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4PM1: Conteo y probabilidad

Carolina Chávez

Created on October 31, 2022

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Conteo y probabilidad

Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, Coordinador / M. en C. Elieth Velázquez Chávez, Coordinadora de facilitadores / M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora de facilitadores. / Mtro. Francisco Rivera Ramírez, Diseño académico Mat. Carla Alejandra Rivera Ramírez, Diseño académico / M. en C. Guadalupe Yañez Barrón, Diseño académico / Dra. Itzel Ricaño Cornejo, Diseño académico / Mtra. María Concepción García Rábago, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional / M. en C.C. Citlali Medal Medellín, Diseño instruccional

Estimada y estimado maestro. Estas presentaciones se realizaron durante el año 2022. En los primeros meses del presente año 2023 se llevaron pequeñas modificaciones en las Progresiones de Pensamiento Matemático a partir de las pertinentes observaciones que muchas y muchos maestros a lo largo y ancho de México compartieron por distintos canales. Por lo anterior, es probable que te encuentres con algunas pequeñas diferencias entre lo presentado aquí y la redacción final de las progresiones. Pronto podremos ofrecerte una segunda edición de estas diapositivas, sin embargo, es importante que cuentes con estos materiales pues pueden serte de mucha ayuda para la implementación del MCCEMS.

4PM1: Elige métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo: combinaciones, permutaciones) para calcular la probabilidad de eventos simples o empleando la suma y la multiplicación de probabilidades según proceda y reflexiona cómo se emplea la probabilidad como parte del sentido común y detecta en qué casos puede reducir la incertidumbre. (C1M2). C1M2: Integra métodos de diferente naturaleza (aritmética, algebraica, geométrica o variacional) para la solución de problemas (matemáticos, de las ciencias naturales, sociales, humanidades y de la vida cotidiana).

En el recurso anterior presentamos la noción de probabilidad de que un evento aleatorio ocurra desde una perspectiva frecuencial. Usábamos simulaciones para poder dar una aproximación sobre qué tan probable será que un cierto evento aleatorio suceda. Al finalizar dimos una definición más formal de probabilidad. En esta progresión retomaremos este concepto y lo estudiaremos más a detalle. En el camino, tendremos que revisar nuestras habilidades para contar, veremos que para lograr contar adecuadamente necesitaremos pensar de manera ordenada.

Alfonso

Rocío

Romina

Alberto

Tomasita

Rambo

Nino

Benito

Recordemos que la definición que dimos de la probabilidad de que un evento aleatorio A ocurra es igual al siguiente cociente:

Revisemos esta definición con más detenimiento.

Una de las hipótesis para trabajar con la definición anterior es la equiprobabilidad de los posibles resultados del evento aleatorio.

En nuestro ejemplo del "lío de gatos", en el que el encargado del hotel planeaba repartir aleatoriamente a los gatitos negros a sus dueños, existían 24 posibles resultados. Al final de aquel recurso te pedimos que listaras todos estos. Cada uno de esos posibles resultados supusimos que era igualmente probable que ocurriera.

Usemos un ejemplo más clásico que nuestro "lío de gatos" para revisar algunos detalles importantes que hay detrás de nuestra definición. La literatura cuenta con muchísimos ejemplos de apostadores ilustres (muchos de ellos con una historia fatal), pero no hace falta ser el Dionisio Pinzón de Juan Rulfo (inmortalizado por Ignacio López Tarso en la pantalla grande en una película del director Roberto Gavaldón) ni tampoco ser el Alekséi Ivánovich de Dostoievski para saber que si estás jugando a los dados contra alguien que trae los dados cargados, no tienes las probabilidades de tu lado...

Cuando jugamos con dados justos hacemos referencia que al ser lanzado cada uno de los 6 posibles resultados son igualmente probables. Los seis posibles resultados al lanzar un dado son: La cara que queda viendo hacia arriba tiene 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos pintados en ella. Si el dado es justo, cada uno de estos resultados es igualmente probable (equiprobable)

La expresión "es un dado cargado" se contrapone a la expresión "es un dado justo".

Si, por ejemplo, queremos calcular la probabilidad de que al lanzar un dado (justo) el número de puntos que tenga la cara que queda mirando hacia arriba sea par, tendríamos que encontrar cuántos de todos los posibles resultados son casos favorables para este evento y dividirlo entre el total de casos.

Este ejemplo es muy sencillo pues tenemos un dado justo y sabemos que los casos favorables a dicho evento son 3: que la cara del dado que apunte hacia arriba tenga 2, 4 o 6 puntos pintados; por lo cual la probailidad de que este evento ocurra es igual a 3/6 = 1/2

Si quieres leer un poco sobre la historia de la probabilidad, te compartimos este artículo de El País.

Claro, también pudimos haber hecho una simulación para llegar a un aproximado de este resultado, pero hubiese sido muy tedioso. que no siempre existió, fue un éxito y se sigue utilizando gracias a que ha resultado útil para cuantificar la incertidumbre de eventos aleatorios y gracias a que nos evita hacer múltiples repeticiones en simulaciones. Es tan buena esta definición que empata muy bien con la probabilidad frecuencial que es, en cierto sentido, un poco más intuitiva que nuestra definición teórica.

Nuestra definición teórica de

probabilidad,

Ejemplo sobre la probabilidad frecuencial de lanzar una moneda.

Un caso más difícil, que tiene que ver con dados y es histórico, es el siguiente:

Supongamos que tenemos tres dados y que los lanzamos simultáneamente. Queremos comparar la probabildiad de los eventos.

A11: la suma de los puntos de las caras que quedan mirando hacia arriba es 11.

A12: la suma de los puntos de las caras que quedan mirando hacia arriba es 12

https://youtu.be/QqxJspGv968

Hagamos una simulación apoyados de software.

Da clic aquí para ir al enlace del video

Te compartimos una applet de GeoGebra que encontramos en la red para hacer esta misma simulación:

https://www.geogebra.org/m/UsoH4eNl

GeoGebra

Por la simulación podemos decir que es más frecuente el evento A11 que el A12. Sin embargo, esto le resultó paradójico al Caballero de Méré quien razonaba, haciendo unos cálculos con nuestra definición teórica de probabilidad, que:

Los casos favorables para el evento A12 son:

Los casos favorables para el evento A11 son:

En las caras superiores de los dados se lee: a) 6, 5, 1 b) 6, 4, 2 c) 6, 3, 3 d) 5, 5, 2 e) 5, 4, 3 f) 4, 4, 4

En las caras superiores de los dados se lee: a) 6, 4, 1 b) 6, 3, 2 c) 5, 5, 1 d) 5, 4, 2 e) 5, 3, 3 f) 4, 4, 3

Como, hay el mismo número de casos favorables para cada evento, entonces deben tener la misma probabilidad, concluye el caballero de Méré.

Y la paradoja que le quitó el sueño al caballero de Méré es que el evento A11 era más frecuente que el A12, ¿cómo puede ser que dos eventos, según sus cálculos, igualmente probables no ocurrieran con la misma frecuencia? El caballero de Méré era amigo de Blaise Pascal y terminó escribiéndole para pedirle su ayuda en esta difícil cuestión.

Actividad.- ¿Cuál crees que es la falla en la argumentación del caballero de Méré?

Cuenta el matemático Y. A. Rozanov en su libro Probability Theory a Concise Course, que Pascal le comentó al caballero de Méré que en sus cálculos cometió la equivocación de considerar a todos los posibles resultados como equiprobables.

De hecho, se debe tomar en cueenta no sólo los números de puntos mostrados en el dado, sino también el dado particular en el que aparecen dichos puntos. Por ejemplo, si numeramos los tres dados, hay 6 posibles resultados que arrojan la combinación de 6,4,1, a saber: (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1,4,6) Mientras que sólo hay un posible resultado que nos lleva a la combinación 4,4,4, a saber (4,4,4)

Los resultados equiprobables del experimento apropiados son aquellos descritos por tripletas de números (a,b,c) donde a es el número de puntos del primer dado, b el número de puntos del segundo dado y c el número de puntos del tercer dado.

De estas tripletas hay 6x6x6 = 63 = 216 posibles; mientras que casos favorables para el evento A11 hay 27 y casos favorables para el evento A12, sólo 25. Esto explica la mayor frecuencia del evento A11 en las simulaciones que tanto el caballero de Méré como nosotros hicimos.

Cuidado, este ejemplo es quizá un poco complicado para ser llevado al aula, pero te lo compartimos para observar que la hipótesis de equiprobabilidad es importantísima en nuestros análisis.

pero vayamos un poco

más lento.

Para calcular correctamente probabilidades, entre otras cosas, debemos saber contar correctamente, pues necesitaremos saber el número total de casos y el número de casos favorables a cierto evento aleatorio. Empecemos por revisar cómo contar los posibles arreglos consitentes de dos objetos ordenados si el primero se puede tomar de n maneras y el segundo de m maneras.

Para fijar ideas, supongamos que el primer objeto se puede tomar de n=4 maneras y el segundo objeto se puede tomar de m = 3 maneras.

Digamos que el primer objeto se puede elegir entre a1, a2, a3 y a4; mientras que el segundo, entre b1, b2 y b3

El siguiente es un apoyo visual que nos ayuda a contar cuántas parejas ordenadas formadas con estos objetos hay, son las siguientes: (a1,b1), (a1,b2), (a1,b3), (a2,b1), (a2, b2), (a2, b3), (a3,b1), (a3,b2),(a3,b3), (a4,b1), (a4,b2) y (a4,b3) Un total de 4x3 = 12 parejas. En general, si el primer objeto se puede tomar de n maneras distintas y el segundo de m maneras distintas, habrán nxm posibles parejas ordenadas.

Para terminar te presentamos dos problemas de cálculo de probabilidades en donde se requiere hacer algún conteo interesante. Los problemas están inspirados en el libro de Rozanov, antes citado.

Un tren del metro de la Ciudad de México consta de 9 vagones (por cierto, se dice que en dicho tren caben 1,530 pesonas: 360 sentados y 1,170 de pie). Supongamos que en el andén hay 6 mujeres y que cada una entra en un vagón de forma totalmente aleatoria (observa que un hombre no podría hacer esto, pues hay vagones exclusivos para mujeres). ¿Cuál es la probabilidad de que estas mujeres terminen entrando en vagones diferentes?

Antes de pasar a la siguiente diapositiva trata de resolver este problema.

Por hipótesis, cada uno de los vagones tiene la misma probabilidad de ser abordado por cada una de estas 6 mujeres. Para calcular la probabilidad de que cada una entre a vagones diferentes, primero tenemos que calcular el total de casos y contar los casos favorables para este evento. El total de casos es 96, pues cada una de las seis mujeres puede entrar en cada uno de los 9 vagones. De todos estos casos hay que contar aquellos en los que cada mujer entra a un vagón distinto. Para hacer esto, observemos que si denotamos por m1, m2, ..., m6 a las 6 mujeres de nuestro problema, entonces m1 puede entrar a 9 de los vagones, pero cuando m1 haya entrado a uno, si queremos que no haya dos de estas mujeres en el mismo vagón, entonces m2 podrá entrar sólo a 8 vagones; y cuando m1 y m2 hayan elegido, entonces m3 podrá entrar sólo a 7 y así sucesivamente... observemos que m6 podrá escoger entre 4 vagones, una vez que las otras 5 mujeres hayan entrado a un vagón. Por lo tanto el número de casos favorables al evento "cada una de las 6 mujeres entra a vagones distintos" es 9x8x7x6x5x4. Y por lo tanto, la probabildiad de este evento es (9x8x7x6x5x4)/96

Solución

Las primeras veces que se ven estos problemas a algunas personas nos puede costar un poco de trabajo entenderlos. A veces puede funcionar hacer ejemplos más pequeños: si consideras, por ejemplo, que en lugar de 9 vagones hay 3; y que sólo hay 2 mujeres, entonces el total de casos es 3x3=9, los casos favorables 3x2=6 y la probabilidad 6/9 = 2/3. Con este ejemplo puedes hacer el listado de cada uno de los casos y seleccionar los casos favorables.

Un último problema, esta vez relativo a la industria.

En una industria automotriz ubicada en Querétaro se tiene el siguiente procedimiento. De un lote de 100 piezas manufacturadas un inspector elige 10 de manera aleatoria y las analiza; si ninguna de estas piezas es defectuosa, el inspector acepta el lote de 100 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que dentro del lote existan 10 piezas defectuosas y que éstas no sean detectadas por el inspector?

Antes de pasar a la siguiente diapositiva trata de resolver este problema.

Otra vez, debemos contar el número de casos favorables y dividirlo entre el total de casos. Observa que el total de casos es igual al número de subconjuntos de piezas de cardinalidad 10 que podemos tomar de entre el lote de 100 piezas, este número es igual a

Solución

Y para contar los casos favorables, nos convendrá poner atención a todas las posibles elecciones de 10 piezas no defectuosas de entre las 90 piezas funcionales (por hipótesis 10 de las 100 piezas son defectuosas). Esto puede hacerse de

maneras. Por lo que la probabilidad de que el inspector no detectara ninguna de las 10 piezas defectusosas es

Haz un estimado de este último número, ¿consideras que sea muy probable o poco probable que ninguna de las 10 piezas defectuosas sean detectadas? Si tu fueras el gerente de dicha compañía, ¿pensarías en cambiar el protocolo de control de calidad de dicha pieza?

El pensamiento matemático a través de la historia

Te invitamos a continuar

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