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3PM1: Un lío de gatos

Carolina Chávez

Created on October 23, 2022

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Un lío de gatos

Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto Mat. Andrés Alonso Flores Marín, Coordinador / M. en C. Elieth Velázquez Chávez, Coordinadora de facilitadores / M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora de facilitadores. / Mtro. Francisco Rivera Ramírez, Diseño académico Mat. Carla Alejandra Rivera Ramírez, Diseño académico / M. en C. Guadalupe Yañez Barrón, Diseño académico / Dra. Itzel Ricaño Cornejo, Diseño académico / Mtra. María Concepción García Rábago, Diseño académico Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional / M. en C.C. Citlali Medal Medellín, Diseño instruccional

Estimada y estimado maestro. Estas presentaciones se realizaron durante el año 2022. En los primeros meses del presente año 2023 se llevaron pequeñas modificaciones en las Progresiones de Pensamiento Matemático a partir de las pertinentes observaciones que muchas y muchos maestros a lo largo y ancho de México compartieron por distintos canales. Por lo anterior, es probable que te encuentres con algunas pequeñas diferencias entre lo presentado aquí y la redacción final de las progresiones. Pronto podremos ofrecerte una segunda edición de estas diapositivas, sin embargo, es importante que cuentes con estos materiales pues pueden serte de mucha ayuda para la implementación del MCCEMS.

Progresión 2:

Anotaciones didácticas:

Identifica la incertidumbre como consecuencia de la variabilidad y a través de la consulta de datos o simulaciones, considera la frecuencia con la que un evento puede ocurrir con la finalidad de tener más información sobre la probabilidad de que dicho evento suceda (C2M1, C2M2). C2M1: Observa y obtiene información de una situación o fenómeno (natural o social) para establecer estrategias o formas de visualización que ayuden a explicarlo. C2M2: Desarrolla la percepción y la intuición para generar una hipótesis inicial ante situaciones que requieren explicación o interpretación.

Se busca que el estudiantado tenga una primera aproximación al pensamiento probabilístico desde una perspectiva frecuencial. Cuando se menciona el uso de simulaciones se deja abierta la posibilidad del uso de hojas de cálculo o software más sofisticado como R, aclarando que si no se cuenta con la infraestructura para llevarlo a cabo así, se pueden emplear materiales más asequibles como hojas comunes, fichas y el trabajo colaborativo en el grupo.

Alberto, Alfonso, Romina y Rocío tienen cada uno un gatito, cuyos nombres son, respectivamente: Nino, Benito, Tomasita y Rambo. Los cuatro gatos son bebés y negros, de tal forma que se puede decir que son indistinguibles. Un día los cuatro jóvenes que son muy amigos se van de viaje y como no tienen a quién dejarle sus gatos deciden llevarlos a un hotel de mascotas. El encargado del hotel de mascotas al ver que los gatitos de los amigos lloraban mucho estando en jaulas separadas, decidió meter a todos en una misma jaula. ¡Pero ay!, ya no puede saber qué gato es de quién. Así que los devolverá al azar cuando los jóvenes vuelvan por ellos.

Quizá los ojos de los jóvenes que, para ser honestos, le tienen un genuino aprecio a sus mascotas podrán reconocerlos, pero no lo sabemos. El encargado está muy preocupado de que le vayan a reclamar su falta. Si el encargado, como está en sus planes devuelve aleatoriamente los gatos a los jóvenes, ¿crees que sea posible que haga la entrega correctamente? ¿Crees que sea muy probable que esto ocurra? ¿Qué tan probable será que entregue solo un gatito al dueño correcto? ¿Qué tan probable será que le entregue 3 gatitos a sus respectivos dueños, pero que con el cuarto se equivoque?

Alfonso

Rocío

Romina

Alberto

Tomasita

Nino

Benito

Rambo

En la que sólo Rocío recibe a su gatito de manera corecta.

Una entrega posible es la siguiente:

Alfonso

Rocío

Romina

Alberto

En la que tanto Alberto como Romina obtienen a sus gatos de manera correcta.

Pero es igualmente probable que el encargado haga la siguiente entrega:

Tomasita

Rambo

Nino

Benito

La palabra técnica para "posible escenario" es "evento".

Los posibles escenarios para el encargado del hotel de mascotas son: 1. Entrega exactamente 0 gatos de forma correcta a sus dueños. 2. Entrega exactamente 1 gato de forma correcta a un dueño. 3. Entrega exactamente 2 gatos de forma correcta a sus dueños. 4. Entrega exactamente 3 gatos de forma correcta a sus dueños. 5. Entrega exactamente 4 gatos de forma correcta a sus dueños.

¿Cuál de estos eventos creen que sea más probable que ocurra?

Por ejemplo, las dos siguientes configuraciones corresponden al evento "El encargado entrega 1 gato de forma correcta a su dueño".

Alfonso

Rocío

Romina

Alberto

Alfonso

Rocío

Romina

Alberto

Tomasita

Nino

Benito

Rambo

Tomasita

Rambo

Nino

Benito

Por cierto, la palabra técnica para "configuración" en este sentido dentro de la jerga probabilística es "caso".

Existen algunas otras posibles entregas (casos), todas igualmente probables (en jerga: se dice que son equiprobables). Nosotros proponemos que en el aula juegues un poco con tus estudiantes haciendo una simulación. Uns simulación, como bien recuerdas, es una representación artificial de un proceso aleatorio utilizada para estudiar las propiedades del proceso a largo plazo.

La primera propuesta de simulación que podemos hacerte para estudiar el fenómeno de la asignación de los gatitos a sus correctos dueños consiste en tomar una hoja lo suficientemente grande y dividirla en cuatro partes, las cuales estarán, cada una, marcada con el nombre de uno de los cuatro jóvenes como se muestra a continuación:

Alfonso

Romina

Rocío

Alberto

Nino

Benito

Elabora cuatro tarjetas de idéntica forma en las que escribas en solo un lado de cada una de ellas el nombre de uno de los cuatro gatitos. Es como en el póker: observando únicamente el otro lado de la tarjeta no es posible saber a que gatito corresponde.

Tomasita

Rambo

La simulación consiste en distribuir las cuatro cartas barajeadas, con los nombres de los gatos bocabajo, en las regiones de la hoja que hemos marcado con los nombres de los jóvenes, como se muestra en la figura:

Alfonso

Alberto

Rocío

Romina

Posteriormente se voltean las cartas; la siguiente configuración.

Alfonso

Alberto

Benito

Nino

Rocío

Romina

Rambo

Tomasita

Representa la siguiente posible entrega:

Alfonso

Rocío

Romina

Alberto

Tomasita

Rambo

Nino

Benito

La entrega que representa esta tirada de cartas corresponde a un caso favorable para el evento "el encargado del hotel de mascotas entrega exactamente 0 gatos de forma correcta". No basta que tiremos una vez las cartas en esta simulación para afirmar que esto será lo que ocurrirá con certeza cuando el encargado del hotel entregue aleatoriamente los gatitos a sus dueños. De hecho no podremos predecir con certeza qué es lo que sucederá con el encargado (no tenemos una bola de cristal que nos permita ver a futuro), pero podemos decir cuál de estos eventos ocurriría con mayor frecuencia (es más probable que ocurra). Repitamos la simulación varias veces. Todos los estudiantes pueden trabajar en equipo para, por ejemplo, repetir 100 veces, entre todos, esta simulación. Es importante que llevemos un registro para determinar la frecuencia con la que cada evento ocurre.

Un impulso lúdico recorre a quien escribe estas líneas, este impulso le hace sugerir que antes de que tengan listo el registro de esta simulación, le preguntes a tus estudiantes por cuál de estos eventos apostaría.

Nosotros hicimos esta simulación 100 veces y obtuvimos los siguientes resultados:

En nuestro caso, tuvimos 38 tiradas en las que no se produjo ninguna feliz coincidencia entre los gatitos entregados y sus dueños, es decir, 38 de las 100 tiradas fueron tales que ningún gatito se entregó de forma correcta. De las 100 repeticiones, en sólo 4 resulta que los gatitos son entregados a sus correctos dueños. No nos resultó ninguna en la que exactamente tres gatitos fueran entregados de forma correcta y uno de forma incorrecta...

Si tenemos grupos grandes, podemos trabajar en equipo y repetir la simulación otras 100 veces. A nosotros nos salió lo siguiente:

Actividad. - Sigue sin aparecernos un caso que corresponda al evento "el encargado del hotel de mascotas entrega de forma correcta a exactamente 3 gatitos a sus correspondientes dueños", ¿por qué será?

¿Qué evento es más frecuente? ¿Si quieres ganar una apuesta que evento elegirías como el que más probablemente ocurrirá? ¿Quiere decir esto que dicho evento ocurrirá si el encargado entrega de forma aleatoria a los gatitos?

Podemos pensar en la probabilidad de un evento aleatorio como la proporción (o frecuencia relativa) de veces que el evento ocurriría si el proceso aleatorio fuera repetido una y otra vez bajo las mismas e idénticas condiciones. Podemos aproximar la probabilidad al simular el proceso varias veces. Las simulaciones nos arrojan un estimado empírico de lo que debería ser la probabilidad de dicho proceso aleatorio, dicho estimado se calcula como el número de veces que el evento ocurre en la repeticiones de la simulación entre el total de repeticiones.

Las estimaciones que hagamos de la probabilidad de un evento aleatorio utilizando simulaciones serán números entre 0 y 1; entre más próximo ese número sea a 1, más frecuente el evento (más probable de que ocurra). Un evento poco frecuente o poco probable arrojará una estimación cercana a 0.

Este es un momento formidable para platicar con nuestros estudiantes sobre números decimales.

Observa que, producto de nuestras simulaciones, podemos decir que la probabilidad de que el encargado devuelva, aleatoriamente, los cuatro gatitos cada uno a su respectivo dueño es muy baja, pues la probabilidad de dicho evento debe encontrarse próxima a 0.025 y 0.04.

Quienes participamos del pensamiento matemático disfrutamos de las estimaciones, pero también muchísimo de la precisión. Hace mucho se propuso como definición de la probabilidad de que un evento aleatorio A ocurra, P(A), al siguiente cociente:

Observa que esta probabilidad es siempre un número entre 0 y 1, ¿por qué?

En todo esto pensaba el pobre encargado del hotel de mascotas en una de esas noches sin sueño como aquella noche que fue la anterior al regreso de los cuatro amigos. Despertó con los ojos inyectados de sangre por el insomnio y con la certeza de que el remordimiento le perseguiría por un buen rato si es que entregaba mal a los gatitos, sabiéndose perdido, pues la probabilidad de entregarlos de forma correcta haciendo la entrega al azar era bastante baja, decidió armarse de valor y confesar su equivocación a los muchachos. Pero la intuición felina es poderosa y el genuino cariño de cada uno de los chicos por su gato hicieron que la desesperación del nervioso encargado fuera en vano.

¿Han visto volver a Ulises a Ítaca? Exactamente así ocurrió...

Los jóvenes agradecieron la honestidad del encargado del hotel de mascotas y aquí acabaría la historia si no fuera porque tendremos que revisar en la siguente progresión un poco sobre cómo contar casos favorables para cuantificar la incertidumbre.

Pero antes de terminar calculemos la probabilidad de que, por ejemplo, el encargado entregando al azar los cuatro gatitos lo hiciera de forma correcta, es decir, que el encargado entregara a cada uno de los cuatro gatitos a su dueño correcto. Por nuestras simulaciones sabemos que dicha probabilidad no debe ser muy alta. Cuando lanzamos 100 veces las cartas, resultó que solo 4 de estas 100 repeticiones correspondieron a este evento, es decir la probabilidad debe estar cerca de 0.04. Cuando repetimos la simulación para completar 200 repeticiones obtuvimos que la frecuencia con que ocurría dicho evento era de 0.025 (sólo 5 veces ocurrió que los cuatro gatos fueron entregados correctamente a sus respectivos dueños)

Actividad. - Antes de continuar, una bonita actividad para reflexionar. Estamos trabajando en primer semestre, es la primera aproximación a números decimales en el bachillerato para nuestros estudiantes. ¿Por qué no les preguntamos sobre qué número es mayor entre 0.04 y 0.025?

Continuando con la reflexión de la actividad anterior. No es raro escuchar que, por ejemplo, .325 es un número mayor que 0.5, pues 325 es muchísimo más grande que 5. Te compartimos el siguiente video que hicimos hace algún tiempo y que habla un poco al respecto:

Da clic aquí para ir al enlace del video

Ahora sí, volvamos a nuestro asunto. A continuación te presentamos 6 casos posibles de entregas, te pedimos que completes el esquema. Te damos una pista, son un total de 24 posibles casos. La siguiente progresión tratará, entre otras cosas, de apoyar el pensamiento ordenado para enumerar todos los casos. Una vez que tengas listados los 24 posibles casos, identifica cuáles de estos casos son favorables si queremos calcular la probabildiad de que "el encargado entrega exactamente 4 gatitos correctamente a sus dueños".

Si listaste y contaste correctamente los casos favorables, podrás deducir que la probabilidad de que el encargado diera a los 4 gatitos, cada uno, a su respectivo dueño de forma aleatoria es aproximadamente 0.0416

Actividad.- Encuentra la probabilidad de que el encargado, entregando los gatitos de forma aleatoria, entregue exactamente dos a sus respectivos dueños.

Actividad.- ¿A qué crees que se deba que cuando hicimos una simulación de 100 repeticiones nos arrojó un número más próximo a 0.0416 que cuando hicimos 200 repeticiones?

Actividad.- ¿Qué otra secuencia didáctica propondrías para acercar a tus estudiantes a la probabilidad a través de simulaciones? ¿Qué ajustes le harías a esta propuesta?

Te invitamos a continuar con el siguiente tema

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Un lío de gatos