FUNZIONI ESPONENZIALI

funzioni esponenziali

per parlare di funzioni esponenziali bisogna fare un passo indietro:

LE POTENZE:

la potenza non è altro che una moltiplicazione ripetuta che ha una base e un esponente

a^x

esempio: 5^7= 5·5·5·5·5·5·5

potenza

la potenza ci aiuta a non dover scrivere tutte queste volte il 5

PROPRIETA' DELLE POTENZE:

ESEMPIO

DEFINIZIONE

3^5 3^2= 3^5+2= 3^8 2^5 3^5= (2·3)^5= 6^5 4^5: 4^2 = 4^5-2= 4^3 6^5 : 3^5= (6:3)^5= 2^5

• IL PRODOTTO DI 2 POTENZE CON LA STESSA BASE E UGUALE AD UNA POTENZA CHE HA COME BASE LA STESSA BASE E COME ESPONENTE LA SOMMA DEGLI ESPONENTI

a^n a^m= a^n+m

• IL PRODOTTO DI DUE POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE E' UGUALE AD UNA POTENZA HA COME BASE IL PRODOTTO DELLE BASI E COME ESPONENTE LO STESSO ESPONENTE

a^n b^n= (ab)^n

• IL QUOZIENTE TRA DUE POTENZE CON LA STESSA BASE E' UGUALE AD UNA POTENZA CHE HA COME BASE LA STESSA BASE E COME ESPONENTE LA DIFFERENZA DEGLI ESPONENTI

a^n: a^m= a^n-m

• IL QUOZIENTE TRA DUE POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE E' UGUALE AD UNA POTENZA CHE HA COME BASE IL RAPPORTO TRA LE DUE BASI E COME ESPONENTE LO STESSO ESPONENTE

a^n: b^m= (a:b)^n

FUNZIONIESPONENZIALI

introduzione e prinicipali caratteristiche

le funzioni esponenziali sono tutte quelle funzioni che si presentano nella forma con a numero reale positivo e diverso da 1 y= a^x ≠1

base della funzione

la caratteristica chiave che le distingue da tutte le altre funzioni è che l'incognita è contenuta nell'esponente

perchè nel caso fosse a=1 si avrebbe y=1^x= 1 ma un numero elevato a un qualunque numero reale da sempre 1

FUNZIONE COSTANTE(retta orizzontale)

per descrivere le caratteristiche delle funzioni esponenziali distinguiamo i due casi:

a>1

0<a<1

+ esercizio

+ esercizio

FUNZIONIESPONENZIALI

CASO a>1scegliamo per esempio, a=2, la funzione da studiare è quindi y=2^X RAPPRESENTIAMO GRAFICAMENTE:

poichè 2^x è positivo per qualunque valore di x, il grafico della funzione esponenziale y= 2 si trova interamente "sopra" l'asse x inoltre esso: - interseca l'asse y nel punto (0;1) - non interseca mai l'asse x, perchè non esiste alcun valore di x tale che risulti 2^x=0 - ha andamento crescente; perchè al crescere dell'esponente cresce il valore della potenza

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CASO 0<a<1scegliamo per esempio, a= 1/2, la funzione da studiare è quindi y= (1/2)^x RAPPRESENTIAMO GRAFICAMENTE:

poichè (1/2)^x è positivo per qualunque valore di x, il grafico della funzione esponenziale si trova interamente "sopra" l'asse x inoltre esso: - interseca l'asse y nel punto (0;1) - non interseca mai l'asse x - ha andamento descrescente; perchè al crescere dell'esponente decresce il valore della potenza

scopri di piu

equazioni esponenziali

un equazione si dice esponenziale quando contiene almeno una potenza con l'incognita nell'esponente

2^x+3=7

si presentano nella forma a^x= b con a<0 e a≠1

certo numero reale

forma esponenziale

quante soluzioni ci sono?

• NESSUNA se b è un numero negativo o se b= 0
• UN'UNICA soluzione se >0

equazioni esponenziali

esercizi

1. 2^X= 8 bisogna trovare il valore da dare all'esponente x affinche2^x sia effettivamente uguale a 8 soluzione: 2^x= 2^3 x=3

2. 3^x= 1/9 possiamom trasformare questo 1/9 come se fosse una potenza di 3 soluzione: 3^x= 1/3^2 3^X= 3^-2 (per portarlo al numeratore basta cambiare il segno) x= -2

3. 2^5-3x= 1/8 soluzione: 2^5-3x= 1/2^3 2^2-3x= 2^-3 avendo le basi uguali riscriviamo cosi: 5-3x= -3 -3x= -3-5 x= 1/8