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5PM3 Un primer bosquejo de la gráfica de una función

Carolina Chávez

Created on November 4, 2022

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Un primer bosquejo de la gráfica de una función.

Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto / Mat. Andrés Alonso Flores Marín, Coordinador M. en C. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Coordinador académico / M. en C. José Luis Álvarez López, Coordinador de facilitadores / M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora de facilitadores Mtro. Francisco Rivera Ramírez, Diseño académico / Mat. Carla Alejandra Rivera Ramírez, Diseño académico / M. en C. Guadalupe Yañez Barrón, Diseño académico / Dra. Itzel Ricaño Cornejo, Diseño académico Lic. Guillermo Vázquez Zepeda, Diseño académico / Mtra. María Concepción García Rábago, Diseño académico / Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Diana Rivera Hernández, Diseño académico Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional / M. en C.C. Citlali Medal Medellín, Diseño instruccional

Las funciones determinan la relación que existe entre dos magnitudes y son usadas para modelar situaciones en la vida real, por ejemplo, la temperatura promedio del planeta al paso del tiempo; la trayectoria de un objeto a los t segundos de ser lanzado; la presión de un gas, a temperatura constante, si el volumen cambia, etcétera. Por estas razones, es importante desarrollar herramientas que nos ayuden a estudiar funciones. Una de estas herramientas es visual, la gráfica de una función.

¿Y cómo se dibuja la gráfica de una función?

La manera más natural de proceder es calcular algunos valores para la función y registrarlos en una tabla para obtener algunos puntos de la gráfica.

Ejemplifiquemos este proceso con la función f que a cada número (x) le asigna su cuadrado (x²), es decir, f(x)=x² y consideremos los valores 0, 1 y 2 para x.

Luego, ubicamos las parejas ordenadas de números en el plano cartesiano.

La cantidad de valores que elegimos para la variable x fue arbitraria, así que, sin problema, podemos elegir más. Por ejemplo, 0, 0.5, 1, 1.5 y 2.

Y ubicamos estos puntos en el plano cartesiano.

Elegimos más valores para x.

De esta manera obtenemos más puntos en el plano cartesiano que pertenecen a la gráfica de la función f(x)=x².

De continuar con este proceso, ¿en algún momento terminaremos? ¿cuántos puntos tiene la gráfica? Dado que el dominio de la función f es el conjunto de números reales, debemos obtener un punto de la gráfica de f por cada número real. Así, graficar punto por punto no es la mejor opción para obtener la gráfica de f. ¿Se puede hacer algo al respecto?

Intentemos resolver este problema de otra manera. Para ello, recordemos que el conjunto de los números reales está en correspondencia uno a uno con una recta, la recta real. Es decir, por cada número tenemos un punto en la recta y por cada punto en la recta tenemos un número real. Ahora, como hemos observado antes, la recta real no tiene “hoyos”, así que, por cada punto (x,0) en el eje X (la recta real) debe existir un punto de la gráfica (x,f(x)) que además se encuentre sobre la recta perpendicular al eje X por el punto (x,0).

Una manera de cumplir con el requisito de que haya un punto sobre cada recta perpendicular al eje X, es unir los puntos de la gráfica que obtuvimos anteriormente.

Por supuesto que no estamos afirmando que los puntos en las intersecciones de los segmentos con las perpendiculares al eje X sean parte de la gráfica, pero sí que este bosquejo es parecido a la gráfica de f.

Más adelante contaremos con más herramientas para mejorar este bosquejo de gráfica, pero por ahora podemos echar mano de algún software para obtener la gráfica de f y compararla con lo que hemos realizado.

Es muy poca la diferencia, ¿no? O ¿será que estamos muy “lejos”?

Hagamos un zoom

¿Uno más?

Como hemos notado con los acercamientos anteriores, aún hay diferencia entre nuestro bosquejo de gráfica y la gráfica real de nuestra función. Lo anterior no debe sorprendernos pues solo hemos tomado una cantidad finita de puntos para aproximar la gráfica de la función. De hecho, podemos utilizar nuestros aprendizajes de trayectoria (PM2) para hacer más notoria está diferencia.

Consideremos x=1/2 y veamos porqué el bosquejo que obtenemos uniendo los puntos (0,0), (1/2,1/4) y (1,1) (en color azul) queda por “arriba” de la gráfica de f.

Analicemos primero que sucede si

En este caso tenemos que y , por lo que

De aquí que

Aquí debemos notar que y=(1/2)x es la ecuación del segmento que une los puntos (0,0) con (1/2,1/4), por lo que queda justificado que el segmento quede por "encima" de la grafica de la función.

Veamos ahora qué ocurre si

En este caso, tenemos que y , por lo que

Se sigue que

Aquí, y=(3/2)x-(1/2) es la ecuación del segmento que une los puntos (1/2,1/4) con (1,1). Esto muestra porqué el segmento queda por "encima" de la gráfica de la función.

Aunque nosotros solo hemos considerado un punto entre el 0 y el 1, no importa la cantidad que se consideren, pues de manera similar se puede demostrar que los segmentos que usamos para unir los puntos no son parte de la gráfica, es decir, si a y b son dos números entre cero y uno, el segmento que une los puntos (a,a²) y (b,b²) queda por "encima" de la gráfica de la función f(x)=x² en el intervalo [a,b]. ¿Podrías decir qué ocurre si los números a y b son mayores a uno? Es decir, ¿qué ocurre con el segmento que une los puntos (a,a²) y (b,b²) cuando a y b son mayores que uno?

Hemos realizado y analizado nuestro bosquejo de la gráfica de f(x)=x², pero ¿cómo son las gráficas de otras potencias? Aprovecharemos los zooms hechos anteriormente para responder esta pregunta.

Notemos que los elementos de la gráfica están muy cerca del eje X. ¿Por qué ocurre esto? ¿Es consecuencia del zoom? ¿Sucede con cualquier parte de la gráfica? ¿Qué respuestas crees que tus estudiantes den a estas preguntas?

Comencemos por analizar algún caso especial, digamos x=1/5 o x=5 o los dos, ¿por qué no?

Bien, para 1/5, tenemos que f(1/5)=(1/5)²=1/25, mientras que para 5, tenemos que f(5)=(5)²=25.

Podemos observar que el punto de la gráfica (1/5,1/25) está cerca del eje X mientras que el punto (5,25) no está cerca del eje X.

Tal vez sean los números que elegimos, entonces consideremos otro par de números, digamos 0.01 y 100. Para estos números tenemos que f(0.01)=(0.01)²=0.0001 mientras que f(100)=(100)²=10000. Luego, el punto de la gráfica (0.01,0.0001) está muy cerca del eje X y el punto de la gráfica (100,10000) está muy lejos del eje X. ¿Qué tipo de conjeturas crees que tengan tus alumnos a partir de estos casos particulares? O ¿crees que es necesario analizar más casos particulares? Analicemos lo que ocurre con los números que hemos utilizado.

Notemos que

A partir de las observaciones anteriores, podemos conjeturar que los números mayores a cero y menores a uno, al ser elevados al cuadrado, “disminuyen en tamaño” mientras que los números mayores a uno “aumentan de tamaño” al ser elevados al cuadrado. Lo anterior es cierto y sencillo de comprobar usando desigualdades, un tema que seguro tus alumnos recordarán de PM2. En específico, usaremos que una desigualdad (a<b) se preserva al multiplicar por un número positivo (ca<cb).

Así, si x es un número mayor a cero y menor a uno, es decir 0<x<1, multiplicando por x, tenemos que

Luego, usando el mismo argumento, tenemos que

Continuando de esta manera, obtenemos que

donde n denota un número natural mayor a uno.

Por otro lado, si x es un número mayor a uno, es decir, 1<x, multiplicando por x (que es positivo), tenemos que

Multiplicando la desigualdad anterior por x, se sigue que

Continuando de esta manera, obtenemos que

donde n denota un número natural mayor a uno.

A estas alturas, tus alumnos, inclusive tú, podrían preguntarse qué estamos haciendo y qué tiene que ver esto con las gráficas. Aquí la respuesta:

Si 0<x<1, entonces el punto del plano cartesiano (x,x) está por “encima” del punto (x,x²); el punto (x,x²) está por “encima” del punto (x, x³) y así sucesivamente.
Si 1<x, entonces el punto del plano cartesiano (x,x) está por “debajo” del punto (x,x²); el punto (x,x²) está por “debajo” del punto (x, x³) y así sucesivamente.
Los incisos anteriores nos aseguran que las gráficas de las funciones xⁿ “decrecen” hacia el eje X en el intervalo (0,1) y “crecen” en el intervalo (1,∞).

Finalmente, como 0ⁿ=0 y 1ⁿ=1, para cualquier número natural n (¿por qué?), podemos “pegar” las imágenes anteriores.

Te recomendamos la siguiente animación:

Hasta ahora solo hemos “graficado” para números x mayores iguales que cero, ¿qué ocurre con los números negativos? La ley de los signos, vista en PM2, tiene la respuesta, sí, la ley de los signos:

Veamos cómo. Para ello, consideremos un número real x, no cero. Por ser no cero, x es positivo o bien negativo. Si x es positivo, entonces -x es negativo. Ahora, por la ley de los signos tanto x² como (-x)² resultan positivos. Más aún,

Esto nos indica que los puntos (x,x²) y (-x,(-x)²), que son puntos de la gráfica de la función f(x)=x², tienen la misma “altura” y además están por encima del eje X.

Ahora, si x es negativo, entonces -x es positivo, pero también en este caso ocurre que x² y (-x)² son positivos y

Concluimos que los puntos (x,x²) y (x,(-x)²), que son puntos de la gráfica de la función f(x)=x², tienen la misma “altura”. (Al estudiar este caso, tenemos la oportunidad de acabar con la idea que tienen nuestros alumnos de que una “letra” con un signo menos denota/representa forzosamente un número negativo, ¿no crees?)

En resumen, la gráfica de la función f(x)=x² es simétrica respecto al eje Y y, por esta razón, para obtener la gráfica completa, basta con reflejar, respecto al eje Y, la parte de la gráfica que obtuvimos antes.

¿Y qué ocurre con otras potencias, por ejemplo, con x³ ? Procedamos como lo hicimos con x²:

Si x es positivo, entonces -x es negativo. Ahora, por la ley de los signos, x³ es positivo, mientras que (-x)³ resulta negativo. Luego,

Es decir, (-x)³=-x³.

Podemos interpretar esta información de la siguiente manera: Los puntos (x,x³) y (-x,(-x)³), están a la misma distancia del eje X, pero (x,x³) está por encima del eje X mientras que (-x,(-x)³) está por debajo del eje X.

Observa, en la imagen anterior, que todos los triángulos rectángulos involucrados son congruentes (Dado que es un aprendizaje de trayectoria de PM2 ¿cómo crees que argumentarían esta afirmación tus alumnos?).

Ahora, si x es negativo, entonces -x es positivo, por lo que, de la ley de los signos, se tiene que x³ es negativo mientras que (-x)³ es positivo. Por otro lado,

Es decir, (-x)³=-x³.

Así, los puntos (x,x³) y (-x,(-x)³), están a la misma distancia del eje X, pero (x,x³) está por debajo del eje X y (-x,(-x)³) está por encima del eje X.

En esta imagen, también son congruentes los triángulos rectángulos involucrados.

Resumiendo, la gráfica de la función g(x)=x³ es simétrica respecto al origen (0,0). Por lo tanto, para obtener la gráfica completa de la función g, bastaría con graficar solo para números mayores o iguales que cero y luego reflejar respecto al origen.

En el análisis hecho para las funciones f(x)=x² y g(x)=x³, los exponentes jugaron un papel fundamental, pues esto nos permitió deducir el signo que tendrían f(x), f(-x), g(x) y g(-x), en términos del signo de x, para luego determinar en qué parte del plano cartesiano debe estar ubicado el punto de la gráfica que les corresponde.

¿Crees que esto sea suficiente para que tus estudiantes conjeturen algo similar para las funciones h(x)=x⁴ y j(x)=x⁵ ?

Por supuesto que esto es parte de algo más general, ¿recuerdas qué es una función par y qué es una función impar?

El pensamiento matemático a través de la historia

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