Tema 5_ Probabilidad

Tema 5. Probabilidad

Prof. Isbella Cavalieri

"“La vida es una escuela sobre probabilidad.”

Walter Bagehot (1826-1877)

Algunos conceptos

Reglas de la probabilidad

¿Qué es probabilidad?

Diagrama del árbol

Índice

experimento, resultado, evento

Teorema de BAyes

Principios de conteo

Enfoques de la probabilidad

Algunos conceptos

La teoría de la probabilidad surge para poder estudiar los, llamados, experimentos aleatorios. Se dice que un experimento es aleatorio si puede dar lugar a varios resultados sin que se pueda predecir con certeza el resultado concreto.

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral, que representaremos por el símbolo S. Por ejemplo, en el lanzamiento del dado, el espacio muestral serial el conjunto S = {1,2,3,4,5,6}. No siempre es posible describir el espacio muestral enumerando sus diferentes elementos. A veces se define por medio de una condición, o regla, que han de cumplir sus elementos (ej. puntos que se sitúan en una circunferencia).

Se define un suceso como un subconjunto A del espacio muestral, es decir es un subconjunto de resultados posibles. Los sucesos más simples son los sucesos elementales, que consisten en un único punto del espacio muestral. De forma más exacta se puede definir los sucesos elementales de un experimento aleatorio como aquellos sucesos que verifican: a) siempre ocurre alguno de ellos, y b) son mutuamente excluyentes. Diremos que un suceso es compuesto cuando, al contrario que con los sucesos elementales, puede ser descompuesto en sucesos más simples.

Puesto que los sucesos aleatorios se definen como conjuntos, podemos definir entre ellos las mismas operaciones que se realizan sobre los conjuntos abstractos. Se definen así: - La unión de dos sucesos A y B como el suceso, representado por A ⋃ B, que ocurrirá siempre que ocurra el suceso A o el suceso B. - La intersección de dos sucesos A y B como el suceso, representado por A ⋂ B, que ocurrirá siempre que ocurran simultáneamente los sucesos A y B. - Dado un suceso A, llamaremos suceso complementario de A al suceso A" que ocurrirá siempre que no ocurra A. Evidentemente, se cumplen las propiedades

Diremos que dos sucesos A y B son incompatibles, o mutuamente excluyentes, si nunca pueden ocurrir a la vez. Es decir cuando Dados dos sucesos A y B, diremos que A está contenido en B, y lo representaremos por A ⊂ B, cuando se cumpla que siempre que ocurre A ocurre a la vez B. Es evidente que para cualquier suceso A se cumple

El suceso imposible Ø, definido como el subconjunto vacío del espacio muestral. Es decir, sería el suceso que no ocurrirá nunca. El propio espacio muestral también puede considerarse como un suceso. Será el suceso seguro S, que ocurrirá siempre. Cuando un suceso no coincide ni con el suceso imposible ni con el seguro, diremos que el suceso es probable.

Para facilitar el estudio de los sucesos se pueden utilizar los conocidos diagramas de Venn, donde el espacio muestral se representa por un rectángulo, y cada suceso como un recinto incluido en él.

¿Qué es la Probabilidad?

¿Qué es Probabilidad?

Es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6, 1/2, 8/9) o como decimales (0.167, 0.500, 0.889) que están entre cero y uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre.

Experimento: Proceso que induce a que ocurra una y sólo una de varias posibles observaciones.

Resultado: Resultado particular de un experimento

Evento: Conjunto de uno o más resultados de un experimento

Enfoques de la Probabilidad

Enfoques de la Probabilidad

Probabilidad Clásica

Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. De acuerdo con el punto de vista clásico, la probabilidad de un evento que se está llevando a cabo se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número de posibles resultados

MUTUAMENTE EXCLUYENTE: El hecho de que un evento se presente significa que ninguno de los demás eventos puede ocurrir al mismo tiempo.

COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO: Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se lleva a cabo un experimento.

Ejercicio 1

Considere el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un número par de puntos”?

Los posibles resultados son: Hay tres resultados favorables (un dos, un cuatro y un seis) en el conjunto de seis resultados igualmente posibles. Por consiguiente,

Enfoques de la Probabilidad

Probabilidad empírica

La probabilidad empírica o frecuencia relativa, el segundo tipo de probabilidad, se basa en el número de veces que ocurre el evento como proporción del número de intentos conocidos.

Enfoques de la Probabilidad

Probabilidad empírica

Ley de los grandes números: En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de un evento se aproximará a su probabilidad real.

Ejercicio 2

El 1 de febrero de 2003 explotó el transbordador espacial Columbia. Éste fue el segundo desastre en 113 misiones espaciales de la NASA. Con base en esta información, ¿cuál es la probabilidad de que una futura misión concluya con éxito?

Enfoques de la Probabilidad

Probabilidad subjetiva

Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o información con la cual sustentar la probabilidad, es posible aproximarla en forma subjetiva. En esencia, esto significa que un individuo evalúa las opiniones e información disponibles y luego calcula o asigna la probabilidad. Es la posibilidad (probabilidad) de un evento en particular que asigna un individuo a partir de cualquier información que encuentre disponible.

Algunas reglas de la Probabilidad

Reglas de la adición

01

Regla especial de la adición

Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adición establece que la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de sus probabilidades.

Ejercicio 3

Una máquina automática llena bolsas de plástico con una combinación de frijoles, brócoli y otras verduras. La mayoría de las bolsas contiene el peso correcto, aunque, como consecuencia de la variación del tamaño del frijol y de otras verduras, un paquete podría pesar menos o más. Una revisión de 4000 paquetes que se llenaron el mes pasado arrojó los siguientes datos: ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o pese más?

02

Reglas de la adición

Regla del complemento

Se emplea para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando de 1 la probabilidad de un evento que no ha ocurrido. Esta regla es útil porque a veces es más fácil calcular la probabilidad de que un evento suceda determinando la probabilidad de que no suceda y restando el resultado de 1.

Proceso

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02

Reglas de la adición

Regla del complemento

Se emplea para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando de 1 la probabilidad de un evento que no ha ocurrido. Esta regla es útil porque a veces es más fácil calcular la probabilidad de que un evento suceda determinando la probabilidad de que no suceda y restando el resultado de 1.

Proceso

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Ejercicio 4

Recuerde que la probabilidad de que una bolsa de verduras mixtas pese menos es de 0.025 y la probabilidad de que pese más es de 0.075. Aplique la regla del complemento para demostrar que la probabilidad de una bolsa con un peso satisfactorio es de 0.900. Muestre la solución en un diagrama de Venn.

03

Reglas de la adición

Regla general de la adición

Probabilidad conjunta: Probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos sucedan simultáneamente. Esta regla para dos eventos designados A y B se escribe:

Proceso

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Ejercicio 5

¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar de una baraja convencional sea rey o corazón?

Reglas de la multiplicación

04

Regla especial de la multiplicación

La regla especial de la multiplicación requiere que dos eventos, A y B, sean independientes, y lo son si el hecho de que uno ocurra no altera la probabilidad de que el otro suceda.

Independencia: Si un evento ocurre, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que otro evento acontezca.

Ejercicio 6

Una encuesta que llevó a cabo la American Automobile Association (AAA) reveló que el año pasado 60% de sus miembros hicieron reservaciones en líneas aéreas. Dos de ellos fueron seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hicieran reservaciones el año pasado?

05

Reglas de la multiplicación

Regla general de la multiplicación

Probabilidad condicional: Probabilidad de que un evento en particular ocurra, dado que otro evento haya acontecido

Ejercicio 7

Un golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son blancas y las demás azules. Como se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone. Juega golf dos veces seguidas y no las lava. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos camisas elegidas sean blancas?

Diagrama de árbol

Es una gráfica útil para organizar cálculos que implican varias etapas. Cada segmento del árbol constituye una etapa del problema. Las ramas del árbol se ponderan por medio de probabilidades.

Diagrama de árbol

Ejercicio 8

Considere una encuesta a algunos consumidores relacionada con la cantidad relativa de visitas que hacen a una tienda Sears (con frecuencia, en ocasiones o nunca) y con el hecho de que la tienda se ubique en un lugar conveniente (sí y no). Cuando las variables son de escala nominal, tal como estos datos, por lo general los resultados se resumen en una tabla de contingencias.

a. El número de visitas y la ubicación en un lugar conveniente, ¿son variables independientes? ¿Por qué razón? Interprete su conclub. sión. b. Dibuje un diagrama de árbol y determine las probabilidades conjuntas.

Ejercicio 8

La independencia requiere que Una posibilidad es: P(A/B) = P(A). Una posibilidad es: P(visitas frecuentes|sí, ubicación conveniente) = P(visitas frecuentes) ¿60/90 = 80/195? No, las dos variables no son independientes. Por consiguiente, cualquier probabilidad conjunta en la tabla debe calcularse aplicando la regla general de la multiplicación.

Ejercicio 8

Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Probabilidad a Priori: Probabilidad basada en el nivel de información actual Probabilidad a Posteriori: Probabilidad revisada a partir de información adicional

En el siglo XVIII, el reverendo Thomas Bayes, un ministro presbiteriano inglés, planteó esta pregunta: ¿Dios realmente existe? Dado su interés en las matemáticas, intentó crear una fórmula para llegar a la probabilidad de que Dios existiera sobre la base de la evidencia de que disponía en la Tierra. Más tarde, Pierre-Simon Laplace perfeccionó el trabajo de Bayes y le dio el nombre de teorema de Bayes.

Ejercicio 9

Suponga que 5% de la población de Umen, un país ficticio del Tercer mundo, tiene una enfermedad propia del país. Sea A1 el evento “padece la enfermedad” y A2 el evento “no padece la enfermedad”. Existe una técnica de diagnostico para detectar la enfermedad, pero no es muy precisa. Sea B el evento “la prueba revela la presencia de la enfermedad”. Suponga que la evidencia histórica muestra que si una persona padece realmente la enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique su presencia es de 0.90. Suponga la probabilidad de que la prueba indique la presencia de la enfermedad en una persona que en realidad no la padece es de 0.15. Identifique la Probabilidad a priori, la probabilidad condicional, la probabilidad conjunta y la probabilidad a posteriori. Indíquelo en una tabla.

Ejercicio 9

Probabilidad de que un individuo padezca la enfermedad. P(A1) = 5/100 P(A1) = 0,05 Probabilidad de que un individuo no padezca la enfermedad. P(A2) = 95/100 P(A2) = 0,95 Probabilidad de que un individuo padezca la enfermedad y de que la prueba indique su presencia P(B/ A1) = 0,9 Probabilidad de que un individuo no padezca la enfermedad y de que la prueba indique su presencia P(B/ A2) = 0,15

Ejercicio 9

Si elegimos al azar a una persona de Umen y aplicamos la prueba. Los resultados indican que la enfermedad está presente. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona en realidad padezca la enfermedad? Lo que desea saber, en forma simbólica, es P(A1|B), que se interpreta de la siguiente manera: P(padece la enfermedad | la prueba resulta positiva). La probabilidad P(A1|B) recibe el nombre de probabilidad a posteriori.

Ejercicio 9

Principios de conteo

Principios de conteo

Si la cantidad de posibles resultados de un experimento es pequeña, resulta relativamente fácil contarlas. Sin embargo si hay un número muy grande de resultados es tedioso contar todas las posibilidades.

Pricipios de conteo

01

Fórmula de la multiplicación

Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas de hacer ambas cosas

Ejercicio 10

Un distribuidor de automóviles quiere anunciar que por $29 999 usted puede comprar un convertible, un sedán de dos puertas o un modelo de cuatro puertas y elegir entre rines de rayos o planos. ¿Cuántas disposiciones de modelos y rines puede ofrecer el distribuidor?

m es el número de modelos y n el tipo de rin. Número total de posibles disposiciones (m)(n) = (3)(2) = 6

02

Pricipios de conteo

Fórmula de las permutaciones

La fórmula de las permutaciones se aplica para determinar el número posible de disposiciones cuando sólo hay un grupo de objetos. Cualquier distribución de r objetos seleccionados de un solo grupo de n posibles objetos.

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Ejercicio 11

Tres piezas electrónicas se van a montar en una unidad conectable a un aparato de televisión. Las piezas se pueden montar en cualquier orden. La pregunta es: ¿de cuántas formas pueden montarse tres partes?

Hay tres piezas electrónicas que van a montarse, así que n = 3. Como las tres se van a insertar en la unidad conectable, r = 3

03

Pricipios de conteo

Fórmula de las combinaciones

Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, cualquier selección se denomina combinación.

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Ejercicio 12

Se ha dado al departamento de marketing la tarea de designar códigos de colores a las 42 diferentes líneas de discos compactos que vende Goody Records. Tres colores se van a utilizar para cada CD; ahora bien, una combinación de tres colores para un CD no se puede reordenar para identificar un CD diferente. Esto significa que si se utilizaron el verde, amarillo y violeta para identificar una línea, entonces el amarillo, verde y violeta (o cualquier otra combinación de estos tres colores) no se puede emplear para identificar otra línea. ¿Serían adecuados siete colores tomados de tres en tres para codificar las 42 líneas?

GRACIAS

Prof. Isbella Cavalieri