Método de Gauss (matrices cuadradas)

Sistemas de Ecuaciones Lineales Simultáneas

Método de Gauss para sistemas con igual número de ecuaciones y de variables

Método de Gauss para sistemas con igual número de ecuaciones y de variables

Autores:Claudia Barraza BolívarVanessa Baeza Olivas Michel Yadira Montelongo Flores Hermes Moreno Álvarez

Diciembre 2022

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Se utiliza para solucionar sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, se basa en transformaciones elementales de renglones (principalmente), aunque también se permiten transformaciones de columnas.La fortaleza principal del método es que funciona para cualquier sistema de ecuaciones lineales, es decir, la matriz de coeficientes puede ser cuadrada o rectangular. Aquí mostraremos 3 ejemplos explicados a detalle. En los 3 casos se trata de matrices con el mismo número de ecuaciones que de variables. En otro trabajo se analizarán los sistemas con diferente número de variables y ecuaciones.

Palabras claveTransformaciones elementales y sustitución hacia atrás

Ejemplo #1

Matriz de coeficientes cuadrada con solución única

Ejemplo #1 Matriz de coeficientes cuadrada con solución única

Paso 1. Formar la matriz aumentada

Ejemplo #1 Matriz de coeficientes cuadarada con solución única

Paso 2. Transormar la matriz aumentada en matriz escalonada

a) Trabajar al primera columna. Hacer pivote (1) el elemento 1,1 y ceros los elementos abajo del pivote, en este caso 2,1 y 3,1Para hacer los pivotes se multiplica el renglón por el inverso del elemento a convertir Para hacer los ceros se multiplica el renglón pivote por el opuesto del elemento que se desea convertir en cero y se suma con el renglón implicado

Ejemplo #1 Matriz de coeficientes cuadarada con solución única

Paso 2. Transormar la matriz aumentada en matriz escalonada

b) Trabajar al segunda columna. Hacer pivote (1) en el renglón 2; para este caso es el elemento 2,2, que en el paso anterior, por casualidad, quedó listo. También hay que convertir en ceros los elementos abajo del pivote, en este caso el elemento 3,2Para hacer los pivotes se multiplica el renglón por el inverso del elemento a convertir Para hacer los ceros se multiplica el renglón pivote por el opuesto del elemento que se desea convertir en cero y se suma con el renglón implicado

Ejemplo #1 Matriz de coeficientes cuadarada con solución única

Paso 2. Transormar la matriz aumentada en matriz escalonada

c) Trabajar la tercera columna. Hacer pivote (1) en el renglón 3; para este caso es el elemento 3,3,Para hacer los pivotes se multiplica el renglón por el inverso del elemento a convertir. Para hacer los ceros se multiplica el renglón pivote por el opuesto del elemento que se desea convertir en cero y se suma con el renglón implicado

Ejemplo #1 Matriz de coeficientes cuadarada con solución única

Paso 3. Formar las ecuaciones resultantes y hacer sustitución hacia atrás

Cada renglón no nulo es una ecuación.

Ejemplo #1 Matriz de coeficientes cuadarada con solución única

Paso 3. Formar las ecuaciones resultantes y hacer sustitución hacia atrás

Sustituir los valores de la última ecuación en la anterior. A medida que se van encontrando valores de variables se van sustituyendo en ecuaciones de "más arriba" hasta encontrar todos los valores de las variables.

Ecuación 1

Ecuación 2

Ecuación 3

Ejemplo #1 Matriz de coeficientes cuadarada con solución única

Paso 3. Formar las ecuaciones resultantes y hacer sustitución hacia atrás

Sustituir los valores de la última ecuación en la anterior. A medida que se van encontrando valores de variables se van sustituyendo en ecuaciones de "más arriba" hasta encontrar todos los valores de las variables.

y despejar

en

sustituir

en

Sustituir

Solución Única

Ejemplo #2

Matriz de coeficientes cuadarada con solución múltiple

Un sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes cuadarada

De aquí partimos...

Multiplicando el pivote por el opuesto del elemento que queremos convertir en cero y sumarlo precisamente con el renglón involucrado, donde está elemento que queremos convertir en cero.

Ya se tiene el pivote en la posición 1,1, entonces pasamos a convertir en ceros los elementos 2,1 y 3,1

¿Cómo?

Enseguida hacemos el pivote, que esta vez se encuentra en la posición 2,2. ¿Cómo?, multiplicando el renglón 2 por el inverso del elemento que queremos convertir en 1. En esta ocasión se trata de un -1, por lo que se puede convertir en 1 solo con multiplicar el renglón 2 por -1

Luego se convierten en cero los elementos abajo del pivote, en este caso es el elemento 3,2

Como puede observarse, al hacer la operación entre renglones, se elimina el último renglón. Al ya no haber más pivotes por hacer, la etapa de transformaciones termina e inicia la de sustitución hacia atrás para encontrar el valor de las variables.

La matriz resultante se convierte a ecuaciones

Quedan 2 renglones no nulos, es decir, 2 ecuaciones, y 3 columnas no nulas, es decir 3 variables. Se observa una diferencia de 1 entre la cantidad de variables y la cantidad de ecuaciones, por lo que en la solución habrá una varaible libre, también llamada varible de holgura o variable por asignar. La variable libre es la que no tiene pivote y se identifica con la variable k, donde k puede ser cualquier número real.

Una vez que están formadas las ecuacines, se hace la respectiva sustitución hacia atrás.

entonces la sustituimos en la ecuación

Si

y queda de la siguiente manera

y por último sustituímos para despejar x1

Solución múltiple

Por lo tanto, se dice que el sistema tiene muchas soluciones, tantas como valores tenga k y k puede tomar cualquier valor de número real.

Ejemplo #3

Matriz de coeficientes cuadarada sin solución

Sistema con 3 ecuaciones y 3 variables, se forma la matriz aumentada

Se hace el pivote en el elemento 1,1

Se convierten en ceros los elementos abajo del pivote, en este caso, los elementos 2,1 y 3,1

Se continúa haciendo pivotes y ceros...

Toca hacer pivote el elemento 2,2

Se convierten en ceros los elementos abajo del pivote, en este caso, el elemento 3,2

El último renglón muestra una inconsistencia al decir que

por lo tanto el sistema no tiene solución

Bibliografía

1. Fundamentos de Álgebra Lineal. Ron Larson. Séptima Edición. 2013

¡Gracias!