Modelos Matemáticos
Sistemas de ecuaciones Lineales y no lineales
Sistemas de ecuaciones Lineales con más de 2 variables
Los métodos que podemos utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables también pueden usarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables (que son los que vamos a ver por ahora). Una ecuación lineal general con tres variables x, y y z es una ecuación que tiene la forma: donde A, B, C y D son constantes y A, B y C no son todas cero. Una ecuación lineal general con tres variables representa geométricamente un plano en el espacio, y una solución al sistema de tales ecuaciones es la intersección de los planos.
Ax+By+Cz=D
(Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015, p. 144)
Soluciones de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
Para resolver un sistema de ecuaciones, se puede representar gráficamente aunque para ello es conveniente usar un software debido a que la gráfica de cada ecuación es un plano. Por lo general, es necesario implementar algún procedimiento algebraico. Recordemos para ello la definición de sistemas equivalentes:
Se dice que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto de solución. Los sistemas obtenidos tienen progresivamente formas más fáciles para determinar la solución, por lo tanto se busca un sistema equivalente que contenga una ecuación en la que por ejemplo, una de las variables no aparezca. Al tratar con sistemas de ecuaciones lineales, el paso de un sistema a otro equivalente siempre se logra mediante uno de los siguientes procedimientos:
1. Intercambio de dos ecuaciones.
2. Multiplicación de una ecuación por una constante distinta de cero.
3. Reemplazo de una ecuación por sí misma más un múltiplo de otra ecuación.
(Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015)
Algunos de los procedimientos algebraicos que podemos utilizar para encontrar el conjunto de solución son los mismos que para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnicas, aunque más adelante veremos otros: 1. Eliminación por adición. 2. Eliminación por sustitución. 3. Eliminación por igualación.
Eliminación por adición
El método de eliminación por adición consiste en combinar las dos ecuaciones de tal manera que la ecuación resultante tenga solo una variable o dos. A continuación se desarrolla el Ejemplo 1:
Eliminación por adición
Gráficamente la resolución del Ejemplo 1, se vera como la Figura 1
Figura 1: Sistema lineal del Ejemplo 1: la solución es el punto A=(1,-5,6)
Fuente: Elaboración propia
Sistemas de ecuaciones no Lineales
Un sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal se llama sistema no lineal. Con frecuencia, un sistema no lineal puede resolverse por sustitución o igualación, o de forma gráfica como en los sistemas lineales.
(Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015, p. 144)
Ejemplos de sistemas no lineales (tomados de: (Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015, p. 159):
Resolución de un sistema no lineal
Resolveremos el Ejemplo 1, que posee una ecuación lineal de grado 2, y otra de grado 1. Por lo tanto, podemos usar por ejemplo, el método de igualación o sustitución. Para igualar, despejamos la misma incógnita de ambas ecuaciones, igualamos las expresiones y luego resolvemos la ecuación cuadrática:
Resolución de un sistema no lineal
La solución geométrica del Ejemplo 1 se presenta en la Figura 2:
Figura 2: Sistema no lineal (Ejemplo 1): la solución son los puntos A=(2;7) y B=(-3;-8)
Fuente: Elaboración propia
Resolución de un sistema no lineal
Resolveremos el Ejemplo 2, que posee una ecuación lineal de grado 1 y otra no lineal. Por lo tanto, podemos usar por ejemplo, el método de sustitución. Despejamos una incógnita de la ecuación lineal, sustituimos en la otra y luego resolvemos la ecuación resultante:
Resolución de un sistema no lineal
La solución geométrica del Ejemplo 2 se presenta en la Figura 3:
Figura 3: Sistema no lineal (Ejemplo 2): la solución es el punto A=(2;2)
Fuente: Elaboración propia
Bibliografía
Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J. (2015). Matemáticas para administración y economía. Decimotercera edición. PEARSON, México.
¿Qué aprendimos hasta acá?
Métodos Algebraicos
Método Gráfico
Representa-ciones
Máximos y minimos
Sistemas de ecuaciones no lineales
Variables
Regla de Cramer
Dominio e imagen
Crecimiento y decrecimiento
Determinantes
Modelos Funcionales
Modelos Polinomicos
Método de la inversa
Método Gráfico
Métodos Algebraicos
Método de Gauss Jordan
Modelos Cuadráticos
Sistemas 2X2
Modelos Lineales n>2
Modelos Lineales n<=2
Sistemas mXn
Operaciones
Ecuación Cuadrática
Sistemas mXm
Pendiente y ordenada
Ecuaciones Lineales
Vectores y Matrices
Raíces, ordenada, vértice
Variaciones de una función
Características algebraicas - gráficas
Gráfica
Sistemas de ecuaciones lineales
Herramientas Matemáticas I - Álgebra
Modelos Lineales y no lineales (Sistemas de ecuaciones)
Celeste Banchio
Created on October 26, 2022
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Modelos Matemáticos
Sistemas de ecuaciones Lineales y no lineales
Sistemas de ecuaciones Lineales con más de 2 variables
Los métodos que podemos utilizar para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables también pueden usarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables (que son los que vamos a ver por ahora). Una ecuación lineal general con tres variables x, y y z es una ecuación que tiene la forma: donde A, B, C y D son constantes y A, B y C no son todas cero. Una ecuación lineal general con tres variables representa geométricamente un plano en el espacio, y una solución al sistema de tales ecuaciones es la intersección de los planos.
Ax+By+Cz=D
(Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015, p. 144)
Soluciones de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
Para resolver un sistema de ecuaciones, se puede representar gráficamente aunque para ello es conveniente usar un software debido a que la gráfica de cada ecuación es un plano. Por lo general, es necesario implementar algún procedimiento algebraico. Recordemos para ello la definición de sistemas equivalentes:
Se dice que dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto de solución. Los sistemas obtenidos tienen progresivamente formas más fáciles para determinar la solución, por lo tanto se busca un sistema equivalente que contenga una ecuación en la que por ejemplo, una de las variables no aparezca. Al tratar con sistemas de ecuaciones lineales, el paso de un sistema a otro equivalente siempre se logra mediante uno de los siguientes procedimientos: 1. Intercambio de dos ecuaciones. 2. Multiplicación de una ecuación por una constante distinta de cero. 3. Reemplazo de una ecuación por sí misma más un múltiplo de otra ecuación.
(Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015)
Algunos de los procedimientos algebraicos que podemos utilizar para encontrar el conjunto de solución son los mismos que para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnicas, aunque más adelante veremos otros: 1. Eliminación por adición. 2. Eliminación por sustitución. 3. Eliminación por igualación.
Eliminación por adición
El método de eliminación por adición consiste en combinar las dos ecuaciones de tal manera que la ecuación resultante tenga solo una variable o dos. A continuación se desarrolla el Ejemplo 1:
Eliminación por adición
Gráficamente la resolución del Ejemplo 1, se vera como la Figura 1
Figura 1: Sistema lineal del Ejemplo 1: la solución es el punto A=(1,-5,6)
Fuente: Elaboración propia
Sistemas de ecuaciones no Lineales
Un sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal se llama sistema no lineal. Con frecuencia, un sistema no lineal puede resolverse por sustitución o igualación, o de forma gráfica como en los sistemas lineales.
(Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015, p. 144)
Ejemplos de sistemas no lineales (tomados de: (Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J., 2015, p. 159):
Resolución de un sistema no lineal
Resolveremos el Ejemplo 1, que posee una ecuación lineal de grado 2, y otra de grado 1. Por lo tanto, podemos usar por ejemplo, el método de igualación o sustitución. Para igualar, despejamos la misma incógnita de ambas ecuaciones, igualamos las expresiones y luego resolvemos la ecuación cuadrática:
Resolución de un sistema no lineal
La solución geométrica del Ejemplo 1 se presenta en la Figura 2:
Figura 2: Sistema no lineal (Ejemplo 1): la solución son los puntos A=(2;7) y B=(-3;-8)
Fuente: Elaboración propia
Resolución de un sistema no lineal
Resolveremos el Ejemplo 2, que posee una ecuación lineal de grado 1 y otra no lineal. Por lo tanto, podemos usar por ejemplo, el método de sustitución. Despejamos una incógnita de la ecuación lineal, sustituimos en la otra y luego resolvemos la ecuación resultante:
Resolución de un sistema no lineal
La solución geométrica del Ejemplo 2 se presenta en la Figura 3:
Figura 3: Sistema no lineal (Ejemplo 2): la solución es el punto A=(2;2)
Fuente: Elaboración propia
Bibliografía
Haeussler, E. F. JR.; Paul, R. S.; Wood, R. J. (2015). Matemáticas para administración y economía. Decimotercera edición. PEARSON, México.
¿Qué aprendimos hasta acá?
Métodos Algebraicos
Método Gráfico
Representa-ciones
Máximos y minimos
Sistemas de ecuaciones no lineales
Variables
Regla de Cramer
Dominio e imagen
Crecimiento y decrecimiento
Determinantes
Modelos Funcionales
Modelos Polinomicos
Método de la inversa
Método Gráfico
Métodos Algebraicos
Método de Gauss Jordan
Modelos Cuadráticos
Sistemas 2X2
Modelos Lineales n>2
Modelos Lineales n<=2
Sistemas mXn
Operaciones
Ecuación Cuadrática
Sistemas mXm
Pendiente y ordenada
Ecuaciones Lineales
Vectores y Matrices
Raíces, ordenada, vértice
Variaciones de una función
Características algebraicas - gráficas
Gráfica
Sistemas de ecuaciones lineales
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