Álgebra Booleana

Álgebra Booleana

Garcia Estrada Nancy Rivera Sánchez Elizabeth

Índice

5 Compuertas logicas

1. Introduccion

6. Aplicaciones del Algebra Booleana

2. Expresiones Booleanas

3. Propiedades de las expresiones Booleanas

7. Bibliografía

8. Equipo

4. Optimizacion de expresiones Booleanas

9. Gracias

INTRODUCCIÓN

El álgebra booleana fue desarrollada por George Boole y en su libro “An Investigation of the Laws of Thought”, publicado en 1854, muestra las herramientas para que las proposiciones lógicas sean manipuladas en forma algebraica. no tuvo una aplicación directa sino hasta 1938 en que la compañía de teléfonos Bell de Estados Unidos la utilizó para realizar un análisis de los circuitos de su red telefónica..

Claude E. Shannon, a partir del álgebra de Boole creó la llamada álgebra de conmutación para representar las propiedades de conmutación eléctrica biestables, demostrando con esto que el álgebra booleana se adapta perfectamente al diseño y representación de circuitos lógicos de control basados en relés e interruptores.

Los circuitos lógicos de control tienen una gran importancia ya que las computadoras, los sistemas telefónicos, los robots y cualquier operación automatizada en una empresa, son algunos de los ejemplos de la aplicación de éstos y del algebra booleana.Una señal es la representación de información, y puede aparecer en forma de valor o de una cadena de valores de una magnitud física. Existen principalmente dos clases de señales: analógicas y digitales.

Señales Analogicas y digitales

🔻Presionar las imagenes

El álgebra booleana es una extensión de la lógica matemática, ya que utiliza los mismos principios y operadores lógicos (and, or, not, xor, nand, nor) así como los mismos valores,

Gracias a esto John Von Neuman pudo crear la computadora de la primera generación.

Expresiones Booleanas

Expresiones Booleanas

El álgebra booleana trabaja con señales binarias. Al mismo tiempo una gran cantidad de sistemas de control, también conocidos como digitales, usan señales binarias y éstas son un falso o un verdadero que proviene de sensores que mandan la información al circuito de control, mismo que lleva a cabo la evaluación para obtener un valor que indicará si se lleva a cabo o no una determinada actividad. En cada uno de estos grupos de sensores existen tipos, tamaños y modelos, de acuerdo con el uso y funcionamiento, de forma que existen infrarrojos, láser, fotoeléctricos y de ultrasonido, entre otros. Para resolver un problema práctico en el cual se desea automatizar un proceso, es necesario realizar un análisis detallado de lo que se quiere lograr, así como de los tipos de sensores necesarios para obtener las señales.

Propiedades de las Expresiones Booleanas

Las expresiones booleanas poseen las siguientes propiedades:

Las literales de las expresiones booleanas pueden estar conectadas por medio de los operadores lógicos And (∧), Or (∨) y Not (′).

Están compuestas de literales (A, B, C, ...) y cada una de ellas representa la señal de un sensor. Un ejemplo es F=A′BD + AB′CD.

El valor de las señales o de la función sólo puede ser 0 o 1, falso o verdadero.

El operador And es una multiplicación lógica que se indica por medio de un paréntesis, un punto o simplemente poniendo juntas las variables que se multiplican, por ejemplo el producto de A y B se expresa como (A)(B) = A .B = AB; el Or es una suma lógica que se indica con el signo +; y el operador Not es el complemento o negación de una señal que se indica por un apostrofo (′)

Además de literales, en la expresión booleana se puede tener el valor de 0 o 1. Por ejemplo: F = A′BD1 + AB′CD + 0.

Ejemplo

F = A′BD1 + AB′CD + 0= A′ ∧B ∧D ∧1 ∨A ∧B′ ∧C∧D ∨0

Es posible obtener el valor de una expresión booleana sustituyendo en cada una de las literales el valor de 0 o 1, teniendo en cuenta el comportamiento de los operadores lógicos. En las siguientes tablas se muestra la manera en la que se aplica esta propiedad:

OR

NOT

AND

Optimización de expresiones booleanas

Problemas

Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida no necesariamente es la óptima, esto es, la más fácil, clara y sencilla de implementar utilizando compuertas lógicas. La expresión que resulta del planteamiento del problema puede ser simplificada empleando para ello teoremas y postulados del álgebra booleana o bien mapas de Karnaugh.

Simplificacion de expresiones booleanas mediante ek álgebra de Boole

Los teoremas que se van a utilizar se derivan de los postulados del álgebra booleana, y permiten simplificar las expresiones lógicas o transformarlas en otras que son equivalentes. Una expresión simplificada se puede implementar con menos equipo y su circuito es más claro que el que corresponde a la expresión no simplificada.

🔸Presionar en los recuadros

Compuertas Lógicas

Un bloque lógico es una representación simbólica gráfica de una o más variables de entrada a un operador lógico, para obtener una señal determinada o resultado. Los símbolos varían de acuerdo con la rama donde se utilizan, o bien del fabricante. Cada bloque lógico representa un dispositivo que permite manipular la señal según el campo de acción: en mecánica se les llama válvulas (paso del aire o aceite); en electricidad apagadores, contactos (paso de corriente eléctrica); y en electrónica puertas o compuertas (paso de pulsos eléctricos). En este libro sólo se abordarán los símbolos usados en electrónica para la representación de las compuertas, ya que son los que interesan al área de la computación, sin embargo, el tratamiento teórico por medio del álgebra booleana es válido para todos ellos independientemente del área.

Compuertas Básicas

Ejemplo

Aplicaciones del álgebra booleana

Los dispositivos con los que se implementan las funciones booleanas se llaman “compuertas”, y al combinarse han permitido inicialmente la creación del “bulbo”, posteriormente la del “transistor” y actualmente la del “chip”, elementos con los cuales se construye todo tipo de aparato electrónico digital.La electrónica digital es una parte de la electrónica que maneja información codificada en dos únicos estados: “falso” y “verdadero”, o más comúnmente 0 y 1. Electrónicamente se asigna a cada uno un voltaje o rango de voltaje determinado. Esta particularidad permite que, usando el álgebra booleana y con un sistema de numeración binario, se puedan realizar complejas operaciones lógicas o aritméticas sobre señales de entrada

EJEMPLO

Las microoperaciones que lleva a cabo el microprocesador se realizan en lenguaje binario a nivel bit. Por ejemplo, si A = 110010, B= 011011 entonces el resultado de llevar a cabo las siguientes operaciones en donde intervienen los operadores lógicos (∧, ∨, ⊕, ′) es:

A ∧B = 110010 ∧011011 =010010 A ∨B = 110010 ∨011011 = 111011 A ⊕B = 110010 ⊕011011 = 101001 A′ = (110010)′ = 001101

LóGICA Aritmética

En cada computadora está integrada por las memorias ROM (Read Only Memory: Memoria de sólo lectura) y RAM (Random Access Memory: Memoria de acceso aleatorio). Cuando arranca una computadora, ésta debe saber qué hacer, lo cual implica que pueda correr un pequeño programa que le indique lo que debe realizar, qué programas debe ejecutar y en qué lugar debe comenzar. Esta información se guarda en un pequeño programa de sólo lectura que recibe el nombre de ROM,el cual está en lenguaje binario y utiliza operadores lógicos del álgebra booleana para la manipulación de la información.

Explicación de Lógica Aritmética

La RAM puede borrarse y grabarse las veces que se desee, la desventaja es que la información grabada en ella sólo se puede utilizar mientras se tenga energía, y se usa como almacenamiento temporal. Existen dos variantes para la memoria RAM: SRAM y DRAM. La SRAM es conocida como memoria estática y en ella los valores binarios o información que se almacena utilizan compuertas del álgebra booleana, por lo que mientras se tenga energía la información en ella se mantendrá intacta. La DRAM es conocida como memoria dinámica y

está hecha con celdas que almacenan los datos como cargas en condensadores; la presencia o ausencia de carga en el condensador se interpreta como 1 o 0 binarios, manipulados mediante álgebra booleana. La DRAM es una memoria que requiere refrescarse periódicamente para mantener memorizados los datos, de ahí el nombre de memoria dinámica

Ejemplo que muestra como se realiza un proceso de control de calidad

Función Boleana del ejemplo ANterior

La función booleana que equivale a la tabla de verdad anterior es: F =A′B′C′D + A′B′CD + AB′C′D + AB′CD′+AB′CD Esto implica que el refresco será extraído de la banda de transportación en cualquiera de los siguientes casos, ya que para cualquiera de ellos se tiene que F = 1

A = 0 B = 0 C = 0 D = 1A = 0 B = 0 C = 1 D = 1 A = 1 B = 0 C = 0 D = 1 A = 1 B = 0 C = 1 D = 0 A = 1 B = 0 C = 1 D = 1

Bibliografía

Jiménez, J. (2008). “Matemáticas para la computación”. (1ra. Ed.). México: Alfaomega

Equipo

Garcia Estrada Nancy

Rivera Sánchez Elizabeth

No. Control: 21280562

No. Control; 22280239

¡Muchas Gracias!