INFOGRAFIA DE FUNCIONES

funciones cuadráticas

Las parábolas tienen forma de ∪ (si a > 0 ) o de ∩ (si a < 0 ). Además de la orientación, el coeficiente a es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es | a | , más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.

difinición

Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma

Vértice

La primera coordenada del vértice es

Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a < 0 ) o un mínimo (si a > 0 ). Este punto es el vértice de la parábola.

Y la segunda coordenada es su imagen:

Calculamos el vértice de la función

Identificamos los coeficientes:

Calculamos la segunda coordenada:

Como a es negativo, la parábola tiene forma de ∩ . El vértice es un máximo. La primera coordenada del vértice es

Por tanto, el vértice es el punto

formas factorizadas y canónicas

forma factorizada

donde a es el coeficiente principal (visto anteriormente); x 1 y x 2 son las soluciones de la ecuación a x 2 + b x + c = 0 . Si la ecuación a x 2 + b x + c = 0 no tiene soluciones, no podemos factorizar la función. Si la ecuación sólo tiene una solución, x 1 , la forma factorizada es f ( x ) = a ( x − x 1 ) 2 .

Ejemplo

En el ejemplo anterior vimos que los puntos de corte con el eje X de la función f ( x ) = x 2 − 1 son ( 1 , 0 ) y ( − 1 , 0 ) . Por tanto, la forma factorizada de esta función es

forma canónica

donde a es el coeficiente principal visto ya; h es la primera coordenada del vértice y k es la segunda.

Ejemplo

Vimos en un ejemplo que el vértice de la función f ( x ) = − 2 x 2 + 3 es ( 3 / 4 , 9 / 8 ) . Por tanto, su forma canónica es

intersección de dos parábolas

Podemos preguntarnos si las gráficas de dos funciones se cortan entre sí. Para resolver esta pregunta, tenemos que igualar las funciones y resolver la ecuación resultante.

función continuay descontinua

Una función f es continua en el punto x = a si el límite de la función por ambos lados de a coincide con su imagen, f ( a ) . Es decir, f es continua en a si

Si esto no ocurre, o bien, no existe f ( a ) , se dice que f es discontinua en el punto x = a . Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.

Casos generales

Podemos asegurar de antemano la continuidad de algunas funciones: Una función polinómica es continua en todos los reales. Una función racional es continua en los reales que no anulan su denominador. Una función logarítmica es continua en los reales que hacen su argumento positivo.

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Ejemplo

La función f ( x ) = 1 / x no es continua en 0 porque sus límites laterales no coinciden y, además, no existe la imagen de 0 :

Ejemplo de una función no continua:

Ejemplo de una función continua:

funcionees de demanda

definición

Una función de demanda es una representación matemática de la relación entre la cantidad demandada de un bien y servicio y uno o más determinantes de la misma. Los determinantes más importantes de la demanda son el precio del bien o servicio en cuestión, el precio de bienes complementarios y sustitutos, y el nivel de ingreso.

Entonces, la función de demanda tiene la siguiente estructura:

Di = F(Pi, Pj, Pk, ... , I)

Donde Di representa la cantidad demandada del bien o servicio i, F se refiere a que estamos ante una función, e i, j, k, ... son todos los bienes y servicios sustitutos o complementarios, e I es el ingreso disponible.

Uno de los determinantes más importantes de la demanda es el precio del bien que se está analizando. Si se aíslan todos los demás determinantes de la demanda, la estructura de la función de demanda adquiere la siguiente forma:

Determinantes de la demanda

• Bienes normales.
• Cambio de preferencias.
• Bienes complementarios.
• Suplentes.
• Tamaño del mercado.
• Expectativas de precio.

Di = F(Pi)

curva de demanda

Se denomina curva de demanda a la representación gráfica de la función de demanda. En la curva de demanda, se coloca el precio del bien en el eje vertical (Y) y a la cantidad demandada en el eje horizontal (X).

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Cuanto estamos ante una función de demanda que incluye únicamente al precio como único determinante, tomando el resto como elementos externos al modelo, y se produce una variación en el precio; estamos ante un movimiento sobre la curva de demanda, porque la curva de demanda no se modifica. Solo el punto que representa la demanda se traslada de un punto a otro sobre la misma curva de demanda. La función de demanda no cambia.

Siguiendo sobre la misma función de demanda que incluye solo al precio como interno al modelo, y se produce un cambio en el nivel de ingreso o en el precio de un bien sustituto o complementario, estamos ante un desplazamiento de la curva de demanda, porque la curva de demanda se modifica. En este caso, también cambia la función de demanda.

funciones de ofertas

La función de oferta es la ecuación que representa la cantidad fabricada de un bien en función de su precio y/o otras variables relevantes.

formula

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Características de la función de oferta

• La ecuación debe reflejar una relación positiva entre la cantidad ofertada y el precio del producto. Esto, debido a que los vendedores estarán dispuestos a llevar más stock al mercado si les pagarán más por su bien o servicio, y viceversa. A esto se le conoce como ley de oferta.
• La función refleja la disposición a vender de la empresa, más no la cantidad final que se terminará transando en el equilibrio de mercado.
• Un incremento de los costes de producción implica que la curva de oferta se desplaza hacia la izquierda. Lo anterior quiere decir que está aumentando el precio mínimo aceptado por la empresa a cambio de su producto(p1>p2), como observamos en la siguiente imagen:

función de ingreso

CONCEPTO

Los ingresos totales son el efectivo que el fabricante o el productor recibe por la venta de su producción. Relaciona a las cantidades vendidas por el precio de cada una de ellas, es decir:

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Ingreso total = (precio por unidad).(número de unidades vendidas)

I(X) = P . Q

El precio algunas veces lo rige el mercado, por lo cual se pude determinar que la variable “p” estará determinada por la función de demanda en el mercado, es decir:

Ingreso total = (función de demanda).(número de unidades vendidas)

I(X) = F(X) . Q

De la función ingreso no se puede definir si es una función creciente o decreciente, ya que la misma está relacionada con la venta de unidades. Para determinar el ingreso promedio o ingreso medio, se deberá dividir el ingreso total por la cantidad vendida.

FUNCIONES DE COSTO Y DE UTILIDAD

CONCEPTO

Los costos fijos (o gastos generales) son la suma de todos los costos que son independientes del nivel de producción, como el alquiler, los seguros, etc. Este costo debe pagarse independientemente de que se produzca o no algún nivel de producción.

Los costos variables son la suma de todos los costos que dependen del nivel de producción, como la mano de obra, materiales, cantidades producidas, etc.

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Costos totales = costos variables + costos fijos

funcion de utilidad

La utilidad, en microeconomía, es una medida de la satisfacción de una persona al consumir un bien o servicio. Si bien la utilidad es un concepto subjetivo que no se puede medir, es posible simularla utilizando funciones de utilidad, que relacionan la "cantidad" de utilidad con la cantidad consumida de ciertos bienes o servicios. Esta medida de utilidad se denomina utilidad "cardinal".

Ley de los rendimientos marginales decrecientes: la función de utilidad es cóncava, su derivada parcial (la utilidad marginal) es decreciente. -

• Aversión al riesgo: utilidad marginal decreciente.
• Indiferente al riesgo: Función de utilidad recta, con origen en 0.
• Amante del riesgo: utilidad marginal creciente.

Las funciones de utilidad se suelen expresar como U(x1,x2,x3…), lo que significa que U (nuestra utilidad) es la función de las cantidades de los bienes x1,x2,x3, etc. Si A es una cesta de bienes y tenemos que , entonces U(A)>U(B). Es decir, si preferimos A sobre B es porque nos aporta una mayor utilidad.