Función polinómica

Función Polinómica

de Tercer Grado

Romina Osorio Ernesto Santos

Índice

Funcion Polinomica de tercer grado

10. Extremos relativosMáximos y Mínimos

5. Raíz de una función

1. Definicion de funcion

10. Ejemplos de una funcion con tres raices evidentes

2. Como identificar si un grafico representa una funcion

6. Tipos de raícesSImple, doble, triple.

7. Ordenada en el origen

11. Esquema de Rufiini

3. Dominio y Codominio de una función

8. Raices evidentes

12. Hallar forma desarrollada por gráfico: Máxima Descomposición Factorial

4. Definición de Función Polinómica de Tercer Grado

9. Esquema del signo

13. Agradecimientos

función matemática

Algunos ejemplos de función

Función trigonométrica

Función polinómica

Función racional

Función cuadrática

Función afín

Función exponencial

Como identificar si un gráfico representa una función

Al observarse un gráfico, puede surgir la incertidumbre en respecto al saber si el mismo hace referencia a una función, o simplemente no hace referencia a una función. Siendo así que existe un método para salir de esta duda.

Se traza rectas paralelas al eje y, es decir rectas verticales, si la dicha corta a dos o más puntos de la gráfica, entonces se puede decir que el grafico no representa una función. No obstante si la recta corta a uno y solo un punto de la gráfica; se estaría observando una función.

Función

No es función

Como identificar si un gráfico representa una funcion

Es función siempre que a cada elemento del conjunto Dominio le corresponde UNO y SOLO UNO de los elementos del codominio

No es funcion

Son funcion

Función Polinómica de Tercer Grado

• El dominio de la función polinómica es el conjunto de los números reales, es decir que la variable independiente x la puedo sustituir por cualquier número real.
• Los exponentes de x son números naturales

Raíz de una función

La raiz de una funcion es todo valor de la variable x cuya imagen es cero. Para hallar las raíces de una función se iguala a cero la expresiòn.

Simbólicamente

α es raiz de A ⇔ A(α)=0

No presenta raices

Presenta raices

ESTUDIO DE RAICES

Efd

Hay diferentes formas para estudiar y buscar las raices de una función de tercer grado. Si se trabaja con la expresiòn factorizada (ax2+bx+d) (qx + r), y se iguala a la misma a cero. Se utiliza la propiedad Hankeliana.

Si se trabaja con la ecuación de forma ax3+ bx2 + cx + d, se procede a utilizar el esquema de Ruffini para hallar las raíces de la función.

Otro método para identificar una raíz de una función es utilizando las raíces evidentes. Sea F(x)= ax3 + bx2 + cx + d Si X=0 es raíz de F(X) ⇒ 0+d= 0 ∴ d=0 Si X=1 es raíz de F(X) ⇒ a +b+c+d=0 ∴ la suma es 0 Si X=-1 es raíz de F(X) ⇒ -a+b-c+d=0 ∴ b+d= a+c

TIpos de raices

Una raiz real

Una función polinómica de tercer grado siempre presenta raíz, tiene entre una y tres raíces. Hay funciones que poseen tres raíces reales distintas, funciones con una raíz simple y una raíz doble, y una que contenga tres raíces reales iguales (raíz triple), o solamente una raíz simple.

Tres raices reales distintas

Una raiz real simple y una doble

Una raiz real triple

Ordenada en el origen

La ordenada en el origen de una función es aquel valor que se ubica en el eje de las ordenadas (eje y). Es el único valor del condominio cuya preimagen es 0. Para obtener este valor, en la ecuación se cambia toda variable x por el valor cero. Siendo de tal forma que, en el gráfico de la función, el punto que cumple esta condición, es de la forma (0; Y), por lo tanto, pertenece al eje Oy.

Es β ordenada en el origen ⇔ f(0)=β

Esquema de Ruffini

Este esquema sirve para dividir un polinomio entre uno de la forma (x-a) Es una forma más simple de efectuar dicha división. Trabaja solamente con los coeficientes y con la raiz del divisor. Se obtiene los coeficientes del cociente y el resto de la división. Es muy útil para factorizar la expresión, por lo cual nos ayuda en la búsqueda de raíces.

Paolo Ruffini

Ejemplo

Se trazan dos líneas perpendiculares de la siguiente manera:

Del lado derecho superior escribimos los coeficientes del dividendo en forma ordenada de izquierda a derecha. Si alguno es cero también se pone.

En la parte izquierda escribimos la raíz del divisor.

Primero bajamos el valor del primer coeficiente y luego lo multiplicamos por la raíz del divisor. Ubicandolo debajo del siguiente coeficiente. Luego sumamos ese resultado y lo volvemos a bajar. hacemos el mismo procedimiento para los otros números.

Finalmente llegamos al resultado. 5, 1, y 14 son los coeficientes del cociente. El cociente siempre es de un grado menor que el dividendo. 0 es el resto de la división.

Hallar forma desarrollada por gráfico

En este ejercicio ejemplo contamos con una gráfica, la cual utilizaremos para conocer su expresión desarrollada a partir de conocer sus raíces y el corte con OY. A partir de esta gráfica podemos ver que esta posee raíces {-2; -2; 3}, ya que -2 es raíz doble, la cual se puede identificar si ya conocemos los distintos tipos de estas.

Máxima descomposición factorial

Para resolver este ejercicio utilizaremos la máxima descomposición factorial. Para esto necesitamos conocer la expresión desarrollada y la factorizada de la función cúbica, que son las siguientes.

Máxima descomposición factorial

Así entendemos que para lograr llegar a la forma desarrollada de la función necesitamos primero su forma factorizada, a la cual podemos llegar gracias a que contamos con sus raíces. Así aplicamos lo siguiente, cambiando las raíces donde se corresponde y colocando su signo opuesto: A continuación, necesitaremos encontrar el valor de a, que es el objetivo principal al realizar este proceso, y para eso utilizaremos f (0) = -12, o la imagen de 0, y así cambiar la x por 0 e igualar todo a -12.

Máxima descomposición factorial

Al encontrar el valor de a que es 1 en este caso, lo colocamos en la expresión factorizada, y aplicamos propiedad distributiva hasta llegar a la expresión desarrollada.

Al encontrar el valor de a que es 1 en este caso, lo colocamos en la expresión factorizada, y aplicamos propiedad distributiva hasta llegar a la expresión desarrollada.

Listo para hacer el estudio analítico de un función de tercer grado!!!

¡Muchas Gracias!