Sesión 1 Lógica

Colegio Español Padre Arrupe

Nociones de lógica matemática

Contenido:

1. Proposiciones
1. Valor de verdad de una proposición
2. Clases de proposiciones
1. Proposiciones simples
2. Proposiciones compuestas
3. Conectivos lógicos
3. Construcción de tablas de verdad
2. Operaciones lógicas
1. Negación
2. Conjunción
3. Disyunción
1. Inclusiva
2. Exclusiva
4. Condicional

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Contenido:

3. Proposiciones Condicionales y Bicondicionales4. Construcción de tablas de verdad para proposiciones lógicas

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Proposiciones

Definición: Una proposición es una estructura semántica compuesta por dos o más conceptos unidos entre sí a través de frases de enlace para crear unidades con significado. Esta puede ser "Verdadera" o "Falsa".

Ejemplos:

• San salvador tiene 200 municipios.
• Los celulares fueron inventados por Elon Musk.
• Perú esta en el continente americano.
• 2+4=4
• Emilio no está con sueño.
• 15 y 21 son multiplos de 3.

Además: Un enunciado al que no puede determinarse su valor de verdad no es una proposición. También no son proposiciones las interrogantes, expresiones exclamativas y expresiones que indiquen órdenes.

Ejemplos de no proposición:

• ¿Qué hora es?
• No hables
• Ojalá llueva por la tarde
• ¡Dios mio, señor, salvame!
• X es un numero impar
• 3x + 7 = 12

Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas, por lo general p, q, r, s,.. Así algunos ejemplos anteriores se pueden escribir como:

• p: Estoy en el curso de lógica.

• q: Perú queda en el continente americano.

Valores de verdad en las proposiciones

El valor de verdad de una proposición dada, por ejemplo “p” o bien es verdadero (V) si la proposición p es verdadera o bien es falso (F) en caso contrario. En el caso de ser verdadero simbolizaremos: 𝑣(𝑝) = 𝑉 ó 𝑣(𝑝) = 1 ó 𝑣(𝑝) = T En el caso de ser falso simbolizaremos: 𝑣(𝑝) = 𝐹 ó 𝑣(𝑝) = 0 Dónde 𝑣(𝑝) se lee “el valor de verdad de p”.

Ejemplos:p: San salvador tiene 200 municipios.q: Los celulares fueron inventados por Elon Musk.r: Perú esta en el continente americano.s: 2+4=4u: 15 y 21 son multiplos de 3.

Clases de proposiciones

SIMPLES: Son aquellas que se pueden representar con una sola letra. No tienen oraciones componentes afectadas por negación (no) o términos de enlace; “y”, “o”, “si … entonces, …” Ejemplos de proposiciones simples son: p: La luna es una estrella. q: 5-2=3 r: El rio paz está en San Salvador. s: 9 es un número primo. COMPUESTAS: Son aquellas que están constituidas por expresiones simples enlazadas entre sí por expresiones como “y”, “o”, “si…entonces”, “sí y sólo si”; llamados conectivos lógicos. El valor de verdad de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones que la componen y de la manera en que están unidas o conectadas.

CONECTORES LÓGICOS: Conectivos lógicos. Conectivo. Símbolo.“No” ∼“y” ⋀“o” ⋁“si … entonces…” →“…sí y sólo sí…” ↔“o … o …” ∨ 𝑜 ⨁

Ejemplos de proposiciones compuestas. ∼ 𝑝: No estoy cursando primer año. En este caso p es: Estoy cursando primer año. 𝑝 ∧ 𝑞:Hoy es viernes y mañana es sábado. 𝑝: Hoy es viernes q: mañana es sábado. 𝑝 ∨ 𝑞: 5 es un número primo o número impar. 𝑝: 3 es un número primo q: 3 es número impar 𝑝 → 𝑞: Si 10 es un número par entonces 10 es un número divisible por 2. 𝑝: 10 es un número par q: 10 es un número divisible por 2 𝑝 ↔ 𝑞: Un triángulo es equilátero sí y sólo sí tiene los tres lados iguales 𝑝: Un triángulo es equilátero q: tiene los tres lados iguales 𝑝 ∨ 𝑞: O bien Óscar esta en San Salvador o bien Óscar está en Sonsonate. 𝑝: Óscar esta en San Salvador q: Óscar esta en Sonsonate.

CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD

Para poder encontrar el valor de verdad de una proposición compuesta, es necesario construir una tabla (tabla de verdad) que considere todos los posibles valores de verdad de todas las proposiciones simples. Mientras más proposiciones simples se tengan, más posibles valores de verdad se tendrán entre éstas. Para una proposición simple p se tienen dos posibles valores de verdad: Verdadero y Falso.

CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD

Para dos proposiciones p y q se tendrán 2 posibles valores de verdad para cada una. Así las posibles combinaciones de valores de verdad de ambas se tienen en la siguiente tabla de la siguiente forma:

CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD

Para tres proposiciones p, q y r la tabla de verdad de las combinaciones de valores inicia de la siguiente manera:

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Operaciones lógicas

Operaciones logicas

Son operaciones que utilizan proposiciones para transformarlas en otras usando conectivos lógicos. Estas operaciones son: negación, conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional. Negación. Es un tipo de proposición en la que se afirma que algo no existe, que no es verdad. Para negar una proposición se le antecede el conectivo “no” cuyo símbolo es " ∼ " denominado “negador”.

Operaciones logicas

Conjunción. Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “y” cuyo símbolo es "⋀" llamado “conjuntor”.

Operaciones logicas

Disyunción inclusiva Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “o” cuyo símbolo es " ∨ " llamado “disyuntor”.

Operaciones logicas

Disyunción exclusiva. Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “o….o…..” cuyo símbolo es "⨁" o ∨ llamado “disyuntor fuerte”.

Operaciones logicas

Condicional. Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo: “si…., entonces…..” cuyo símbolo es → denominado implicador.

Ejercicios

Representar en forma de proposiciones compuestas los siguientes enunciados usando para ello notación lógica. a) Si estudio los contenidos y realizo los ejercicios entonces aprobaré el año. b) Si no reviso la plataforma virtual y no estudio los contenidos entonces reprobaré el año. c) Si la tormenta continúa entonces habrá inundaciones y habrá derrumbes. Pero si la tormenta se detiene y hace mucho sol entonces no habrá derrumbes. c) Si el rival comete actos de traición o actos de inmoralidad entonces será expulsado del torneo. Pero el rival no ha sido expulsado del torneo, por consiguiente el rival no ha cometido actos de traición y no ha cometido actos de inmoralidad.

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Proposiciones condicionales y bicondicionales

Tipos de implicaciones

Existen 4 tipos de implicaciones, las cuales son:

• Implicación directa
• Implicación contraria
• Implicación recíproca
• Implicación contrarecíproca

IMPLICACIÓN DIRECTA En la lógica proposicional la implicación directa se denota como: p ----> q Y su tabla de verdad es la siguiente:

Ejemplo: p: Repaso los contenidos q: Apruebo el examen p ---> q: Si repaso los contenidos entonces apruebo el examen

IMPLICACIÓN CONTRARIAEn la lógica proposicional la implicación contraria se denota como: ~p ----> ~q Ejemplo: ~p: No repaso los contenidos ~q: No apruebo el examen ~p ---> ~q: Si no repaso los contenidos entonces no aprobaré el examen

IMPLICACIÓN RECIPROCAEn la lógica proposicional la implicación reciproca se denota como: q ----> p Ejemplo: p: No repaso los contenidos q: No apruebo el examen p ---> ~q: Si no repaso los contenidos entonces no aprobaré el examen

IMPLICACIÓN CONTRARRECIPROCAEn la lógica proposicional la implicación contrarreciproca se denota como: ~q ----> ~p Ejemplo: ~p: No repaso los contenidos ~q: No apruebo el examen ~p ---> ~q: Si no repaso los contenidos entonces no aprobaré el examen

Se observa que la tabla de la implicación directa y la tabla de la implicación contrarrecíproca tienen resultados equivalentes; y la tabla de la implicación contraria y la tabla de implicación reciproca tienen los mismos resultados equivalentes. Esto quiere decir, que se tienen dos equivalencias en las implicaciones y se escribecomo:a) (𝑝 → 𝑞) ≡ (~𝑞 → ~𝑝) b) (~𝑝 → ~𝑞) ≡ (𝑞 → 𝑝)Al símbolo " ≡ " se le conoce como equivalencia, el cual más adelante se abordará detalladamente.

BICONDICIONAL

Dos proposiciones se relacionan con el conectivo "... si y solo sí..." cuyo simbolo es ↔ llamado el doble implicador. Ejemplo: p: Obtengo mi licencia q: Apruebo el examen práctico p↔q: Obtengo mi licencia si y solo sí apruebo el examen práctico

Observando la tabla se puede notar que el bicondicional es Verdadero sólo cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Así el bicondicional (𝑝 ↔ 𝑞) cuando es verdadero, se cumple en ambos sentidos, es decir que se cumple la implicación directa 𝑝 → 𝑞 y se cumple la implicación reciproca 𝑞 → 𝑝. Ejemplo 𝑝 ↔ 𝑞: Obtengo mi licencia si y solo sí apruebo el examen práctico 𝑝 → 𝑞: Si obtengo mi licencia entonces aprobé el examen práctico 𝑞 → 𝑝: Si apruebo el examen práctico entonces obtendré mi licencia Por tanto se puede decir que 𝑝 ↔ 𝑞 es equivalente a (𝑝 → 𝑞) y (𝑞 → 𝑝) Es decir, 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝) Para demostrar esta equivalencia se puede hacer tablas de verdad para ambas partes de la equivalencia y demostrar que los resultados son iguales.

Dado que los resultados (en rojo) de las tablas son iguales se tendrá que las expresiones lógicas son equivalentes. A este momento, probablemente se tenga duda de cómo se han construido las tablas de verdad por lo que se hará un apartado posterior para mayor comprensión.

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Construcción de tablas de verdad para proposiciones lógicas.

Metodos de construcción de tablas de verdad

Existen 2 tipos de metodos para la construcción de tablas de verdad:

• Método directo
• Método de enlace

Para ambos métodos, la tabla se inicia colocando en las primeras columnas los valores de verdad de las proposiciones simples (p, q, r, s…) que aparecen en la proposición compuesta. Ejemplo 1. Para explicar ambos métodos se construye la tabla de verdad para la proposición ∼ (∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)

Metodo DE ENLACE

En este método se colocan en las primeras columnas los valoresde verdad de las proposiciones simples, y luego se colocan las columnas para las etapas elementales, de tal manera de construir la proposición compuesta solicitada. El valor de verdad de cada paso está determinado por las etapas previas mediantes las definiciones de los conectivos que relacione la expresión lógica. Finalmente, obtenemos el valor de verdad la proposición solicitada que aparecerá en la última columna Primer paso: Se colocan las variables proposicionales (simples) en las primeras columnas. Luego las negaciones de estas variables proposicionales (simples) que aparezcan en la expresión y luego las columnas de las etapas hasta construir la proposición completa.

Metodo DE ENLACE

Metodo DE ENLACE

Segundo paso: Los valores de verdad se encuentran a partir de los valores de las variables proposicionales, los conectivos y la etapa previa para cada columna. Se puede notar que los valores de verdad de la columna 5 salen de la columna 3 y la columna 4. El valor de verdad de columna 6 es la negación de columna 5. El valor de verdad de columna 7 se obtiene a partir de columna 1 y columna 2. La columna 8 resulta de la columna 6 y columna 7. De esa forma queda la tabla completa y el resultado es la última columna que se construye.

Metodo Directo

En este método la proposición se escribe en la fila superior a la derecha de sus variables proposicionales. Consiste en:

• Asignar una columna por cada proposición simple que contemple la expresión lógica.
• Asignar una columna por cada conectivo lógico y por cada letra de cada proposición que contenga la expresión lógica.

A este método algunas veces se le llama “columna por conectivo y columna por proposición simple”. Los valores de verdad se encuentran en los siguientes pasos. Primer paso: Se coloca la expresión en la primera fila, colocando una columna para cada conectivo y cada proposición.

Metodo Directo

Metodo Directo

Segundo paso: Se colocan los valores de verdad para cada proposición simple que aparezca en la tabla.

Metodo Directo

Tercer paso: Se colocan los valores de verdad a los conectivos dentro de los paréntesis que puedan obtenerse de forma inmediata. Para nuestro ejemplo se tienen dos negadores dentro del paréntesis, al colocarles los valores de verdad se está encontrando el valor de verdad de las proposiciones ~𝑝 y ~𝑞. También en el otro paréntesis se tiene un conectivo ∨ para el cual se puede encontrar el valor de verdad a partir de las proposiciones simples.

Metodo Directo

Cuarto paso: Se encuentran los valores de verdad de los conectivos dentro de los paréntesis a partir de los valores de verdad del paso anterior. Para este ejemplo solo se tiene un conectivo ∨ dentro del primer paréntesis que aparece en la proposición, dónde los valores de verdad se encuentran con la columna 4 y 7.

Metodo Directo

Quinto paso: En este ejemplo se encuentra el negador que esta fuera del primer paréntesis (columna 3) en nuestro caso es negar el paso 3 (reflejado en la columna 6).

Metodo Directo

Paso final: Se encuentra el valor de verdad de los conectivos (de mayor jerarquía) que unen términos completos fuera de paréntesis. Para este ejemplo solo se tiene el conectivo ↔ cuyos valores de verdad que se utilizan se encuentran en la columna 3 y columna 11

Metodo Directo

Así la tabla verdad completa es ésta última y el resultado de la tabla de verdad de la proposición dada es la columna 9 (bajo del conectivo de mayor jerarquía). Se puede notar que se llega al mismo resultado que el método anterior. Nota. Se debe tener en cuenta que mientras más grande sea la expresión, más columnas tendremos y más pasos habrá que realizar. Pero el proceso es el mismo; se colocan valores de adentro hacia afuera. Para ambos métodos es necesario tener claro que las primeras columnas deben ser de las variables proposicionales que aparezcan en la expresión lógica dada.

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Tautología, Contingencia y Contradicción.

La característica tabular de una forma lógica es que la columna de valores de verdad por debajo del operador de mayor jerarquía (el resultado final). Se tiene los siguientes casos.

• Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, se tendrá que la proposición es una tautología.

• Cuando el resultado de la tabla de verdad son todos Falsos, se tendrá que la proposición es una contradicción.
• Cuando el resultado de la tabla de verdad es combinado, Falsos y Verdaderos, la proposición es una contingencia.

Ejercicios:𝑎) 𝑞 → (𝑝 ∨ 𝑞) 𝑏) ∼ [∼ 𝑝 ∨ (𝑝 ∨ 𝑞)] 𝑐) (∼ 𝑞 ∨ 𝑝) ∧ (𝑝 → 𝑞)

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Equivalencia lógica.

Dos proposiciones compuestas denotadas como 𝑃(𝑝, 𝑞, . . ) y 𝑄(𝑝, 𝑞, . . ) son lógicamente equivalentes, equivalentes o iguales, lo cual se denota por 𝑃(𝑝, 𝑞, . . ) ≡ 𝑄(𝑝, 𝑞, … ) , si tienen tablas de verdad idénticas, es decir si el valor de verdad de 𝑃(𝑝, 𝑞, . . ) es igual al valor de 𝑄(𝑝, 𝑞, … ) para cada una de las combinaciones de valores de verdad de las filas.También se puede indicar la equivalencia de las proposiciones 𝑃(𝑝, 𝑞, … ) y 𝑄(𝑝, 𝑞, … ) como 𝑃(𝑝, 𝑞, . . ) ⟺ 𝑄(𝑝, 𝑞, … ). Se debe tener en cuenta que el símbolo " ⟺ " no es un conectivo lógico sino que solo se usa para denotar la equivalencia. Para verificar si se cumple o no la equivalencia lógica de proposiciones se puede utilizar dos métodos Método 1: Tablas separadas y resultados de verdad identicos Método 2: Una sola tabla de verdad con resultado Tautología

¿Dudas?