Anualidades o Series Uniformes

Anualidades o Series uniformes

Gerson Alexander Quijano Torres Contador Público - Uniremington MSc Derecho Tributario - USTA

" Quien compra al fiado; compra doblado"

G. Fandiño

Index

1. Conceptualización y características

2. Anualidad Vencida

3. Anualidad Anticipada

4. Anualidad Diferida

5. Anualidad Perpertua

6. Anualidad General

Conceptualización y Características

Conceptualización y Características

Características

Concepto

• Todos los pagos deben ser iguales.
• Todos los pagos deben ser periódicos.
• Todos los pagos son llevados al inicio o al final de la serie; es decir, la anualidad debe tener un valor presente equivalente y un valor futuro equivalente.
• El numero de pagos debe ser igual al número de períodos.

Una anualidad es un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo: anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc.

Aplicaciones

La financiación de electrodomésticos, vehículos, seguros, arriendos, etc; corresponden a una serie de pagos con características iguales y periódicos. Estos son denominados anualidades o series uniformes. También, son comunes en los sistemas de amortización de los créditos comerciales, bancarios e hipotecarios.

Clases de anualidad

• Anualidad Vencida
• Anualidad Anticipada
• Anualidad Diferida
• Anualidad Perpetua

" Una anualidad es un conjutno de pagos iguales y periódicos"

Anualidad vencida

Anualidad Vencida

2.1 Valor presente de una Anualidad Vencida

Concepto

Es aquella en que los pagos se hacen al final del período. Ejemplo: sueldo mensual, cuotas iguales y vencidas por la compra de vehículos y electrodomésticos, arrendamientos, etc.

corresponde al valor ubicado en un período anterior a la fecha del primer pago equivalente a una serie de pagos iguales y periódicos.

Diagrama de flujo

Fórmula

0 1 2 3 n

P = Valor presente antes del primer pago A = Anualidad i = Tasa de interés n = numero de periodos

Anualidad Vencida

2.1 Valor presente de una Anualidad Vencida

Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 12 cuotas mensuales iguales de $200.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el calor del vehículo.

Datos CI = $1.000.000 A = $ 200.000 n = 12 i = 2.5% mensual P = ¿?

Diagrama de flujo

P = 200.000 [ ( (1 + 0.025)12 - 1) ]

P = ¿?

[ ( 0.025(1 + 0.025)12 )]

P = 200.000 [ ( (1.025)12 - 1) ]

0 1 2 3 ......... 12

[ ( 0.025(1.025)12 )]

P = 200.000 [ ( 1.34489 - 1) ]

[ ( 0.025(1.34489) )]

200.000

200.000

200.000

200.000

1.000.000

P = 200.000 [ 0.34489 ]

[ 0.03362 ]

Fórmula

P = 200.000 [ 10.25848 ]

P = 2.051.696

P = 1.000.000 + 2.051.696 P = 3.051.696

Anualidad Vencida

2.1 Valor presente de una Anualidad Vencida

Calcular el valor de contado de un activo que es financiado. Se adquirió de la siguiente forma: cuota inicial equivalente al 20% del valor del contado y 24 cuotas mensuales de $800.000. La tasa de financiación es del 3%.

Diagrama de flujo

P = 0.2P + 800.000 [ ( (1 + 0.03)24 - 1) ]

P = ¿?

[ ( 0.03(1 + 0.03)24 )]

P = 0.2P + 800.000 [ ( (1.03)24 - 1) ]

0 1 2 3 4 5 6 ....... 24

[ ( 0.03(1.03)24 )]

P = 0.2P + 800.000 [ ( 2.03279 - 1) ]

800.000

[ ( 0.03(2.03279) )]

0.2P

P = 0.2P + 800.000 [ 1.03279 ]

Datos CI = 0.2 P A = $ 800.000 n = 24 i = 3% mensual P = ¿?

[ 0.06098 ]

Fórmula

P = 0.2P + 800.000 [ 16.93654 ]

P - 0.2P = 13.549.232

0.8P = 13.549.232

P = (13.549.232 / 0.8)P = 16.936.540

Anualidad Vencida

2.2 Valor presente de una Anualidad Vencida con tasa variable

Calcular el valor presente de 4 cuotas mensuales de $200.000 dadas las siguientes tasas de interés:

¿Por qué no se aplica esta fórmula?

¿Cómo se resuelve?

Anualidad Vencida

2.3 Valor de la cuota en función del valor presente

conocidos el valor presente (P), la tasa de interés (i) y el número de pagos (n), podemos calcular el valor de la cuota.

Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12 cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas.

Fórmula

A = 18.000.000 [ ( (0.02 (1 + 0.02)12 ) ]

[ (1 + 0.02)12 - 1 )]

A = 18.000.000 [ ( 0.02 ( 1.02)12 ) ]

[ ( (1.02)12 - 1)]

A = 18.000.000 [ ( 0.02 ( 1.26824) ) ]

Diagrama de flujo

[ ( (1.26824 - 1)]

P = 20.000.000

A = 18.000.000 [ 0.02536 ]

[ 0.26824]

A = 18.000.000 [ 0.09454 ]

0 1 2 3 4 5 6 ....... 12

A = 1.701.720

A = ¿?

2.000.000

Anualidad Vencida

2.3 Valor de la cuota en función del valor presente

Fórmula

Se tiene un crédito de $5.000.000 para pagarlo en 18 cuotas mensuales de $50.000 más dos cuotas extras en los meses 6 y 12. Si la operación financiera se realiza con un interés del 3% mensual. Calcular el valor de las cuotas extras.

Anualidad Vencida

2.4 Valor futuro de una anualidad vencida

Es el valor ubicado en la fecha del último pago; equivalente a toda la serie de pagos iguales y periódicos.

Sí Nicola Copérnico deposita $12.000 cada fin de mes durante un año; en una entidad financiera que reconoce una tasa del 3.0% mensual ¿Cuánto dinero tendrá acumulado al final del tiempo?

Fórmula

VF = Valor futuro A = Anualidad i = Tasa de interés n = numero de periodos

Diagrama de flujo

F = ¿?

0 1 2 3 4 5 6 ....... 12

A = 12.000

Anualidad Vencida

2.5 Valor de la cuota en funcion del valor futuro

conocidos el valor futuro equivalente en una serie de pagos iguales (F), la tasa de interés efeciva periódica (i) y el número de pagos (n), se desea calcular el valor de la cuota i gual y periódica.

¿Cuánto se debe depositar al final de cada mes durante dos años en una cuenta de ahorros que reconoce una tasa del 2.50% mensual para reunir la suma de $8.500.000?

Fórmula

F = Valor futuro A = Anualidad i = Tasa de interés n = numero de periodos

Diagrama de flujo

F = 8.500.000

0 1 2 3 4 5 6 ....... 12

A = ¿?

Anualidad Vencida

2.5 Valor de la cuota en funcion del valor futuro

conocidos el valor futuro equivalente en una serie de pagos iguales (F), la tasa de interés efeciva periódica (i) y el número de pagos (n), se desea calcular el valor de la cuota i gual y periódica.

Fórmula

Un padre de familia necesita disponer al final del año $4.500.000; para tal efecto comienza a hacer depósitos al final de cada mes de $335.518,18 en una corporación que paga el 2%. Al llegar a la entidad a hacer el noveno depósito le informan que la tasa de interés ha bajado al 1.6% mensual. ¿Qué valor deben ser los nuevos depósitos?

F = Valor futuro A = Anualidad i = Tasa de interés n = numero de periodos

Anualidad Vencida

2.5 Cálculo del tiempo de negociación

El número de cuotas o tiempo de negociación se puede calcular a partir del valor presente o del valor futuro dependiendo del valor que se conoozca en la operación.

Fórmula futuro

Fórmula presente

F = Valor futuro P = Valor presente A = Anualidad i = Tasa de interés n = numero de periodos

Anualidad Vencida

2.5 Cálculo del tiempo de negociación

El número de cuotas o tiempo de negociación se puede calcular a partir del valor presente o del valor futuro dependiendo del valor que se conoozca en la operación.

Una deuda de $1.000.000 se debe cancelar en cuotas mensuales iguales de $100.000 cada una. Si la tasa de interés cobrada es del 36%MV ¿Cuántos pagos se cancela la deuda?

Fórmula presente

2) construir el flujo (tablero)

1) conocer la tasa mensual

Fórmula futuro

3) determinar los periodos

F = Valor futuro P = Valor presente A = Anualidad i = Tasa de interés n = numero de periodos

Anualidad Vencida

2.5 Cálculo del tiempo de negociación

El número de cuotas o tiempo de negociación se puede calcular a partir del valor presente o del valor futuro dependiendo del valor que se conoozca en la operación.

¿Cuántos depósitos mensuales vencidos de $156.325 se debe hacer en un banco que paga el 2% mensual para tener un valor acumulado de $1.500.000

Fórmula presente

1) construir el flujo (tablero)

Fórmula futuro

2) determinar los periodos

F = Valor futuro P = Valor presente A = Anualidad i = Tasa de interés n = numero de periodos

Anualidad Vencida

2.6 Cálculo de la tasa de interés

Un vehículo tiene un valor de contado de $30.000.000 y se va a financiar de la siguiente forma: una cuota inicial del 30% del valor y 36 cuotas mensuales iguales por valor de $961.978,68. Calcular la tasa de interés cobrada. fx 0

Diagrama de flujo

P = 30.000.000

Debemos calcular la interpolación lineal

0 1 2 3 4 5 6 ....... 36

A = 961.879,68

9.000.000

A una tasa del 3.5%

A una tasa del 2.8%

Ejercicios

• Un padre de familia inicia una cuenta de ahorros con $50.000 en una entidad bancaria que le paga una tasa de interés del 2% mensual. Cada fin de mes deposita $200.000 durante 12 meses. Si al final del mes 6 hace un depósito extra de $2.000.000 ¿Calcular el valor acumulado al final del año? fx mes 12.
• Un ahorrador decide hacer depósitos de $1.000.000 por mes vencido durante un año en una corporación de ahorro y crédito que reconoce una tasa de interés del 1.8% mensual. En el depósito séptimo le informan que la tasa de interés ha aumentado al 2% mensual y por esta razón decidió aumenta los depósitos a $1.500.000 ¿Qué valor tiene acumulado al final del año?
• Cleopatra inicia una cuenta en el banco caja social con $300.000 y al mes comienza a hacer depósitos de $100.00 cada mes vencido ¿Qué tiempo debe esperar para tener acumulados $1.460.670,43 si le pagan una tasa de interés del 3% mensual?
• Un empleado deposita en una entidad bancaria al final de casa mes la suma de $250.000. Al cabo de 3 años tiene un saldo disponible de $13.500.00 ¿Qué tasa nominal capitalizable mensual ha ganado=

Anualidad Anticipada

Anualidad Anticipada

Diagrama de flujo

Concepto

Es aquella en que los pagos se hacen al inicio de cada período. Ejemplo: arriendos anticipados, seguros, pago de cuotas por el financiamiento de un electrodoméstico.

0 1 2 3 n

Para calcular las anualidades anticipadas se puede utilizar las mismas fórmulas empleadas en las anualidades vencidas; sólo se debe tener cuidado en determinar en qué período se está calculando el valor presente o el valor futuro.

Anualidad Anticipada

3.1 Valor presente de una Anualidad Anticipada

El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor , que en el momento de realizada la operación financiera sea equivalente a toda la serie.

Para calcular el valor presente de una anualidad hay dos procedimientos distintos que llegan al mismo resultado.

Fórmula procedimiento 1

Fórmula procedimiento 2

Diagrama de flujo

Diagrama de flujo

P - A

P1

0 1 2 3 n

0 1 2 3 n

-1

Anualidad Anticipada

3.1 Valor presente de una Anualidad Anticipada

Se tiene una obligación que en momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada una por mes anticipado. Se decide a última hora; cancelar de contado. Si la tasa de interés acordada es del 3% mensual. Hallar este valor.

Fórmula procedimiento 1

Fórmula procedimiento 2

Diagrama de flujo

Diagrama de flujo

P - A

P1

0 1 2 3 n

0 1 2 3 n-1

-1

Anualidad Anticipada

3.1 Valor presente de una Anualidad Anticipada

Se tiene una obligación que en momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada una por mes anticipado. Se decide a última hora; cancelar de contado. Si la tasa de interés acordada es del 3% mensual. Hallar este valor.

Fórmula procedimiento 1

Diagrama de flujo

P1

0 1 2 3 17

-1

A= $ 15.000

Anualidad Anticipada

3.1 Valor presente de una Anualidad Anticipada

Se tiene una obligación que en momento se había pactado cancelar con 18 cuotas iguales de $15.000 cada una por mes anticipado. Se decide a última hora; cancelar de contado. Si la tasa de interés acordada es del 3% mensual. Hallar este valor.

Fórmula procedimiento 2

Diagrama de flujo

P - 15.000

0 1 2 3 n-1

A= $ 15.000

Anualidad Anticipada

3.1 Valor presente de una Anualidad Anticipada

A su mejor amigo le ofrecen arrendar un negocio por un año pagándole un canon mensual anticipado de $800.000. Si solicita un solo pago en el momento de arrendarla ¿Cuánto debe recibir si su tasa de oportunidad es del 2% mensual?

Fórmula procedimiento 1

Fórmula procedimiento 2

Anualidad Anticipada

3.2 Valor de la cuota de una anualidad anticipada

Corresponde al valor de la cuota de una serie de cuotas que se pagan al principio del período

Para calcular el valor de la cuota una anualidad hay dos procedimientos distintos que llegan al mismo resultado.

Fórmula procedimiento 1

Fórmula procedimiento 2

Diagrama de flujo

Diagrama de flujo

P - A

P1

0 1 2 3 n

0 1 2 3 n

-1

Anualidad Anticipada

3.2 Valor de la cuota de una anualidad anticipada

Se recibe un préstamo de $10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés; calcular el valor de las cuotas.

Fórmula procedimiento 1

Diagrama de flujo

P= $10.000.000

P1

0 1 2 3 n

-1

A = ¿?

Anualidad Anticipada

3.2 Valor de la cuota de una anualidad anticipada

Se recibe un préstamo de $10.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales, pagaderas en forma anticipada. Si le cobran el 4% de interés; calcular el valor de las cuotas.

Fórmula procedimiento 2

Diagrama de flujo

P - A ¿?

0 1 2 3 n

A = ¿?

Anualidad Anticipada

3.3 Cálculo del tiempo de negociación de una anualidad anticipada

Corresponde a un numero de pagos cancelados al principio del período para amortizar una obligación.

Se puede calcular en función del valor presente o el valor futuro

Fórmula para el futuro

Fórmula para el presente

Anualidad Anticipada

3.3 Cálculo del tiempo de negociación de una anualidad anticipada

Una obligación e $2.000.000 se va a cancelar con pagos mensuales iguales anticipados de $350.441,75. Si se cobra una tasa de interés del 3% mensual. Calcular el número de pagos necesarios para cancelarla.

Fórmula para el presente

Diagrama de flujo

P = 2.000.000

0 1 2 3 n

A = 358.441,75

Anualidad Anticipada

3.3 Cálculo del tiempo de negociación de una anualidad anticipada

Un empleado consigna $30.000 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 2.0833% mensual ¿En cuánto tiempo logrará completar $3.000.000.

Fórmula para el futuro

Diagrama de flujo

F = 3.000.000

n = ¿?

0 1 2 3

A = 30.000

Anualidad Anticipada

3.4 Cálculo de la tasa de interés de una anualidad anticipada

Un artículo que cuesta $3.000.000 se va a financiar por medio de 24 cuotas mensuales de $180.000. Calcular la tasa de interés de financiación

Fórmula

Debemos calcular la interpolación lineal

A una tasa del 3.6%

Diagrama de flujo

P = 3.000.000

i = ¿?

A una tasa del 3.3%

0 1 2 3 4 5 6 ....... 24

A =180.000

Anualidad Anticipada

3.5 Valor futuro de una anualidad anticipada

Katya Elena recibe al principio de cada mes la suma de $100.000 por conceptos de arriendo de una bodega de su propiedad. En el mismo momento en que recibe el pago del arriendo deposita la mitad en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa de interés del 3.0% mensual. Ella desea saber cuánto tendrá disponible en la cuenta al final del año.

Fórmula

Diagrama de flujo

F = ¿?

0 1 2 3 4 5 6 ....... 12

A = 50.000

Ejercicios

• Al señor Alejandro Magno le financian un vehículo en Toyota con las siguientes condiciones: una cuota inicial de %5.000.000 y 18 cuotas mensuales iguales a $500.000 pagaderas en forma anticipada y dos cuotas extraordinarias de $1.000.000 cada una; en los meses 6 y 12. Si la tasa de financiación que le cargan es del 4% mensual, Calcular el valor de contado del vehículo: fx 0 mes.
• Al comprar un apto se queda debiendo $50.000.000 pagaderos en 4 años, con cuotas mensuales anticipadas y una cuota única al final del plazo de $10.000.000. Sí la tasa de financiación es de3l 3% mensual; calcular el valor de cada una de las cuotas.
• Se recibe una crédito para las vacaciones en Inglaterra por valor de $15.000.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales iguales pagaderas de forma anticipada. Si le cobran el 4% del intereses; calcular el valor de las cuotas.
• El duelo de una propiedad recibe tres ofertas de compra: Interés 2% mensual.
• $32.000.000 de contado
• Cuota inicial de $5.000.000 a 24 pagos mensuales vencidos de $1.500.000 y un pago único dentro de 30 meses por $2.500.000
• 12 pagos mensuales anticipados por $2.500.000 y pago único de $5.000.000 en el mes 18.

Anualidad Diferida

Anualidad Diferido

Conceptualización

Es aquella en la que el primer pago se realiza unos períodos después de realizada la operación financiera. Este momento en que queda formalizada la operación financiera se llama momento de convenio. En la anualidad diferida el tiempo que transcurre sin amortizar el capital se llama periodo de gracia o tiempo muerto; sin embargo, durante este periodo hay causación de intereses.

Capitalizables

No Capitalizables

En el periodo de gracia el capital habrá aumentado; por tanto, calcular el valor de los pagos iguales se debe tener en cuenta el valor equivalente.

En el periodo de gracia el capital el capital permanece constante.

Fórmula

Fórmula

Anualidad Diferido

Capitalizables

Se adquiere hoy un electrodoméstico financiado con 18 cuotas mensuales iguales de $150.000 cada una; debiendo cancelar la primera cuota dentro de 5 meses. si la operación financiera realizada al 3% mensual. Calcular el valor del electrodoméstico.

Fórmula Capitalizable

Diagrama de flujo

P1

0 4 5 6 7 8 21 ......... 22

A = 150.000

Anualidad Diferido

NO Capitalizables

Una deuda de $50.000.000 se debe cancelar con pagos desde el mes 6 al mes 12 de $750.000 y un pago adicional en el mes 18. si se cobra una tasa de interés del 3% mensual ¿Cuál es el valor del pago adicional?

Fórmula NO Capitalizable

Diagrama de flujo

P = 50.000.000

0 6 7 8 9 10 11 12 18

A = 750.000

Ejercicios

• Se están debiendo $3.800.000a una tasa de interés del 2.0% mensual; para cancelarlos por medio de 6 cuotas mensuales iguales pagándose la primera en el mes 4 después de adquirir la obligación. Calcular el valor ode las cuotas.

Fórmula NO Capitalizable

Anualidad Perpetua

Anualidad Perpetua

Conceptualización

Es aquella en la que no existe el último pago o aquella cuyo plazo no tiene fin.

Anualidad Perpetua Vencida

Anualidad Perpetua Anticipada

Fórmula

Fórmula

Un inversionista decide arrendar una propiedad por $450.000 mensuales anticipados en forma indefinida. Recibe una oferta: recibir un solo pago en el día de hoy equivalente a toda una serie de pagos con una tasa de oportunidad del 3.5% mensual. Recomienda tomar esta opción

El señor Pedro Matajira paga durante 2 años intereses por valor de $50.000 mensuales a una tasa de interés del 4% mensual. Calcular el valor del préstamo.

Anualidad General

Anualidad General

Conceptualización

Esta anualidad identifica que los pagos no coinciden con los periodos d interés. Por ejemplo: pagos mensuales con un atasa efectua anual, etc. Recordemos: periodo de capitalización y periodo de pago.

3. El valor futuro de la anualidad

Hallar el valor acumulado de 20 pagos trimestrales vencidos de $50.000 cada uno; con una tasa de interés del 36% capitalizable mensualmente.

1. Ubicar la tasa mensual (formula nominal)

2. Hallar la TET

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