico?

¿Conoces su ecuación?

¿Te aprendiste sus condiciones?

SI

No

EJERCICIOS

NIVEL 2

NIVEL 3

NIVEL 1

eJERCICIOS nivel 1

Se tiene una circunferencia que su centro están en las coordenadas (3, 2) y su radio es de 4 unidades. Encuentra la ecuación ordinaria.

Se tiene una circunferencia que su centro está en el origen y su radio es de 9 unidades. Encuentra su ecuación general.

Respuesta

Respuesta

eJERCICIOS nivel 2

Se tiene la ecuación , encuentra su centro y su radio.

Respuesta

Se tiene la ecuación de la circunferencia encuentra su centro y su radio y por último, su respectiva área.

Respuesta

eJERCICIO nivel 3

Respuesta

ELIPSE

DEDUCCIÓN

ELEMENTOS

Definición

CONDICIONES

ECUACIONES

EJERCICIOS

Elipse

DEFINICIÓN

Una elipse es el lugar geometrico de un punto que se mueve en un plano, en el cual, la suma de las distancias de dos puntos fijos es siempre igual a una constante, mayor a la distancia entre los dos puntos.

Nota

Elementos de la elipse

elipse vertical

elipse horizontal

Ecuación ordinaria

La deducción de la elipse, en la cual, sabemos que la conica de una elipse está dada por una ecuación: donde a y b son los semiejes. Además la elipse cumple la condición de ser el lugar "lugar geometrico donde los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamado focos, es constante.

ECUACIONES DE LA ELIPSE

EN ORIGEN

FUERA DE ORIGEN

Ecuación con centro en el origen

El mas corto de los dos ejes que pasan por el centro de una elipse. Puntos finales en eje mayor y puntos finales en eje menor, en el cual los valores de h y k son (0,0)

ecuación canonica horizontal

ecuación canonica vertical

El eje mayor es y con un largo de 2a.El eje menor es x con un largo de 2b.

El eje mayor es x con un largo de 2a.El eje menor es y con un largo de 2b.

ecuación general

Ya que los valores de los parametros D y E son 0 no se encuentran en la ecuación.

Ecuación con centro fuera del origen

Es una elipse que se traslada en unidades de manera vertical k y horizontalmente h, su centro se encontrara en (h,k). Podemos usar esta traslación en la ecuacion estandar de una elipse remplazando x con (x-h) y a y con (y-k)

ecuación canonica horizontal

ecuación canonica vertical

El eje mayor es x con un largo de 2a.El eje menor es y con un largo de 2b.

El eje mayor es y con un largo de 2a.El eje menor es x con un largo de 2b.

ecuación general

Condiciones de la elipse

Las condiciones que tiene la elipse y su ecuación son las siguientes:

3 Condición

2 Condición

1 Condición

¿Realmente vas a RESOLVER EJERCICIOS?

SI

No

ENTONCES:

¿Puedes definir el lugar geométrico?

¿Conoces sus ecuaciones?

¿Te aprendiste sus condiciones?

SI

No

EJERCICIOS

NIVEL 2

NIVEL 3

NIVEL 1

Nivel 1

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7,2), vértice A(9,2) y centro C(4,2).

Respuesta

Ejercicio 2

Hallar la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0,4) y que tiene centro en el origen, el eje mayor es horizontal y su excentricidad es 3/5.

Respuesta

Nivel 2

Ejercicio 1

Obtener la ecuación canónica de:

Respuesta

Ejercicio 2

Calcula la ecuación de la elipse horizontal que tiene su centro en el punto C(2,-1) y cuyo eje mayor mide 10 unidades y el eje menor mide 3 unidades y graficarla.

Respuesta

Nivel 3

Ejercicio 1

Respuesta

PARÁBOLa

DEDUCCIÓN

ELEMENTOS

Definición

CONDICIONES

ECUACIONES

POSICIONES

EJERCICIOS

Parábola

DEFINICIÓN

Una parábola como lugar geométrico, es el conjunto de puntos en el plano equidistantes de un punto fijo F (llamado Foco) y una línea D (llamada directriz).

Nota

Elementos de la parábola

Nota

Deducciones DE LA Par´´abola

Vertical

Horizontal

Ecuación Ordinaria

La deducción de la ecuación de una parábola debe cumplir con su definición, aunque para deducirla debemos analizar los casos por separado:

Ecuación Ordinaria

ECUACIONES DE LA Parábola

EN ORIGEN

FUERA DE ORIGEN

pARÁBOLA CENTRO EN EL ORIGEN

Una parábola con centro en el origen, cualquiera que sea su forma, su vértice tendrá coordenadas (0,0).

ABIERTA HACIA Abajo

ABIERTA HACIA ARRIBA

Su foco tendrá coordenadas (0,-p) y su directriz será y=p

Su foco tendrá coordenadas (0,p) y su directriz será y=-p

ABIERTA HACIA la derecha

ABIERTA HACIA la Izquierda

Su foco tendrá coordenadas (-p,0) y su directriz será x=p

Su foco tendrá coordenadas (p,0) y su directriz será x=-p

pARÁBOLA FUERA DEL ORIGEN

Una parábola con centro fuera del origen tendrá que cumplir con las características particulares de cada caso, sin embargo, cualquiera que sea su forma, su vértice tendrá coordenadas (h, k).

Dado que se dedució para cada caso, podemos retomar cada ecuación y plantearlas de forma general para cada caso:

PARÁBOLA VERTical

PARÁBOLA Horizontal

Detallaremos a continuación los elemento según el caso:

pARÁBOLA y sus condiciones

Para poder determinar la ecuación, los elementos o plantear la resolución de un problema, deben existir datos que permitan su resolución.

3 Condición

2 Condición

1 Condición

4 Condición

4 Condición

Todos deben enunciar su dirección, excepto en una familia de parábolas.

Posiciones DE LA Parábola

Horizontal

Vertical

pARÁBOLA hORIZONTAL

ABIERTA HACIA la izquierda

ABIERTA HACIA la derecha

Para este caso el signo de 4p debe ser positivo y es el término y el que debe estar al cuadrado

Para este caso el signo de 4p debe ser negativo y es el término y el que debe estar al cuadrado

pARÁBOLA VERTICAL

ABIERTA HACIA ABAJO

ABIERTA HACIA ARRIBA

Para este caso el signo de 4p debe ser negativo y es el término x el que debe estar al cuadrado

Para este caso el signo de 4p debe ser positivo y es el término x el que debe estar al cuadrado

INFO

¿TE SIENTES listo para RESOLVER EJERCICIOS?

SI

No

ENTONCES:

¿Puedes definir el lugar geométrico?

¿Conoces sus ecuaciones?

¿Te aprendiste sus condiciones?

SI

No

EJERCICIOS

NIVEL 2

NIVEL 3

NIVEL 1

eJERCICIOS nivel 1

Dada la gráfica de la parábola, encuentra la ecuación de la parábola y la coordenada de su foco.

Encuentra la ecuación de la parábola con centro en el origen y foco en (3,0), la longitud del lado recto y la ecuación de su directriz,

Respuesta

Respuesta

eJERCICIOS nivel 2

Una parábola cuyo vértice es el punto V(-5,2) y cuyo eje focal es paralelo al eje x, pasa por el punto (-8,-2). Determinar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

Dada la ecuación:

determina la coordenada del vértice la coordenada de su foco, la ecuación de la directriz, la lonngitud de su lado recto y grafica la parábola.

Respuesta

Respuesta

eJERCICIO nIVEL 3

Dada la ecuación de la circunferencia , determina la ecuación de la parábola que es tangente a la circunferencia y la distancia de su vértice al foco es igual a la mitad del radio de la circunferencia, en los casos donde:

a) El punto de tangencia sea de la recta perpendicular al diámetro y paralelo al eje y. b) El punto de tangencia sea de la recta perpendicular al diámetro y paralelo al eje x.

CONOCIMIENTO PREVIO

Respuesta B

Respuesta A

Revisa al final:

HIPÉRBOLA

DEDUCCIÓN

ELEMENTOS

Definición

CONDICIONES

ECUACIONES

POSICIONES

EJERCICIOS

Hipérbola

DEFINICIÓN

La hiperbola es el lugar geométrico de los puntos que cumplen que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, es positiva, menor a la distancia entre los focos e igual a la distancia entre los vértices.

Elementos DE LA Hipérbola

Gráfica

Características

Elementos

Nota

Elementos

• La Hipérbola y la circunferencia, que se observan a continuación, tienen su centro en O.
• La distancia de O a F1 es el parametro c de la hipérbola y el radio de la circunferencia, por lo tanto, el radio de la circunferencia vale c.
• Las longitudes de los lados del rectangulo representan los valores de los parametros 2a y 2b.
• Se forma un triángulo rectángulo con longitudes iguales a los valores de los parámetros, lo que permite observar su relación usando el teorema de pitágoras.

Deducción DE LA Hipérbola

Parte 1

Parte 2

Deducción de la ecuación ordinaria

Se sabe que la hipérbola es el lugar geométrico que cumple que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es igual a la distancia entre los vértices. Se pueden inferir las distancias desde un punto (x, y) que pertenezca a la hiperbola, hasta los focos, con los parámetros de la hipérbola:

Deducción de la ecuacióno rdinaria

Se escribe como ecuación y se realiza el procedimiento algebraico necesario para simplificarla:

ECUACIONES DE LA Hipérbola

EN ORIGEN

FUERA DE ORIGEN

Hipérbola Con centro en el origen

Se tiene la ecuación ordinaria, en donde h y k representan las coordenadas del centro de la hipérbola, como este estará situado en el origen, y sus valores son constantes, se pueden sustituir por cero, para todas las ecuaciones de la hipérbola con centro en el origen.

Hiperbola horizontal

Hiperbola vertical

Hipérbola Con centro fuera del origen

Hiperbola horizontal

Hiperbola vertical

condiciones de la hiperbola

2 Condición

3 Condición

1 Condición

4 Condición

Posiciones DE LA Hipérbola

Horizontal

Vertical

Hipérbola Horizontal

Considerese (h, k) el centro de la hipérbola

Las ecuaciones de las asíntotas se obtienen a partir de sus parámetros, en la forma punto-pendiente, de modo que el "punto" es el centro de la hipérbola, y la pendiente esta dada por b/a.

Hipérbola vertical

Considerese (h, k) el centro de la hipérbola

Las ecuaciones de las asíntotas se obtienen a partir de sus parámetros, en la forma punto-pendiente, de modo que el "punto" es el centro de la hipérbola, y la pendiente esta dada por a/b.

¿Listo para los EJERCICIOS?

SI

No

ENTONCES:

¿Puedes definir el lugar geométrico?

¿Conoces sus ecuaciones?

¿Te aprendiste sus condiciones?

SI

No

EJERCICIOS

NIVEL 2

NIVEL 3

NIVEL 1

eJERCICIOS nivel 1

Observa las coordenadas de los focos, de los vértices y del centro de la siguiente hipérbola y calcula su ecuación.

Dibuja la gráfica de la hipérbola a partir de los valores de sus parametros:

Respuesta

Respuesta

eJERCICIOS nivel 2

Calcula la ecuación de la hipérbola con centro en (3, 2), a partir de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo, cuyos vértices son los focs de la hipérbola y un punto que pertenecea ella.

Dada la ecuación:dibuja la gráfica del lugar geometrico que representa.

Respuesta

Respuesta

eJERCICIO nivel 3

Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal, cuyas asíntotas son las mismas que las de la hipérbola de cuya ecuación es

Respuesta

METACOGNICIÓN

MARIÁN

JORGE

MARCO

VICENTE

CABALLERO CHAN VICENTE JESUS

Lo que tuve que hacer para crear esta actividad, es que vi tutoriales para ver como funciona Genially, ya que nunca la había usado esta aplicación y pues es muy eficiente de usar. Lo que se me resultó fácil es utilizar la página, pensé que iba a ser difícil, pero fue rápido de entender y de igual manera como geogebra para ver como quedaban las ecuaciones de los lugares geometricos. Lo que se me hizo difícil es al crear los ejercicios, ya que si entendía los conceptos, pero al hacerlos yo y verlos con mis compañeros, sentí que no podía desarrollarlo bien o que salía mal un dato, es lo único que se me dificultó.Al usar este tipo de material, aprendí en caso de los temas, bastantes cosas que incluso en preparatoria me faltaba o no sabía, pero gracias a ello, pude entender más de las cónicas. Y también pude aprender a como utilizar esta aplicación y como hacerla más eficaz.Lo que puedo mejorar es que investigue un poco más a fondo de estos lugares geometricos y que este material sea más detallado en cuanto a la información. Gracias a este tipo de materiales, puedo hacer como docente, un poco más eficaz al momento de dar algunos temas que se me den en un futuro para que de clases.

espadas sánchez marián aidalí

Para realizar este material interactivo, fue indispensable investigar en diversas fuentes, sí bien la profesora proporcionó material con información valiosa, recolecté datos de otros sitios, que considere podrían ayudar a comprender mejor el tema.Uno de los subtemas solicitados, fue la deducción de la ecuación de la cónica a partir de su definición como lugar geométrico, el de la hipérbola fue el más difícil para mí, ya que utilice un video de YouTube cómo guía, pero este deducía la ecuación a partir de una hipérbola con centro en el origen, a lo que tuve que agregar modificaciones para que pudiera funcionar sin esa condición, fue un reto que disfruté bastante. Las repeticiones de graficar cónicas para los ejemplos, sirvió mucho como práctica para familiarizarme con los parámetros, sus relaciones, y sus condiciones, hizo qué el trabajo se fuera haciendo más fácil cada vez. Por otra parte, me hubiera gustado agregar animaciones en las gráficas, que hicieran más evidente la definición de los lugares geometricos. Para la parte de la obtención de la ecuación de la hipérbola, desde su definición como lugar geométrico, un video facilitaría la comprensión de los elementos observados en el plano. También, agregar más casos en donde se utilicen los cuatro cuadrantes, para confirmar que esto funciona, y la hipérbola vertical. Por último, el uso de la definición de lugar geométrico, para comprender a las cónicas en el plano, es una herramienta fundamental para desarrollar una buena comprensión de los parámetros, y percibir sus relaciones. Por ello, este es el aprendizaje más valioso para mí.

Fernández Olán Jorge Eduardo

Comprender el uso de la aplicación de genialy. Aprender el uso de geogebra al construir las conicas y comprender las ecuaciones generales y conicas, y como en cada caso van cambiando las condiciones segun a las caracteristicas de cada uno para poder realizar los ejercicios en el cual compartimos.Lo mas dificil fue lo anterior dicho, aprender el uso y las diferencias de cada una de las ecuaciones generales dependiendo de de la conica en la que se expresa, tambien la utilización de la aplicación de genialy, ya que es un programa nuevo para mi, pero en poco tiempo pude aprender lo basico de esta. Lo mas facil fue utilizar el programa de geogebra, ya que ya habia utilizado la aplicación anteriormente, fue un conocimiento que ya habia practicado antes y que me fue de gran utilidad en este trabajo. Aprendi a utilizar la aplicación de genialy con practica para poder utilizarla en futuros trabajos ya que es una buena opción para presentaciones, tambien comprendí de manera mas convicente el tema de las canónicas. En mi opinión, me hubiera gustado aprender de manera avanzada genialy para poder utilizarlo en este trabajo para un desarrollo creativo. Lo aprendido me ayudara a mi formación de LEM, tambien el comprender el tema contribuye al poder incluir el conocimiento en materias o grados superiores.

PUC CHAN MARCO JESUS

Para el desarrollo del material tuve que aprender a manipular la página genialy, además de aprender comandos y funciones de geogebra para los elementos visuales y las gráficas de las secciones cónicas. En la parte del contenido tuve que aprender a crear ejercicios propios bajo ciertas condiciones y las deducciones de las ecuaciones. Lo más fácil de manipular fue la plataforma, lo más difícil fue deducir las ecuaciones y graficar en geogebra las mismas, además de decidir el nivel de los ejercicios. Aprendí que el desarrollo de cualquier material de aprendizaje conlleva un tiempo considerable de objetos y recursos gráficos que permitan un buen diseño y además sintetice la información de forma clara y precisa. La forma de mejorar el material sería agregando dentro de las deducciones y los ejercicios, otros apartados interactivos o utilizar animación creada por Javascript. Al final aprendí a desarrollar materiales interactivos, que permite enriquecer mi formación como futuro docente.

Conclusiones

El estudio de las secciones cónicas es extenso, las ecuaciones son diversas y existen diferentes formas en las que se pueden plantear los problemas, cada uno de ellos dependiendo de su dificultad, aún así resaltamos su importancia para el estudio posterior de giros en posición y el estudio de familias de secciones cónicas con inclinaciones, además que proporciona un enfoque variacional para el estudio posterior del cálculo, se necesita del tiempo suficiente para su estudio y establece un nuevo reto de comprensión en las matemáticas.

Bibliografía

Anónimo. (s.f.). La Elipse. Obtenido de Matemáticas Baach: http://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Alumnos/Analitica/mat3u6.pdf inGenio dinámico. (2020). Hipérbola: Definición y Demostración de su ecuación matemática. Obtenido de YouTube: https://youtu.be/fin2gJafJoE Lehmann, C. (1989). Geometría Analítica. LIMUSA. MateFacil. (2020). Ecuación de la parábola. Obtenido de YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=GspXzkaEeI8 Matemáticas profe Alex. (2019). Hipérbola trazado y elementos. Obtenido de YouTube: https://youtu.be/Se7nSqmYUJE Oleo, M. d. (s.f.). La parábola. Obtenido de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/eceNTmRp Siurot, M. (s.f.). La circunferencia. Obtenido de Junta de Anda Lucía: https://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-tic/21003232/helvia/sitio/upload/apuntes8____la_circunferencia.pdf Stewart, J. (2007). Precálculo (Quinta ed.). CENGAGE Learning. Swokowski, E. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (Décimo Segunda ed.). (J. H. Muñoz, Trad.) CENGAGE Learning.