Representación Posicional y deorientación de un Robot

REpresentación Posicional y de orientación de un Robot

Integrantes:Ferselis Prada, V-28.322.923Adrian Rivas, V-28.495.191Facultad de IngenieriaIngenieria Industrial

Carvajal, 06 de Noviembre del 2022

índice

introducción

Posición y Orientación en el plano y en el espacio

• Posición y Orientación en el plano
• Posición y Orientación en el espacio

Transformación Inversa

Transformaciones Compuestas

Otras Representaciones de la Orientación

conclusión

introducción

En robótica es necesario poder describir de forma detallada, teórica y gráficamente las posiciones y orientaciones de los objetos en el espacio. En está presentación nos dedicamos dedicado a introducir conceptos básicos que se emplearán en los modelos cinemáticos y dinámicos. Se comienza por estudiar la posición y orientación en el plano introduciendo las operaciones elementales de rotación y traslación, y considerando los cambios de sistemas de referencia. En los siguientes apartados se consideran las transformaciones compuestas y la inversa de una transformación, respectivamente. Finalmente, se estudian formas alternativas para representar la orientación de un cuerpo en el espacio. En este tema se emplea por primera ver la herramienta MATLAB que se presenta y que se utilizará en los temas siguiente para el tratamiento de las transformaciones y modelos de robots.

Posición y Orientación en el plano

1.

En este tema y en los dos siguientes se empleará la notación de Craig (1989). En Fu y otros (1988), Barrientos y otros (1997) y Paul (1981) pueden encontrarse otras notaciones alternativas que son también de interés para representar los modelos empleados en robótica.En Corke (1996) se presenta una herramienta MATLAB, denominada "Robotics Toolbox" en la cual se emplea la notación de Paúl (1981). Esta herramienta es de notable interés, aunque presenta diversos problemas para su utilización en este texto. Se presenta una nueva herramienta, que es una versión mejorada del "Ro hotics Toolbox" y que permite además ser aplicada directamente con la notación de Craig (1989) empleada en este texto. Esta nueva herramienta se emplea en numerosos ejemplos de la presentación. Su utilización permitirá al lector reproducir con facilidad los resultados obtenidos en dichos ejemplos.

En este apartado se considera la localización de objetos en el plano. El problema es frecuente en el estudio de robots móviles que navegan por terrenos planos. En este caso se necesitan dos coordenadas y un ángulo de orientación. Supongamos un sistema de coordenadas de referencia fijo al que se designará como sistema (A). La posición con respecto a este sistema se representará mediante un vector de posición "P, tal como se ilustra en la figura 3.1, cuyas componentes las coordenadas de este punto:

Figura 3.1: Vector de coordenadas en el plano

Este sistema tiene como vectores unitarios Otra posible forma de expresar las coordenadas de un punto con respecto a un sis tema de referencia es mediante el empleo de coordenadas polares, tal como se ilustra en la figura 3.2. En este caso las coordenadas son la distancia al origen r y el ángulo que forma el vector con el eje XA.Considérese también otro sistema de coordenadas con vectores unitarios XB, YB, tal como se muestra en la figura 3.3. La dirección del vector ŶB forma un ángulo θ con el vector YA. Observemos que si, por ejemplo, se trata de localizar un robot móvil que se desplaza en el plano, este segundo sistema puede ser solidario al robot con Y, en la orientación del robot.

Figura 3.3: Localización de un objeto en posición y orientación.

Figura 3.2: Coordenadas polares

Si se expresan los vectores unitarios del sistema {B} en el {A}, se escribirá AXB, AYB. Estos dos vectores se disponen según las columnas de una matriz,

a la que se conoce como matriz de rotación. Estas matrices juegan un papel importan te en los modelos empleados en robótica. Observamos que si el ángulo de orientación es θ, de la figura 3.3 se deduce:

Teniendo en cuenta que los vectores columna son ortonormales, puede escribirse también

Supongamos que el sistema {B} tiene sus vectores de dirección coincidentes los del {A}, como se ilustra en la figura 3.4. Este problema se presentaría, por ejemplo, cuando el robot se desplazara sin cambiar de orientación. El origen del sistema {B} se localizará con respecto al {A} mediante el vector

Figura 3.4: Traslación del sistema de coordenadas.

Por consiguiente, las coordenadas de un punto cualquiera del plano en los dos sis temas están relacionadas mediante

expresiones en las cuales las componentes de los vectores pueden sumarse por estar estos vectores en la misma dirección. Las ecuaciones (3.6) y (3.7) definen la transformación de traslación del sistema de coordenadas Supongamos ahora que el origen del sistema {B} coincide con el del {A} pero la orientación es diferente, como se ilustra en la figura 3.5. Esta circunstancia se presenta al estudiar movimientos de rotación. Asimismo, este sería el caso cuando el sistema de referencia {A} se desplazara con el robot pero mantuviera su orientación constante, mientras que el sistema {B} además de desplazarse con el robot girara también con él.En este caso, las coordenadas expresadas en el sistema {A} en función de las del {B} vienen dadas por:

expresión en la cual el punto indica el producto escalar Notese como (3.8) y (3.9) in dican las proyecciones del vector AP que define el punto sobre los ejes unitarios del sistema que se toma como referencia. Estas expresiones pueden escribirse de forma compacta como

"En un caso general, en el cambio de sistemas de referencia existirán tanto trasla ciones como rotaciones. En todas las expresiones anteriores se ha empleado la notación de Craig (1989). que es la que se continuará usando en el texto.

Figura 3.5: Rotación del sistema de coordenadas.

ejemplos

Ejemplo 3.1

"Un robot móvil provisto de sensores de proximetría detecta un obstáculo a una distancia d en la dirección de marcha. Se sabe que el ángulo de orientación del robot en el instante de la medida es θ. Se trata de determinar las coordenadas absolutas del obstáculo con respecto a un sistema de ejes de referencia solidario al vehículo pero con la misma orientación que el sistema absoluto.

Figura 3.6: Detección de un obstáculo desde un robot móvil.

De acuerdo con la figura 3.6 se tendrá: Por consiguiente,

Considérese ahora la situación que se ilustra en la figura 3.7. Se supone que el sis tema {A}está fijo y, en el instante en que se toma la medida, el robot está situado con

respecto a {A} en unas coordenadas (Xrobop, Yrobot). El obstáculo se encuentra con respecto al sistema {A} en:

Figura 3.7: Cambio de sistemas de diferencia en navegación de robots móviles.

Ejemplo 3.2

"Consideremos ahora un manipulador plano con una articulación de traslación y otra de rotación, como el que se muestra en la figura 3.8.

Sean d y θ las variables de la primera y segunda articulación. Las coordenadas respecto al sistema {A}están relacionadas con las coordenadas respecto al sistema {B} según:

Figura 3.8: Cambio de sistemas de referencia en un manipulador plano

Posición y Orientación en el espacio

En robótica resulta imprescindible poder representar posiciones y orientaciones en el espacio. En efecto, es evidente que los movimientos de los manipuladores, requieren poder representar de forma conveniente las posiciones y orientaciones en el espacio. Asimismo, en robótica móvil, cada vez tiene mayor interés considerar los modelos en tres dimensiones. Este interés es evidente en vehículos autónomos aéreos o submarinos, pero también se emplean estos modelos para estudiar la navegación en terrenos no planos de robots con ruedas o con patas.

Sea AP el vector de posición en un sistema {A}, tal como se ilustra en la figura 3.9. para un vehículo autónomo. En este caso se escribe

Figura 3.9: Posición en el espacio

La posición de un punto en el espacio también puede representarse mediante coordenadas cilíndricas tal como se muestra en la figura 3.10. En este caso las coordenadas son la distancia r, el ángulo θ y la distancia z entre el punto y su proyección sobre el plano XA - YA. Las dos primeras tienen el mismo significado que las coordenadas polares de la figura 3.2. Por último, en la figura 3.11 se presentan las coordenadas esféricas que permiten representar la posición de un punto mediante la distanciar r y los dos ángulos ᴓ y θ.

siendo Px, Py, y Pz, las coordenadas.

Figura 3.11: Representación de la posición empleando coordenadas esféricas.

Figura 3.10: Representación de la posición empleando coordenadas cilíndricas.

En esta sección y en las tres siguientes se siguen los desarrollos de Craig (1986). La orientación de un cuerpo se describe mediante el sistema de coordenadas {B} solidario al cuerpo. Si se desea representar la orientación con respecto a un sistema de referencia {A}, el problema consiste simplemente en expresar {B} con respecto a {A}. Sean XB,YB,ZB los vectores unitarios en la dirección de los ejes de un sistema de coordenadas {B}, Si se desea expresar que estos vectores se representan en el sistema {A}, se escribirá AXB, AYB, AZB. En este caso la matriz de rotación es:

Como resumen de lo anterior cabe añadir que la localización (posición y orientación) en el espacio se determina mediante cuatro vectores de tres elementos, forman do tres de ellos la matriz de rotación ARB del sistema {B} que se mueve solidario al sólido rígido con respecto a un sistema de referencia {A}, y el cuarto la posición del origen A P ORGB del sistema {B} solidario al cuerpo expresada en el sistema de referencia {A}, tal como se ilustra en la figura 3.12.

Figura 3.12: Posición y orientación en el espacio.

Observemos que la expresión de la posición y orientación de un sólido rígido puede considerarse como la descripción de un sistema de coordenadas asociado al sólido con respecto a otro de referencia. Un cambio en la posición manteniendo constante la orientación puede representarse mediante la matriz de rotación unidad y un vector con los cambios en las coordenadas del punto. En la mayor parte de los problemas que surgen en robótica es necesario realizar cambios entre sistemas de referencia en el espacio. Así, en robots manipuladores con vencionales, los modelos del manipulador involucran cambios entre sistemas asocia dos a las diferentes articulaciones de la cadena cinemática para describir la posición y orientación del extremo del manipulador con relación a la base.

Tal como se ha visto en el apartado 3.1, estas transformaciones consisten esencial mente en traslaciones y rotaciones. Suponiendo que {A} y {B} tienen la misma orientación, la traslación puede expresarse mediante:

omo se ilustra en la figura 3.13. Observemos que los dos vectores de la derecha de la expresión pueden sumarse debido a que ambos sistemas de referencia tienen la misma orientación La rotación puede expresarse mediante

igualdades que se justifican teniendo en cuenta que las columnas son vectores orto normales. En términos de estos vectores puede escribirse

Figura 3.13: Cambio de sistemas de referencia en el espacio.

Suponiendo que los orígenes de {A} y {B} son coincidentes, puede escribirse:

Si se recuerda que los componentes de AP pueden considerarse como las proyec ciones del vector que define el punto en los vectores unitarios que definen el sistema de referencia, se tiene:

expresiones en las cuales el punto indica el producto escalar. En un caso general se involucran tanto rotación como traslación. Si A"II y B"I son respectivamente los vectores A"P y B"P extendidos con una cuarta componente de valor 1:

una matriz 4x4 a la que se denomina matriz de transformación homogénea. Esta matriz es útil para expresar de una forma compacta la rotación (submatriz 3x3 superior izquierda) y la traslación (vector columna 3x1 formado por los tres primeros elementos de la cuarta columna).

En la herramienta MATLAB que se presenta en el apéndice, A"II (que indica la posición de un punto en el sistema de referencia {A}) se expresa mediante el correspondiente vector de cuatro componentes. Así es posible definir PenA=[x y z 1]' como el vector extendido que indica las coordenadas del punto P en el sistema {A}. Asimismo, el sistema de referencia con una posición y una orientación dadas se define y representa mediante la función frame (TT, color, tam), donde TT es la matriz de transformación (3.20), color especifica el color en que se representará gráficamente el sistema de referencia, y tam indica el tamaño deseado para las flechas que representan el sistema de coordenadas.

puede escribirse:

siendo

En la herramienta MATLAB del apéndice existen diferentes funciones que permiten realizar traslaciones. Así, la función T = transl (x, y, z) devuelve una matriz de transformación T que representa una traslación dada por los tres escalares (x, y, z), mientras que T = transl (v) devuelve la matriz de transformación resultado de la traslación por el vector v. De igual forma, en la rotación R de un vector AP1:

Las expresiones anteriores de rotación y traslación pueden interpretarse mediante operadores (Craig, 1989). Así, el operador de traslación de un vector A"P, mediante el vector AQ

siendo el operador de traslación

puede expresarse mediante

Enla matriz de rotación R es la misma que la que describe un marco rotado con respecto al marco de referencia. La rotación según el eje K en una magnitud θ puede expresarse como

Como caso particular, el operador que rota alrededor del eje Z se expresa mediante la transformación homogénea.

En la práctica, basta con emplear la matriz de rotación 3x3 para aplicar el operador de rotación. El operador de traslación y rotación es la matriz de transformación homogénea.

En la herramienta MATLAB existen también funcioneEn la herramienta MATLAB existen también funciones especificas para la realización de rotaciones. Así, la transformación de rotación de un ángulo theta en torno a un vector v se expresa mediante: T= rotvec (v, theta)

siendo el resultado una transformación homogénea T Asimismo, las rotaciones de un ángulo theta alrededor de los ejes X. Y y Z se realizan mediante las funciones específicas robx (theta), roty (theta) y rotz(theta) respectivamente.

Ejemplo 3.3

Si, en el ejemplo 3.1, la posición del obstáculo con respecto a un sistema de coordenadas solidario al robot es

y se realiza una rotación de 20 grados alrededor del eje Z, se tendrá

Empleando la herramienta MATLAB que se presenta en el apéndice, basta utilizar las instrucciones: P1enA=[0201]'; P2enA= rotz(pi/9)*PenA Si el robot se encuentra en unas coordenadas (8,4), las coordenadas del obstáculo en el sistema de referencia {A} se obtendrían haciendo: P1enA=[0201]'; P2enA= transl(8,4.0)*rotz(pi/9)*P1enA; Asimismo, si el robot se encuentra en unas coordenadas (8,4), la matriz de trans formación entre el sistema {B} asociado al robot y el sistema de referencia fijo {A} (ver ejemplo 3.1 viene dada por:

Nótese que la relación entre sistemas de referencia puede visualizarse claramente en MATLAB mediante las instrucciones:

El resultado es el que se muestra en la figura 3.14 Conviene poner de manifiesto que las matrices de transformación homogénea y los operadores representados mediante matrices 4x4 tienen interés para escribir de forma más compacta las relaciones involucradas, pero no suelen utilizarse para la im plantación de sistemas de control de robots ya que requieren operaciones y memoria adicional en la realización de las transformaciones.

Figura 3.13: Cambio de sistemas de referencia en el espacio.

Transformación Inversa

Otra operación importante es la obtención de la transformación inversa. Suponiendo {B} conocido con respecto a {B} ABT conocida) se desea expresar {A} conpecto a {B}. En otros términos, se trata de obtener

Por consiguiente, la expresión de la inversa de la transformación homogénea es:

La función de MATLAB trinv (T) devuelve la matriz de transformación inversa de aquella (T) que se le pasa como parámetro, efectuando el cálculo tal como se indica en (3.35). Considérese el sistema de los ejemplos 3.1 y 3.3. La matriz de transformación homogénea se calcula en el ejemplo 3.3. La inversa de esta matriz es

Ejemplo 3.4

con lo cual se comprueba la expresión de la transformación inversa Si se emplean las líneas de MATLAB: el resultado es el mismo.

Por otra parte, se tiene

TRANSFORMACIONES COMPUESTAS

Adrian rivas

En numerosos problemas de robótica es necesario involucrar transformaciones compuestas generadas mediante una serie de operaciones elementales de traslación o rotación. Así por ejemplo resulta natural asociar un sistema de referencia a cada articulación de un manipulador.

Suponga el siguiente ejemplo donde tenemos a P y deseamos encontrar P.

Estas suelen ser tramas compuestas donde cada una se conoce en forma relativa a la anterior. Donde la trama (c) se conoce en términos de la trama (B), y la trama (B) se conoce en términos de la trama (A). Donde podemos tranformar a P en P por medio de:

Después podemos transformar P en P por medio de:

TC

Si combinamos P en P obtendremos el siguiente resultado (definitivamente el esperado):

A partir el cual podríamos definir

De nuevo observe que la familiaridad con la notación de subíndices y superíndices hace que estas manipulaciones sean simples, En términos de las descripciones conocidas de (B) y (C) podemos definir la expresión para T como:

AC

TC

Utilizando la imagen anterior supongase que un manipulador robótico provisto de una pinza (T) en su extremo agarrra un objeto (G) definido con un sistema de referencia (S) asociado a una mesa.

TC

B G

Donde se suponen conocidas T que describe la localización del sistema de referencia (T) asociado a la pinza del manipulador con respecto a la de la base, T que describe el sistema de referencia (S) asociado a la mesa con respecto al de la base (B), y T que describe el sistema de referencia (G) asociado al objeto con respecto a la de la mesa (S).

B S

S G

Se trata de obtener la posición y orientación del objeto con respecto a los dedos del manipulador. Donde la localización del objeto con respecto a la base viene dada por:

Por otra parte, la localización del objeto puede expresarse como:

Por consiguiente, igualando el lado derecho de ambas ecuaciones, puede obtenerse la posición y orientación del objeto con respecto a la pinza.

Donde el tramo (T) se relaciona con el tramo (G) pero requiere de una orientación del tramo (B) y (S) para que (T) localice a (G). El empleo de transformadas compuestas y la transformada inversa permite resolver ecuaciones de transformación que tienen gran utilidad en numerosos problemas de robótica.

Las tranformaciones compuestas vienen dadas por matrices homogeneas {o coordenadas homogenea; estas representan la localización de los solidos en un espacio n-dimensional. De tal forma que un vector p(x,y,z) vendra representado por p(wx,wy,wz,w) donde "w" tiene un valor arbitrario y representa un factor a escala De forma general, un vector p = ai + bj + ck, donde i,j,k son vectores unitarios de los ejes OX,OY y OZ del sistema de referencia OXYZ, se representa en coordenadas homogéneas mediante el vector columna:

A partir de la definición de las coordenadas homogéneas surge, inmediatamente el, concepto de matriz de transformación homogénea T a una matriz de dimensión 4x4 que representan la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

Se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuestas por cuatro submatrices de distinto tamaño: Una submatriz R que corresponde una matriz de rotación; una submatriz P que corresponde al vector de traslación; una submatriz f que representa una transformación de perspectiva, y una submatriz W que representa un escaldo global.

3x3

3x1

1x3

1x1

En robótica generalmente sólo interesará conocer el valor de R y de P , considerandose los componentes de f nulas y la de W la unidad.Al tratarse una matriz 4x4 los vectores sobre los que se aplique deberán contar con 4 dimensiones, que serán las coordenadas homogéneas del vector tridimensional.

3x3

3x1

1x1

1x3

Una matriz de transformación homogénea se puede aplicar para:

2. Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema, OUVW, a su expresión en coordendas del sistema de referencia fijo OXYZ.

1. Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado OUVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

Una matriz de transformación homogénea se puede aplicar para:

3. Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ

Donde i,j son vectores unitarios

Como en una matriz homogénea solo interesa la rotación y traslación procedemos a explicarlo.

Traslación

Un vector cualquiera r, representado en el sistema OUVW por r , tendrá como componentes del vector con respecto al sistema OXYZ.

Supongase que el sistema OUVW unicamente se encuentra trasladado un vector p = pxi + pxj + pzk, con respecto al sistema OXYZ. La matriz T entonces corresponderá a una matriz homogénea de traslación. Que es denominada matriz básica de traslación.

uvw

Y a su vez, un vector r , desplazado según T tendrá como componentes r´x,y,z

xyz

Traslación

Para demostrar un ejemplo de traslación se puede decir:

Calcular el vector r`xyz resultante de trasladar al vector rxyz (4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8).

En el ejercicio, detallamos: rxyz (4,4,11) / P (6.-3,8)Y sustituimos

Si aplicamos:

Resolvemos y obtenemos la matriz o transformación compuesta que es:

Rotación

Supóngase ahora que el sistema O`UVW sólo se encuentra rotado con respecto al sistema OXYZ. La submatriz de rotación R3x3 será la que defina la rotación, y se corresponde al tipo matriz de rotación. DE igual forma, se pueden definir tres matrices homogéneas básicas de rotación según se realice está según cada uno de los tres ejes coordenados OX, OY y OZ del sistema de referencia OXYZ.

Rotación

Supóngase ahora que el sistema O`UVW sólo se encuentra rotado con respecto al sistema OXYZ. La submatriz de rotación R3x3 será la que defina la rotación, y se corresponde al tipo matriz de rotación. DE igual forma, se pueden definir tres matrices homogéneas básicas de rotación según se realice está según cada uno de los tres ejes coordenados OX, OY y OZ del sistema de referencia OXYZ.

Rotación

Un vector cualquiera r, representado en el sistema girado O`UVW por ruvw, tendrá como componentes (rx,ry,rz) en el sistema OXYZ las siguientes:

Para demostrar lo anterior planteamos el siguiente ejemplo:Según el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = (4,8,12)

Y a su vez un vector r x,y,z rotado según T vendrá expresado por r` x,y,z según:

Rotación

Usando las ecuaciones anteriores planteamos

La traslación y la rotación son transformaciones que se realizan en relación a un sistema de referencia. Por lo tanto si se quiere expresar la posición y la orientación de un sistema O`UVW, originalmente coinciden con el de referencial y que ha sido rotado y trasladado según este, habra que tener encuenta si primero se ha realizado la rotación y después la traslación o viceversa, pues se trata de transformaciones espaciales que involucra una transformación compuesta.

Y se obtiene

Ver

Rotación

Un ejemplo es: Considerese un robot manipulador con dos articulaciones que se mueve en el plano con dos grados de libertad.

Donde se asocia un cuadro de referencia a cada articulación, donde las matrices de rotación correspondientes son:

Rotación

La transformación compuesta viene dada por la matriz de rotación:

En lo que sigue se simplificará la notación escribiendo "si" en lugar de seno de teta, ci, en lugar de coseno de teta.

Por consiguiente, la expresión anterior se escribirá

OTRAS REPRESENTACIONES DE LA ORIENTACIÓN

La orientación en el plano viene dada por un ángulo. Así en un robot móvil que navega por un terreno plano sólo se necesita un ángulo de orientación típicamente el ángulo con la dirección del norte: En el espacio la orientación viene dada por tres ángulos en general, por tres parámetros independientes.

Se sabe que una forma de representación de la orientación es la matriz de rotación. Esta matriz es 3x3, por lo que sus elementos no son independientes. Se recuerda que la matriz de rotación R = { X Y Z } puede expresarse mediante los vectores unidad perpendiculares entre sí. Por consiguiente, existen seis restricciones en los elementos de la matriz de rotación:

Las tres primeras restricciones corresponden a los módulos unidad, mientras que las tres restantes imponen un producto escalar cero (vectores perpendiculares). Las matrices de rotación son interesantes para realizar operaciones de rotación, pero para representar la orientación se prefieren sistemas de ángulos tales como:

- Ángulos RPY - - Ángulos de Euler Z-Y-X - - Ángulos de Euler Z-Y-Z -

ÁNGULOS RPY

Se emplean los ángulos RPY:

Que, en terminología náutica, corresponden respectivamente a alabeo, cabeceo y guiñada. Si se desea expresar la orientación de un objeto, que tiene un sistema de ejes asociados {B}, con respecto a un sistema de referencia {A}. Se comienza con {B} coincidente con la referencia {A} y se efectua una rotación de {B} alrededor de XA un ángulo de (Gamma)"Balanceo". Se efectua una rotación alrededor de YA un ángulo (Beta) "Inclinación" y finalmente una rotación alrededor de ZA un ángulo (Alfa) "Orientación".

ÁNGULOS RPY

Para obtener las tres incógnitas pueden plantearse nueve ecuaciones de las cuales seis son dependientes. En la práctica, basta plantear tres ecuaciones con tres incognitas. Por ejemplo, suponiendo: Es posible emplear la función arco tangente para calcular gamma a partir de r32 y r33. De forma más precisa, si se define la función arctg2(r32,33) como el arco tangente del ángulo r32/r33 teniendo en cuenta el signo de r32 y r33 para determinar el cuadrante se tendrá: Así por ejemplo:

Empleando el operador de rotación, se tendría:

Que puede expresarse como producto de matrices de rotación

Efectuando la multiplicación de matrices se obtiene:

Se reduce y se obtiene:

ÁNGULOS RPY

Mientras que:

Existe una herramienta de calculo denominado MATLAB, donde se puede obtener los ángulos RPY a partir de una transformación homogénea dada por (T) para así describir lo siguiente:

Y la función es indefinida cuando ambos argumentos son cero. Así mismo, es posible obtener:

Escogiendo la solución:

Para obtener la solución de dicha ecuación, que en este caso se usa para hallar el ángulo.

Que corresponde a tomar la raíz como positiva. Finalmente puede aplicarse la misma función para obtener:

Existen soluciones degeneradas para Beta = mas o menos 90° (siendo, por tanto, Cbeta = 0). En estos casos sólo puede calcularse la suma o la diferencia de alfa y gamma. Suponiendo que se elige alfa = 0, se tienen las soluciones:

ÁNGULOS DE EULER Z-Y-X

En esta representación, en lugar de realizar tres rotaciones consecutivas alrededor de los ejes del sistema de referencia {A} las rotaciones se efectuan alrededor de los ejes del sistema {B} solidario al cuerpo.

De donde:

Por consiguiente:

Se comienza con B coincidente con la referencia {A} y se realiza una rotación de {B} alrededor de ZB un ángulo alfa (balanceo).

Operando se obtiene:

Ejemplo: Efectuar una rotación alrededor de YB´, resultante del primer giro,un ángulo beta (inclinación). Finalmente, se realiza una rotación alrededor de XB´´, resultante del segundo giro, un ángulo gamma(orientación). La rotación puede expresarse como:

ÁNGULOS DE EULER Z-Y-X

Podemos observar que la fórmula resultante es exactamente la misma que la calculada anteriormente para los ángulos RPY, por lo que para obtener los ángulos Z,-Y,-X a partir de la matriz (Problema inverso) es posible aplicar las mismas expresiones que resultaron para los ángulos RPY.

ÁNGULOS DE EULER Z-Y-Z

Los ángulos de Euler presentados anteriormente definen la orientación mediante tres giros consecutivos en los tres ejes de coordenadas. Realizando de forma diferente los giros, se obtienen otras representaciones. En el caso de los denominados ángulos de Euler Z-Y-Z, se comienza también {B} coincidente con la referencia {A} y se efectúan sucesivamente la rotación de {B} alrededor de ZB un ángulo alfa, y a continuación alrededor de YB´ un ángulo beta. Sin embargo, la tercera rotación es diferente ya que ahora vuelve a rotarse alrededor de ZB un ángulo gamma. En este caso llega a obtenerse una matriz de rotación.

Usando la herramienta MATLAB, la función que devuelve la transformación homogénea que corresponde a los ángulos de Euler Z-Y-Z (Alpha, beta y gamma) que se le pasan como parámetros es T = eul2tr (alpha,beta,gamma).

ÁNGULOS DE EULER Z-Y-Z

Eligiendo alfa = 0 se obtienen las soluciones:

El problema inverso se resuelve ahora mediante las expresiones:

Los ángulos de Euler Z-Y-Z se obtienen a partir de una transformación homogénea (T) dada, empleando la función:

{Alpha, beta, gamma} = tr2eul (T)

El ángulo beta se elige de forma que cero sea menor igual que beta y beta menor igual que 180°, que corresponde a la raíz positiva. De igual forma que se ha visto anteriormente, si beta = 0 o beta = 180° la solución es degenerada. En este caso sólo puede calcularse la suma o la diferencia de alfa y gamma.

CUATERNIOS

Conviene mencionar otras representaciones posibles de la orientación tales como los denominados pares de rotación o los cuaternios.

Cuando se emplean pares de rotación, la orientación de un sistema {B} con respecto a un sistema {A} un ángulo teta sobre K, se obtiene el sistema {B}

Los cuaternios están constituidos también por cuatro componentes: un escalar y un vector de tres componentes. De forma más precisa se emplea el par.

Representación de la orientación mediante pares de rotación

conclusión

El modelado y control de robots hace necesario considerar posiciones y orientaciones en el espacio. En este capítulo se han introducido la notación y las expresiones básicas que se utilizarán con profusión en los capítulos posteriores. Asimismo, se han presentado las transformaciones compuestas y la transformación inversa que se requieren también para el modelado y control tanto de los robots manipuladores como de los móviles

gracias