Teorema de Rolle y de valor medio

Presentación

Teroma de Rolle y TVM

Entiende de 0 a 100 cada uno de estos teoremas aplicado a DERIVADAS

DEFINICION DE CADA UNO y CARACTERÍSTICAS

¿En que consiste cada teorema?

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

El teorema enuncia que si F es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b) entonces existe un punto c en (a,b) tal que la recta tangente en el punto c es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b).

CARACTERISTICAS DEL TVM

Esta formula también es empleada para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos

F’ ( c) = f( B) – f(a) b-a

Con este teorema se busca concluir que la pendiente de la recta tangente será igual que la pendiente de la recta que pasa por a y b

TEOREMA DE ROLLE

Demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor que está en los extremos del intervalo es el mismo

CARACTERISTICAS DEL TEOREMA DE ROLLE

El teorema asegura que existe al menos un número c entre a y B

Y=f(x) 1.- Es continua en el intervalo [a, B] 2. Es derivable en el intervalo (a, B) 3.- F(a) = f(B) Esto implica que: c € (a, B). Tal que f’´(c)=0

La recta tangente a una curva en el punto C tiene pendiente cero, o sea que es paralela al eje x.

EJEMPLOS DE CADA TEOREMA

Te explicamos a detalle como resolverlos

EJEMPLOS DE TVM

Encuentra "c" para la función: f(x) = x2 Intervalo: (1,2)

1.- Es continua en el intervalo [a, B] 2. Es derivable en el intervalo (a, B) Entonces, existe c € (a, B). Tal que f '(x)=f (b)- f (a)

1.- Primero hay que corroborar si la función es continua y ver si es derivable. 2.- Derivar la función. f' '(x) = 2x 3- Sacar la pendiente. 22 -12 5- se calcula "c" f '(c)= 2c=3......... c=3/2

b-a

=3

2-1

EJEMPLOS DE TVM

Encuentra "c" para la función: f(x) = x2 - 2x Intervalo: (-2,0)

1.- Es continua en el intervalo [a, B] 2. Es derivable en el intervalo (a, B) Entonces, existe c € (a, B). Tal que f (b)- f (a) = f’(c )

1.- Primero hay que corroborar si la función es continua y si es derivable. 2.- Derivar la función. f' '(x) = 2x-2 3- Sacar la pendiente. (0)2 -2(0)-[(-2)2 -2(-2)] = -8/2=-4 4- se calcula "c" f '(c)= 2c-2=-4......... 2c=-4+2.................c=-2/2=-1

b-a

0-(-2)

EJEMPLOS DE TVM

Encuentra "c" para la función: f(x) = x3-x2-2x+4 Intervalo: (1,3)

1.- Es continua en el intervalo [a, B] 2. Es derivable en el intervalo (a, B) Entonces, existe c € (a, B). Tal que f (b)- f (a) = f’(c )

1.- Primero hay que corroborar si la función es continua y si es derivable. 2.- Derivar la función. f' '(x) = 3x2-2x-2 3- Sacar la pendiente. 16-2 = 7 4- se calcula "c" f '(c)= 3c2-2c-2=7......... 3c2-2c-9=0 se resulve con formula general c1=2.1 c2=-1.43

b-a

3-1

EJEMPLOS DE TEOREMA DE ROLLE

Encuentra "c" para la función: f(x) = x³ - 2x² + x + 6 Intervalo: (0,1)

1.- Es continua en el intervalo [a, B] 2. Es derivable en el intervalo (a, B) 3. F(a) = f(B) Esto implica que c € (a, B). Tal que f’ ( c)=0

1.- Primero hay que corroborar si la función es continua y si es derivable. 2.- Corroborar si f(a) = f(b). f(0) = 6 y f(1) = 6 3.- Derivar la función e igual a cero: f(x) = 3x² - 2x + 1 = 0 4.- Calcular números que al sustituirlos den 0: x1 = 1 y x2= 1/3 5.- De ahí se descarta el 1 ya que es un intervalo cerrado y queda 1/3, el cual indica el valor entre (0,1) 6.- Comprobar tangente en la grafica

EJEMPLOS DE TEOREMA DE ROLLE

Encuentra "c" para la función: f(x) = x² - 5x + 4 Intervalo: (1,4)

1.- Es continua en el intervalo [a, B] 2. Es derivable en el intervalo (a, B) 3. F(a) = f(B) Esto implica que c € (a, B). Tal que f’ ( c)=0

1.- Primero hay que corroborar si la función es continua y si es derivable. 2.- Corroborar si f(a) = f(b). f(1) = 0 y f(4) = 0 3.- Derivar la función e igual a cero: f(x) = 2x - 5 = 0 4.- Calcular números que al sustituirlos den 0: x1 = 5/2 5.- Al ser la única solución 5/2, este indica el valor entre (1,4) 6.- Comprobar tangente en la grafica

EJEMPLOS DE TEOREMA DE ROLLE

Encuentra "c" para la función: f(x) = 2x² - 2x Intervalo: (0,1)

1.- Es continua en el intervalo [a, B] 2. Es derivable en el intervalo (a, B) 3. F(a) = f(B) Esto implica que c € (a, B). Tal que f’ ( c)=0

1.- Primero hay que corroborar si la función es continua y si es derivable. 2.- Corroborar si f(a) = f(b). f(0) = 0 y f(1) = 0 3.- Derivar la función e igual a cero: f(x) = 4x - 2 = 0 4.- Calcular números que al sustituirlos den 0: x1 = 2/4 o 1/2 5.- Al ser la única solución 1/2, este indica el valor entre (0,1) 6.- Comprobar tangente en la grafica

EJERCICIOS CON TEOREMA DE ROLLE Y VALOR MEDIO

Es tiempo de aplicar todo lo que aprendiste...

EJERCICIOS ROLLE

Estudia si la funcion: f(x) = x - x³ satisface las condiciones de Rolle en (-1,0) y (0,1) Encuentra "c"

Comprueba si existe un valor "c" para la función: f(x) = x³ - x² en el intervalo (0,1)

VS

2do Ejercicio

1er Ejercicio

EJERCICIOS VALOR MEDIO

¿Cual es la pendiente de "c" aplicando TVM en la función:? f(x) = 2x³ - 3x² + x en el intervalo (1,3)

Se puede aplicar el TVM a la función: f(x) = 4x² - 5x + 1 en el intervalo (0,2) Encuentra "c"

VS

2do Ejercicio

1er Ejercicio

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