Final - 1.4 Forma Polar y exponencial

Álgebra Lineal ACF-0903

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1.4 Forma Polar y exponencial de un número complejo

Representación Polar de un número complejo

Ahora introduciremos la forma trigonométrica de los números complejos, que presentan ciertas ventajas especiales sobre la forma rectangular. En la figura 1, sea P el número complejo . Tenemos el segmento OP que une P con el origen y representamos su longitud con r. Tracemos la perpendicular PA de P al eje X, y llamamos al ángulo POA. Entonces, por trigonometría, en el triángulo rectángulo OAP tenemos:

(1)

(2)

(3)

Figura 1. Gráfica del número complejo

De la relación (1) podemos escribir:

Forma Polar

Forma rectangular

La longitud r se llama módulo o valor absoluto del número complejo y es siempre una cantidad no negativa cuyo valor esta dado por (2). El ángulo se llama amplitud o el argumento del número complejo y, a menos que se especifique lo contrario quedará restringido al dominio , .

Ejemplo 1: Dado el siguiente número complejo calcular su forma polar.

Solución:

Vamos a realizar la gráfica de Z1 es la figura 2, para calcular su módulo, tenemos:

El argumento es:

Figura 2

Vamos a calcular el ángulo este será:

El argumento es: , .

Con el módulo y el argumento, escribiremos el número complejo en su forma polar:

Resultado

Así nos quedaría el ángulo en radianes. Si utilizamos la conversión para radianes tenemos que: , es decir que los grados se multiplican por el factor tendremos:

Resultado

Forma polar en radianes

Forma polar en grados

Ejemplo 1.1: Dados los siguientes números complejos calcular su forma polar.

Solución:

Vamos a realizar la gráfica de Z2, es la figura 3, para calcular su módulo, tenemos:

El módulo es:

El argumento es:

Figura 3.

Por lo tanto el ángulo alfa es

Vamos a calcular el ángulo alfa es:

Por lo tanto el ángulo teta es:

Por lo tanto, el número escrito en su forma polar sera:

Resultado

Ejemplo 1.2: Dado el siguiente número complejo calcular su forma polar.

Solución:

Vamos a realizar la gráfica de Z3, es la figura 4, para calcular su módulo, tenemos:

El módulo es:

El argumento es:

Figura 4

Calculando el ángulo alfa tenemos:

Tenemos que el ángulo teta es:

Por lo tanto, el número escrito en su forma polar sera:

Resultado

Ejemplo 1.3: Dado el siguiente número complejo calcular su forma polar.

Solución:

Vamos a realizar la gráfica de Z4, es la figura 5, para calcular su módulo, tenemos:

El argumento es:

Figura 5

El ángulo alfa es:

Tenemos que el ángulo teta es:

Por lo tanto, el número escrito en su forma polar sera:

Resultado

Ejemplo 1.4: Dado el siguiente número complejo calcular su forma polar.

Solución:

Vamos a realizar la gráfica de Z5, es la figura 6, para calcular su módulo, tenemos:

figura 6

El argumento es: ya que se encuentra el ángulo sobre el eje imaginario negativo.

Así tenemos la forma polar del número complejo

Resultado

Ejemplo 1.5: Dado el siguiente número complejo calcular su forma polar.

Solución:

Vamos a realizar la gráfica de Z6, es la figura 7, para calcular su módulo, tenemos:

El argumento será:

figura 7

El ángulo alfa es:

Tenemos que el ángulo teta es:

Por lo tanto, el número escrito en su forma polar sera:

Resultado

Cuando un número complejo está expresado en forma polar, las operaciones de producto, división, recíproco y potencia se pueden expresar de la siguiente manera:

Multiplicación

División

Continuación........

Cuando un número complejo está expresado en forma polar, las operaciones de producto, división, recíproco y potencia se pueden expresar de la siguiente manera:

Recíproco

Potencia

Ejemplo 2.1: Dados los siguientes números complejos Z y W:

calcular las operaciones indicadas en su forma polar, escribir su resultado en su forma rectangular

Solución:

Para calcular a) se multiplican la partes real de cada uno de los números, el argumento se suma, esto es:

Tendremos:

Calculando el ángulo, tendremos :

Resultado

Para calcular b) la parte real de cada uno de los números, se divide y el argumento se restan, esto es:

Solución:

Tendremos:

Resultado

Calculando el ángulo, tendremos :

Para calcular c) el recíproco, se escribe el número complejo con su parte imaginaria con signo negativo, esto es:

Solución:

Resultado

Ejemplo 2.2: Dados los siguientes números complejos Z y W:

calcular las operaciones indicadas en su forma polar, escribir su resultado en su forma rectangular

Solución:

Para calcular a) se multiplican la partes real de cada uno de los números, el argumento se suma, esto es:

Tendremos:

Calculando el ángulo, tendremos :

Resultado

Para calcular b) la parte real de cada uno de los números, se divide y el argumento se restan, esto es:

Solución:

Teniendo en cuenta que la función coseno es una función par, y la función seno es una función impar.

Calculando el ángulo, tendremos :

Resultado

Para calcular c) el recíproco, se escribe el número complejo con su parte imaginaria con signo negativo, esto es:

Solución:

Resultado

Ejemplo 2.3: Dados los siguientes números complejos Z y W:

calcular las operaciones indicadas en su forma polar, escribir su resultado en su forma rectangular

Solución:

Para calcular a) se multiplican la partes real de cada uno de los números, el argumento se suma, esto es:

Tendremos:

Calculando el ángulo, tendremos :

Resultado

Para calcular b) la parte real de cada uno de los números, se divide y el argumento se restan, esto es:

Solución:

Calculando el ángulo, tendremos :

Resultado

Para calcular c) el recíproco, se escribe el número complejo con su parte imaginaria con signo negativo, esto es:

Solución:

Resultado

Teorema 2. Identidad de Euler. Si es un número real entonces

De esta manera:

Como la función coseno es par tenemos que:

Como la función seno es impar tenemos que:

Esta fórmula se denomina identidad de Euler. Si se utiliza la identidad de Euler y la ecuación se tiene

Tenemos:

Se denomina forma exponencial

Ejemplo 3. Tomando en cuenta los ejercicio 1, calcular su forma exponencial de cada uno de los números complejos dados:

Solución:

Tomando , el valor de Z1 de la página (5), tenemos:

Resultado

Tomando , el valor de Z2 de la página (8), tenemos:

Resultado

Tomando , el valor de Z3 de la página (10), tenemos:

Solución:

Resultado

Tomando , el valor de Z4 de la página (12), tenemos:

Resultado

Tomando , el valor de Z5 de la página (14), tenemos:

Solución:

Resultado

Tomando , el valor de Z6 de la página (15), tenemos:

Solución:

Resultado

Ejemplo 4: Convierta de la forma exponencial a la cartesiana los siguientes números complejos::

Solución: Para 4.1, utilizaremos la definición de la función exponencial tendremos:

Resultado

Solución: Para 4.2 tendremos :

Resultado

Solución: Para 4.3 tendremos :

Resultado

La forma exponencial de un número complejo nos permite realizar productos, cocientes, recíproco y potencias de complejos utilizando simplemente las leyes de los exponentes.

Si entonces:

Operaciones con complejos en forma exponencial.

Ejemplo 5: Dados los números complejos en su forma exponencial Calcular:

Solución: Para 5.1, producto, cumple con la ley de los exponentes tendremos :

Resultado

Solución: Para 5.2 utilizando la ley de los exponentes tendremos:

Resultado

Solución: Para 5.3 utilizando la ley de los exponentes tendremos:

Resultado

Solución: Para 5.4 utilizando la ley de los exponentes tendremos:

Resultado

Ejemplo 6: Dados los números complejos en su forma exponencial Calcular:

Solución: Para 6.1 utilizando la ley de los exponentes tendremos:

Resultado

Solución: Para 6.2 utilizando la ley de los exponentes tendremos:

Resultado

Solución: Para 6.3 utilizando la ley de los exponentes tendremos:

Resultado

Solución: Para 6.4 utilizando la ley de los exponentes tendremos:

Resultado

Bibliografía

Lehmann, C. H. (2004). Álgebra. Ciudad de México: Noriega Limusa

Stanley L. Grossman, J. I. (2015). Matemáticas 4, Álgebra Lineal segunda edición. Ciudad de México: Mc. Graw Hill Education.

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